根轨迹解析法

要　点 对线性定常闭环控制系统建立了一种解析的根轨迹分析方法，将经典控制论与现代电子计算技术结合起来，是该法的主要成果。

关键词 线性定常闭环控制系统 根轨迹 试探法 解析法 连续时域系统 离散时域系统 瞬态响应 稳定条件

一、问题的提出

线性闭环系统瞬态响应的基本特性，由闭环极点来确定。闭环极点就是系统的传递函数的特征方程的根，它还取决于开环极点、零点和增益 K 的特点。

为了考察所要设计的线性闭环系统的稳定性能，需要考察闭环极点在 S 平面（σ——jω复平面）上的位置。可以调整开环极点、零点的位置，使所要设计的系统是稳定可靠的最小相位系统。

北美航空公司的W·R·Evans 从1948年到1954年建立起了一种用图解方法，处理线性定常闭环控制连续时域系统的分析，这就是根轨迹（试探图解）法。

根轨迹（试探图解）法的基本方法，是用试探法找出 S平面上满足幅角条件：∠G(s)H(s)=±180(2n+1)，（n=0，1， 2，……）的足够多的点，以描出根轨迹。它是表示特征方程的根与系统某一参数（很多场合是选用增益K）的函数关系的方法，而与特定的增益值（或根轨迹所对应的某一参数的特定值）对应的闭环极点，可由幅值条件：│G(s)H(s)│=1来确定。一待闭环极点求得，系统的传递函数的因式分解就被唯一地确定。于是，对应于特定输入的瞬态响应和稳定特性就完全可以确定。

根轨迹（试探图解）法可以根据闭环极点是位于S平面的右半部分，还是左半部分，及距离虚轴的远近，而判断系统的稳定性能，又能直接求得瞬态响应，这是对于频率响应法的重大进步。后来，Evans 发明了对数螺尺，可以比较方便地由系统的特征方程作出相应的根轨迹图来。对于给定的特征参数值，用尺可以从图上迅速求得对应的闭环极点来。虽然，其精度还不够高，但已可满足工程设计的估算要求。因此，Evans根轨迹（试探图解）法很快被公认为是与频率响应法并列的经典控制理论的两大基本理论，而在工程上广泛用于线性定常闭环控制连续时域系统的设计分析。

对于线性定常闭环控制的离散时域系统，由于脉冲传递函数G(z)远比连续时域系统的G(s)要复杂，运用Evans 对数螺尺来作根轨迹图远为困难，即便作出根轨迹图，并找出对应于特定参数值的闭环极点，也很难利用Z变换表，由Z－1变换求得系统的瞬态响应函数来。故绝少可见离散时域系统的理论分析中论述 Evans 根轨迹（试探图解）法的应用。[注 1 ]

另外，即便在线性定常闭环控制连续时域系统中，虽然，对根轨迹作图总结出了一套规则（一般的与特例的），但步骤多，试验点的选取带有很大的经验性。就是利用正切公式来求根轨迹方程，也只是在开环极点、零点数在4以下才是较容易的。

事实上，当特征方程中所考察的参数（例如增益 K）可以S（或Z）的显函数形式表出，特别是以有理分式表出的闭环系统，能够采用解析法直接求得根轨迹方程和等增益轨迹方程，二种轨迹的交点就是具有特定参数值的特征方程的根（特定的闭环极点）。于是，传递函数G(s)（或G(z)）的因式分解被唯一地确定。对于特定的输入，通过反变换L－1（或Z－1）可以得到系统的瞬态响应函数。对于所给的特征方程而言，这种解是严格正确的。

