可重复的双因素方差分析

在有些情况下，不仅两因素对事物有影响，而且两因素还联合起来对事物发生作用，这种联合作用叫作交互作用。每种处理至少重复2次才能分析出有无交互作用，即要进行可重复双因素方差分析。下面以例6.3为例，说明操作步骤和运算结果。

例6.3 一种火箭使用4种燃料、3种推进器进行射程试验。在每种燃料与每种推进器的组合下，火箭各发射2次。射程数据见表6－1。

表6－1 不同燃料与推进器射程试验数据

（1）插入工作表，输入数据，建立数据文件

插入一个工作表，输入数据，如图6－8所示。

图6－8 不同燃料与推进器射程试验数据

（2）调用【方差分析：可重复双因素分析】分析工具

单击功能区选项【数据】→【分析】中的【数据分析（D）】，则显示【数据分析】对话框，如图6－2所示。

在【数据分析】对话框中选择【方差分析：可重复双因素分析】，单击【确定】按钮，进入【方差分析：可重复双因素分析】对话框，如图6－9所示。

（3）在【方差分析：可重复双因素分析】对话框中输入相应的参数

单击【输入区域（I）】右侧文本框，将光标置于其中，然后选中A1：D9单元格区域，文本框中显示为“$A$1：$D$9”，单击【每一样本的行数（R）】右侧的文本框，将光标置于其中，输入“2”，【α（A）】常选择默认值0.05，不用修改；单击【输出区域（O）】左侧的“○”，使其中出现“·”，然后单击【输出区域（O）】右侧的文本框，将光标置于其中，鼠标单击一空白单元格，此例为C12单元格，最后单击【确定】按钮，则会出现出如图6－10和图6－11所示的运算结果（注：运算结果的小数位数设置为两位）。

图6－9 可重复双因素分析

图6－10 可重复双因素方差分析运算结果摘要部分

图6－11 可重复双因素方差分析运算结果方差分析部分

（4）运算结果说明

1）【SUMMARY】部分。

【SUMMARY】，即“摘要”部分。按燃料A1、A2、A3、A4四个因素水平（变量值），24个观测值分为四个部分，即四个样本，每一部分说明了每个样本的描述统计指标，即“总计”（图6－10阴影部分）列对应的“观测数”、“求和”、“平均”、“方差”。以A1部分为例，即A1样本的描述统计指标分别为“观测数”对应样本容量为6，即58.2、56.2、65.3、52.6、41.2、60.8六个数，“求和”对应样本单位观测值合计为334.3＝58.2＋56.2＋65.3＋52.6＋41.2＋60.8，“平均”对应样本平均数为55.72＝334.3÷6，“方差”对应样本方差68.91＝［（58.2－55.72）2＋（56.2－55.72）2＋（65.3－55.72）2＋（56.2－55.72）2＋（41.2－55.72）2＋（60.8－55.72）2］÷（6－1）。同时，在A1水平下，燃料与推进器B1、B2、B3分别进行两次试验，针对两次试验观测值计算了描述统计指标。A2、A3、A4样本的描述统计指标与A1样本的计算方法相同。

按推进器B1、B2、B3三个因素处理水平（变量值），24个观测值分为三个部分，即三个样本。三个样本的描述统计指标对应于图6－10中粗体字部分，其中与“B1”、“B2”、“B3”同列的粗体字部分即其样本描述统计指标。以B1样本描述统计指标为例，其中“观测数”为8，即58.2、52.6、49.1、42.8、60.1、58.3、75.8、71.5八个数；“求和”对应样本单位观测值合计为468.4＝58.2＋56.2＋49.1＋42.8＋60.1＋58.3＋75.8＋71.5；“平均”对应样本平均数为58.55＝468.4÷8，“方差”对应样本方差120.09＝［（58.2－58.55）2＋（52.6－58.55）2＋（49.1－58.55）2＋（42.8－58.55）2＋（60.1－58.55）2＋（58.3－58.55）2＋（75.8－58.55）2＋（71.5－58.55）2］÷（8－1）。同时，B1推进器与燃料A1、A2、A3、A4分别进行两次试验，针对两次试验观测值计算了描述统计指标。B2、B3样本的描述统计与B1的计算方法相同。

2）“方差分析”部分如图6－11所示。

“方差分析”部分中的SS、df、MS、F、P－value、Fcrit、误差、总计与单因素方差分析运算结果中的含义相同。

①“样本”是指燃料因素，其中：

SS＝261.68＝（55.72－54.99）2×6＋（49.42－54.99）2×6＋（57.07－54.99）2×6＋（57.77－54.99）2×6（式中，54.99为24个观测值的平均数）；

df＝3＝4－1；

MS＝87.23＝261.68÷（4－1）；

F＝4.42＝87.23÷19.75；

P－value＝0.03，是指F（x＞4.42）＝0.03。

②“列”是指推进器因素，其中：

SS＝370.98＝（58.55－54.99）2×8＋（56.91－54.99）2×8＋（49.51－54.99）2×8（式中， 54.99为24个观测值的平均数）；

df＝2＝3－1；

MS＝185.49＝370.98÷（3－1）；

F＝9.39＝185.49÷19.75；

P－value＝0.00，是指F（x＞9.39）＝0.00。

③“内部”是指随机误差，即每个燃料与每个推进器重复两次射程试验的观测值之间的误差。由于这两次试验都是在相同条件下进行的，所以两次试验数据之间的误差即为随机误差，其中：

SS＝236.95＝（58.2－55.4）2＋（52.6－55.4）2＋（56.2－48.7）2＋（41.2－48.7）2＋（65.3－63.05）2＋（60.8－63.05）2＋（49.1－45.95）2＋（42.8－45.95）2＋（54.1－52.3）2＋（50.5－52.3）2＋（51.6－50）2＋（48.4－50）2＋（60.1－59.2）2＋（58.3－59.2）2＋（70.9－72.05）2＋（73.2－72.05）2＋（39.2－39.95）2＋（40.7－39.95）2＋（75.8－73.65）2＋（71.5－73.65）2＋（58.2－54.6）2＋（51－54.6）2＋（48.7－45.05）2＋（41.4－45.05）2；

内部SS简便算法为15.68×（2－1）＋112.5×（2－1）＋10.13×（2－1）＋19.84×（2－1）＋6.48×（2－1）＋5.12×（2－1）＋1.62×（2－1）＋2.64×（2－1）＋1.13×（2－1）＋9.245×（2－1）＋25.92×（2－1）＋26.65×（2－1）＝236.95；

df＝（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＋（2－1）＝12；

MS＝19.75＝236.95÷12。

④交互是燃料与推进器共同作用，其中：

SS＝1768.69＝2638.30－236.95－370.98－261.68；

df＝6＝3×2＝（4－1）×（3－1）；

MS＝294.78＝1768.69÷6；

F＝14.93；

P－value＝0.00是指F（x＞14.93）＝0.00。

由方差分析表可知，因子A（燃料）的作用是一般显著的（P－value的值为0.03＜0.05）；因子B（推进器）的作用是高度显著的（P－value的值为0.00＜0.01）；交互作用是极其显著的（P－value的值为0.000060.01，图6－11中显示为0.00是因为保留了两位小数），这说明燃料的作用与推进器之间有着密切的关系，也即每种推进器都有各自合适的最佳燃料。