开环零点和极点对根轨迹的影响

在系统开环传递函数G（s）H（s）中，增加开环零点zc，相当于加入一阶微分环节（s－zc）；增加开环极点pc，相当于增加一个惯性环节。显然开环零点和开环极点的加入使得系统的n、m、zi和pi均发生变化。

1）增加开环极点

增加开环极点pc，相当于增加一个惯性环节，n增大。

（1）＝±（2k＋1）180°／（n－m），即渐近线与实轴的倾角随着n增大而减小；

（2）σa（＝∑pi－∑z）i／（n－m），即渐近线与实轴交点随着极点pc增大（pc点在实轴上向右移）而右移，更靠近原点。

图7-17（a）、（b）分别是系统G（s）H（s）＝）增加极点pc＝－2前后的根轨迹，图（c）为右移极点使pc＝－0．5时的根轨迹。

因此在开环传递函数上增加极点，可以使根轨迹向右方弯曲，因而降低了系统的相对稳定性，而且这种向右弯曲的趋势随新增开环极点移近原点而加剧。

图7-17 开环极点对根轨迹的影响

2）增加开环零点

在开环传递函数上增加零点zc，m增大，使渐近线与实轴倾角增大。同时随着zc增大，渐近线与实轴的交点左移。图7-18中给出了开环传递函数为G（s）H（s）＝的系统增加零点和移动零点的情况。可知增加开环零点使根轨迹向左方弯曲，提高了系统的相对稳定性，而且这种向左弯曲的趋势随着新增开环零点右移而加剧。

图7-18 开环零点对根轨迹的影响

3）增加一对开环零极点

同理在开环传递函数上增加一个零点zc和一个极点pc，即加入校正装置环节Gc（s）＝当zc和pc比值不同时，环节的校正作用不同。

（1）∣zc∣＜∣pc∣。

图7-19（a）中，新增开环零点相对更靠近虚轴而起主导作用。这对零极点对应的矢量幅角∠（s－zc）＞∠（s－pc）（即），对原∠G（s）H（s）附加提供一个超前角＋），相当于附加零点的作用，使根轨迹向左弯曲，改善了系统动态性能，可视为超前校正。

图7-19 增加一对开环零极点对根轨迹的影响

（2）∣zc∣＞∣pc∣。

如图7-19（b）所示，新增开环极点相对更靠近虚轴而起主导作用。这对零极点对应的矢量幅角∠（s－zc）＜∠（s－pc）（即＜θc），对原∠G（s）H（s）附加提供一个滞后角－（－θc），相当于附加极点的作用，使根轨迹向右弯曲。

（3）开环偶极子。

开环偶极子指实轴上相距很近的一对开环零极点。距原点的距离不同的偶极子的作用不同。

当新增的开环偶极子距离原点较远，偶极子对近虚轴区域的根轨迹形状和开环增益几乎没有影响。如图7-19（c）中的pc和zc，pc和zc到较远的s点的矢量基本相等，它们在幅值条件和幅角条件中的作用相互抵消，基本上不影响系统静动态性能。

当新增的开环偶极子位于原点附近，如图7-19（d）中的pc和zc。pc和zc到主导极点的矢量也基本相等，在幅角条件和幅值条件中的作用也基本抵消，因而不影响主导极点附近的根轨迹及根轨迹增益K′。但零极点自身比值zc／pc可以较大，系统开环增益变化

从而改变稳态误差。例如pc＝－0．01、zc＝－0．1时，zc／pc＝10，则可提高系统开环增益10倍。这种位于原点附近且极点更靠近原点的偶极子常用来滞后校正。