多因素方差分析

在实际中对某一事物的影响往往不止一个因素，如在化工生产中，影响产品质量的可能会有原料的成分，反应温度，压力，催化剂，反应时间等因素，每一因素的改变都有可能对产品的质量产生很大影响。我们也可以用类似于单因素方差分析的方法对这些因素的显著性进行检验，称为多因素方差分析。本节仅讨论两个因素的影响，即双因素方差分析的情形。

双因素方差分析模型有两种类型：

（1）无交互作用的双因素方差分析，假定两个因素的效应之间是相互独立的；

（2）有交互作用的双因素方差分析，假设两种因素的结合会产生另一种新的效应。

（一）没有交互作用的双因素方差分析

1．数学模型

假设有两个因素，分别为因素A和因素B，因素A有r个水平，因素B有s个水平。在每个因素的各个不同水平下均进行了一次试验，数据如表9.2.1所示。

表9.2.1　双因素方差分析数据（无重复数据）

假设，s且各相互独立，不考虑因素的交互作用，可写成如下的数学模型：

其中为总平均，为因素A的第i个水平的效应，为因素B的第j个水平的效应。

双因素方差分析的卞要任务是系统分析因素A和因素B对试验指标的影响，即在给定的显著水平α下，对下面的假设进行检验：

对于因素A，

对于因素B，

双因素方差分析与单因素方差分析的基本原理相同，基于平方和的分解，总的平方和可以分解为因素A不同水平所引起的离差平方和，因素B不同水平所引起的离差平方和，以及由随机性引起的误差平方和。即：

类似于单因素方差分析，可以证明在模型的条件下，

并且的检验统计量，当成立时，

由观测样本计算得到的值，根据这些值是否落在拒绝域内，判断是拒绝还是接受。计算结果可归纳成下面的方差分析表9.2.2。

表9.2.2　无重复双因素方差分析表

2．无重复双因素方差分析的Excel处理

我们以下面的例子来说明Excel的处理方法，

例9.2.1　研究树种与地理位置对松树生长的影响，对4个地区的3种同龄树的直径进行测量得到数据如表9.2.3，表示3个不同树种，表示4个不同地区，对每一种水平组合进行了测量，据此来说明树种与地理位置对松树生长影响是不是显著？（α＝0.05）

表9.2.3　三种同龄松树的直径测量数据

（1）在Excel工作表中输入上面的数据今点击主菜单中“工具”⇒点击下拉式菜单中“数据分析”就会出现一个“数据分析”框⇒点击菜单中“方差分析：无重复双因素方差分析”⇒点击“确定”，出现“方差分析：无重复双因素方差分析”框。

（2）在“输入区域”中标定你已经输入的数据的位置⇒选定方差分析中F检验的显著水平⇒选定输出结果的位置⇒点击“确定”，

（3）在你指定的区域中出现如下方差分析表；

根据Excel给出的结果，对于因素，所以因素A差异显著，即树种对松树的生长有影响。对于因素，所以因素B差异不显著，即地理位置影响不明显。

（二）有交互作用的双因素方差分析

1．数学模型

假设有两个因素，分别为因素A和因素B，因素A有r个水平，因素B有s个水平。在每个因素的各个不同水平下均进行了重复t次试验，数据如表9.2.4所示：

表9.2.4　双因素方差分析数据（有重复数据）

假设相互独立，可写成如下的数学模型；

其中为总平均，为因素A的第i个水平的效应，为因素B的第j个水平的效应，表示因素和因素的交互效应。

有交互作用的双因素方差分析的主要任务是系统分析因素A，因素B以及因素A和因素B的交互效应对试验指标的影响，即在给定的显著水平α下，对下面的假设进行检验：

对于因素A，

对于因素B，

对于交互效应，

有重复的双因素方差分析与单因素方差分析和无重复的双因素方差分析的基本原理相同，检验统计量基于平方和分解。总的平方和可以分解为因素A不同水平所引起的离差平方和，因素B不同水平所引起的离差平方和，因素A和因素B的交互效应所引起的离差平方和以及由随机性引起的误差平方和。即，

并且的检验统计量。

由观测样本计算得到的值，根据这些值是不是落在拒绝域内，判断是拒绝还是接受。计算结果可归纳成下面的方差分析表9.2.5.

表9.2.5　有重复双因素方差分析表

2．有重复双因素方差分析的Excel处理

我们以下面的例子来说明Excel的处理方法。

例9.2.2　例9.2.1（续）研究树种与地理位置对松树生长的影响，对4个地区的3种松树的直径进行测量得到数据如表9.2.6，表示3个不同树种，表示4个不同地区，对每一种水平组合，选择了5颗同龄树进行了测量，据此来说明树种与地理位置对松树生长影响是不是显著？

表9.2.6　三种同龄松树的直径测量数据

（1）在Excel工作表中输入上面的数据（完全按表9.2.6输入数据，包括行和列）⇒点击主菜单中“工具”⇒点击下拉式菜单中“数据分析”就会出现一个“数据分析”的框⇒点击菜单中“方差分析：可重复双因素方差分析”⇒点击“确定”，出现“方差分析：可重复双因素方差分析”框。

（2）在“输入区域”中标定你已经输入的数据的位置，包括行和列⇒在“每一样本的行数”后面的空格中输入样本重复数，本例为“5”⇒选定方差分析中F检验的显著水平⇒选定输出结果的位置⇒点击“确定”。

（3）在你指定的区域中出现如下方差分析表：

这里“样本”指的是因素A，“列”指的是因素B，“交互”指的是A与B的交互作用，“内部”则指的是误差。

根据Excel给出的结果，对于因素A，，所以因素A差异显著，即树种对松树的生长有影响。对于因素，所以因素B差异不显著，即地理位置的影响差异不明显。对于交互效应，（6，48），所以交互效应不显著，郎树种与地区位置两个因素的交互效应对树的生长没有显著影响。