数学课堂教学应该“把根留住”

数学课堂教学应该“把根留住”

河源市东埔中学　徐党政

有人说数学教学的本质是数学思想方法和思维过程的教学。在数学教学过程中,我们不只是传授数学知识,更重要的是,通过系列数学活动,提升学生的思维品质,激发学生的学习兴趣和提高探究能力。而思维品质是否得以提升,必需有其赖以存在的生长点,我们把这种培植学生思维的生长点,称之为数学课堂教学的“根”。“根”之不存,一切所谓的能力目标将形成虚设,无“根”的课堂,既不能带给学生以愉悦,也无法达到数学知识的自然生成。下面,就笔者在教研活动中看到的教学案例进行分析,旨在强调:数学,必须“把根留住”。

【案例】

“高斯求和”是多余的吗？——“等差数列的前n项和”课录节选。

师:今天,我们主要探讨等差数列的前n项和公式。说起数列求和,我想起德国伟大的数学家高斯“神速求和”的故事。高斯在上小学四年级时,老师出了这样一道题:“1+2+3+…+99+100”,高斯稍微想了想就得出了答案。高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

生:5050。

师:看来我们班还是有不少高斯的。继续努力,说不定将来也成了数学家。下面请这位同学说一说是怎样算出来的。

生:……(说明如何进行首尾配对进行求和的。)

师:根据等差数列的特点,首尾配对求和的确是一种巧妙的方法,不过,对于以下的题——“例:求等差数列2,5,8,…的前20项的和”这种方法可就没那么方便了。因此我们非常迫切地需要推导出等差数列的前n项和公式。

师:下面我们从一个简单一点的等差数列来推导探讨等差数列的前n项和公式。(学生观察幻灯片上以等差数列逐层排列的一堆钢管,如图1。)

图1

师:如何求？

生:利用刚才的方法。(略)

师:想一想,除了刚才的首尾配对求和的方法外,还有没有其他的方法呢？

(课件演示:引导学生设想,如果将钢管倒置,能得到什么启示？)

生:每一层都和上一层是一样多的。一共有8层,所以为8×(4+11),但一共有两堆,所以。

师:那如果如图2所示共有n层,第一层为a₁,第n层为a_n,请大家来猜想一下这个呈等差数列排列的钢管的总和S_n等于多少？

图2

生:。

师:这个猜想对不对呢？下面我们用所学过的知识一起来证明一下。

板书:S_n=a₁+a₂+…+a_n,

即S_n=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+…+[a₁+(n-1)d]；

把上式的次序反过来又可以写成:

S_n=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+…+[a_n-(n-1)d],

两式相加:

2S_n=(a₁+a_n)+(a₁+a_n)+…(a₁+a_n)=n(a₁+a_n),

所以。

以上是某市高中课堂教学评比中的优秀案例。仔细分析,该案例中还存在的主要问题是课堂教学没有突出数学学科的思维特点,主要表现在:

(1)没有理解教材的设计意图。教材从高斯求和这个有趣的数学故事入手,本来是想引导学生探究学习,通过问题情境建立模型——解释、应用与拓展等一系列过程,让学生经历数学方法的再创造,领悟并掌握从特殊到普遍的认识规律和数学研究方法(如何从“高斯求和”过渡到一般等差数列的求和)。但由于授课者的认识不到位,这些美好的设想被授课者“滑过”了。在授课者看来,高斯求和成了多余的累赘,是急于要摆脱的“鸡肋”。

(2)没有把握本课的教学重点。本堂课的重点并不只是让学生知道等差数列的求和公式,也不只是推导等差数列的求和公式,更重要的应该是在探求求和公式的过程中让学生领会“倒序相加”这一求和方法的思维发展过程。说到底,授课者没有把该课的“根”留住。

(3)没有渗透数学思想方法的教学。教学难点的突破过程不仅是提升学生思维品质的过程,而且更应该是激发学生学习兴趣和提高探究能力的过程,在这个过程中数学思想方法担负着重要的作用。从高斯求和到一般等差数列的求和,这是学生突破思维定势的一个艰难的选择,即教学的难点所在,但授课者的整个教学过程,既没有看到这种突破的努力,也没有数学思想方法的呈现。

事实上,“高斯求和”的本质是“配对求和”——有局限性,授课者好像也意识到这一点,但举出“求等差数列2、5、8、…的前20项的和”并认为“这种方法可就没那么方便了”(其实一样是方便的),显然授课者对这种“局限性”的认识是模糊的。

既然“高斯求和”的特点是“配对”,那对项数为偶数的等差数列同样不是问题,一样可以采用“高斯求和”。问题的根源是,如果项数为奇数,这类等差数列能否采用“高斯求和”？这是思维的症结所在。倘若教师能就此问题,运用分类讨论的思想引导学生展开讨论,也就找到了本堂课的“根”,抓住了“根”也就抓住了能力目标达成的生长点。

针对S_n=a₁+a₂+…+a_n,当n为偶数时,用“高斯求和”顺理成章,当n为奇数时,除中间项外,其余的项一样可以配对求和,其和为:。故只需求出中间项,由等差数列的性质可得,。所以,当n为奇数时,。

考虑到以上方法比较麻烦,本着优化思维的原则,教师可以抛出“能否避免讨论n”这个具有探索价值的问题,这样自然地将学生的思维导入“倒序相加”的轨道。倘若如此,该课也就水到渠成地将知识的发生发展过程行云流水般的展示出来了。可惜的是,该案例所看到的是从知识到知识的演绎,学生的思维没有生根发芽的土壤。

至于如何将学生的思维自然地导入到“倒序相加”的轨道,这不是一个简单的过程,处理不当,有强加人意之感,就像上述案例中突然冒出,成了天外来客一样。怎样突破这个难点,方法就隐含在授课教师设计的求钢管数的过程中,通过求两堆钢管数的实际探索与体验,学生有感性认识的基础,再运用“集合与对应”的思想方法,“倒序相加”也就自然生成了。

总之,在教学过程中我们不能被教材牵着鼻子走,教材呈现知识的方式方法,乃至内容,不一定符合我们每个学生的认知水平,这就要求我们教师“再创造”地利用教材。从学生思维发展的角度来看,传授知识永远不是唯一的目标,我们应该更多地关注学生思维的生长点,在学生认知的“最近发展区”设置问题、分析问题,留住课堂教学的“根”。