根轨迹概念

系统的稳定性和瞬态响应特性由闭环极点（即闭环特征方程根）决定，因此分析系统时需要确定闭环极点在s平面上的分布，设计系统时则按性能要求将系统闭环极点置于合适位置上。当系统某一参数在规定范围内变化时，系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹，即根轨迹。根轨迹将系统作为一个在s复平面的图形化处理，用根轨迹来研究系统的方法就叫作根轨迹法。

如单位反馈系统，其开环传递函数为

系统闭环传递函数为

闭环特性方程D（s）＝s2＋s＋K＝0的根（闭环极点）为

当增益K从0变为∞时，系统特征方程根的变化轨迹，即根轨迹。

（1）当K＝0时，s1＝0，s2＝－1，即为两个开环极点位置；

（2）当0＜K＜时，s1和s2为两个负实根，随着K值增加，s1和s2相对靠近移动；

（3）当K＝时，s1＝s2＝－；

（4）＜K＜∞时，s1和s2离开负实轴，分别沿s＝－直线向上和向下移动，这时闭环系统有一对共轭复根。

将上述s1和s2随K值增加的变化作根轨迹如图7-1所示。箭头表示参变量K值从0变化到∞时的闭环极点变化趋势。如图中粗线所示，极点s1沿（0，j0）、b、M变化，极点s2沿（－1，j0）、b、N变化。

系统开环增益K一旦确定，则系统闭环极点在s平面上的位置也随之确定。例如当K＝1时，s1和s2的位置为c1和c2。

根据根轨迹图可得到系统的相关动静态性能信息。如图7-1中当K值确定之后，根据此时闭环极点的位置可求出系统的阶跃响应指标，而此时的K值即为系统稳态速度误差系数。

（1）当0＜K＜时，系统过阻尼，阶跃响应为非周期过程；

（2）当K＝时，系统临界阻尼，阶跃响应为非周期过程；

（3）当K＞时，系统欠阻尼，阶跃响应为阻尼振荡过程。

由图7-1的根轨迹还可知此系统始终稳定，因为不论K值如何变化，闭环极点不可能出现在s平面右半部。

图7-1 系统根轨迹图

任意取系统某一参数变化形成根轨迹称为广义根轨迹。但通常情况下根轨迹指取开环增益K在0～∞范围内进行变化所形成的根轨迹。

由图7-2所示系统的闭环特征方程1＋G（s）H（s）＝0有

图7-2 闭环系统

G（s）H（s）＝－1 　（7-1）

显然，满足上面方程式的s必为根轨迹上的点，故上式称为根轨迹方程。

设开环传递函数有m个零点和n个极点，n≥m，式（7-1）可改写为

式中：K′为开环根轨迹增益；zi为开环零点；pi为开环极点。

［例7-01］ 系统开环传递函数G（s）H（s）＝，试绘制系统根轨迹图并寻找ζ＝0．5时的开环增益和ωn。

［解］ MATLAB中程序为

MATLAB运行上述程序，如图7-3所示，同时显现等ζ＝0．5线，人工选取根轨迹与等ζ线的交点得到对应的开环增益和ωn，得到

图7-3 MATLAB运行结果

另一个功能强大的Matlab工具是RLTOOL。RLTOOL是Matlab中一个交互式的设计工具，提供图形化的用户界面用于进行根轨迹的分析和设计。

［例7-02］ 系统开环传递函数G（s）＝，试绘制系统根轨迹图，给出增加一个开环极点p＝－2，并分析当新增开环极点趋向p＝－20过程中根轨迹的变化。

［解］ MATLAB中先建立G（s）＝根轨迹，程序如下。

MATLAB运行上述程序，得到图7-4（a）。在界面中选择添加极点“×”，并在p＝－2点击，得到图7-4（b），然后拖动此新极点，由7-4（b）、（c）、（d）、（e）、（f）可发现新增开环极点由p＝－2向p＝－20发展过程中根轨迹形状发生变化。

［例7-02］中新增开环极点位置不同则根轨迹形状不同。图7-5是一些系统的开环零极点分布及其根轨迹的形状。有相同开环零极点个数的系统，如果零极点分布位置不同（有时是很小的差异），也会使根轨迹形状有很大的不同，如图7-5中第二行所示的几个四阶系统。

图7-4 系统根轨迹

图7-5 系统根轨迹示例