这一方法基于一个基本事实：任一物理系统的任一可观测的物理量总是实数。即系统的特征参数必定是实数。

其方法和步骤如下：

1.由闭环系统的特征方程写出其特征参数（例如增益K）以S为变量的显函数（例如有理分式型）：

负反馈 ：特征方程：1 + G(s)H(s)= 0， K= － A(s) /B(s)；

正反馈 ：特征方程：1 － G(s)H(s)= 0， K= A(s) /B(s)；

G(s) 是开环传递函数，H(s) 是反馈函数。A(s) 和B(s) 中不含K。由 A(s)= 0，得到系统的各个开环极点，极点数等于A(s) 的阶数（m 重极点视为 m 个极点）；由 B(s)= 0，得到系统的有限远的零点。

2.由 S=σ 和 K ＞ 0，求得实轴上的根轨迹及它上面的计算公式：

负反馈： K= －A(s)/B(s)，由A(s)/B(s) ＜ 0 给出根轨迹；

正反馈： K= A(s)/B(s)，由A(s)/B(s) ＞ 0 给出根轨迹。

根轨迹始于开环极点（K= 0），终于零点（包括无限远零点，零点处 K= ∞）。

3.如果极点数超过实轴上根轨迹的支数（连续的一段直线为一支），或实轴上根轨迹只有终点或只有始点，则必存在复平面上的根轨迹。

此时，令 S=σ+ jω，

对于负反馈：K= － A(σ+jω) /B(σ+jω)= － [ F(σ,ω) + jΦ(σ,ω) ]；

对于正反馈：K= A(σ+jω) /B(σ+jω)= [ F(σ,ω) + jΦ(σ,ω) ] ；

由 F(σ,ω) ＜ 0 及 Φ(σ,ω)= 0 ……负反馈；或F(σ,ω) ＞0及Φ(σ,ω)= 0 ……正反馈；即 K为正实数，给出复平面上的根轨迹。其中Φ(σ,ω)= 0 就是根轨迹方程， F(σ,ω) ＞0或＜ 0是对根轨迹的存在区域加入了限制条件。│K│= [F2(σ,ω)+Φ2(σ,ω)]1/2给出了等轨迹方程。

4.如果能从Φ(σ,ω)= 0中解出 ω（往往直接解ω2，这表明根轨迹关于实轴是对称的），代入F(σ,ω) 中消去ω（有时是消去σ而保留ω），得到 K=±f (σ) 或 K=±f1(ω)（正反馈时取“+”号，负反馈时取“－”号），这给出了复平面根轨迹上增益的计算公式。于是，对给定的K，很容易找到对应的闭环极点（特定K值的特征方程的根）。

5.如果Φ(σ,ω)= 0 是一次或二次方程，根轨迹的几何特性是显而易见的，作图是容易的。

对于三次以上的方程或超越方程，由如下的分析可得复平面根轨迹的一系列特征：

（1） 由 ω= 0（或 ω→ 0 时的极限），从Φ(σ,ω)= 0 中得根轨迹与实轴的交点。交点处必有实轴上的根轨迹，交点或是分离点，或是会合点。在交点处有 F(σ, 0 )= A(σ) /B(σ) 。[ 注 2 ]

（2） 由σ= 0 ，从根轨迹方程 Φ(σ,ω)= 0 可得复平面根轨迹与虚轴交点的ω值。由 K=±F(0,ω) 或 K=±f(0)，或K=±f1(ω)，ω是交点的值（正反馈时取“+”号，负反馈时取“－”号），由此得到交点处的增益值。

（3） 由 ω→ ∞（±∞）或σ→ ∞（±∞）时，Φ(σ,ω)= 0 的形式，可了解复平面根轨迹的渐近性质：渐近线倾角及与实轴的交点，根轨迹的渐近方程形式，等等。

（4） 从 Φ(σ,ω)= 0 中求出 dω/dσ、d2ω/dσ2 ，可以了解复平面根轨迹曲线的斜率变化、极值点、凹凸性和反屈点；分离点的出射角和会合点的入射角。

（5） 对于可从Φ(σ,ω)= 0 中解出ω（或ω2 )= Φ(σ)，或σ=Ψ(ω) ，以此代入 F(σ,ω)，得 K=±f (σ) 或 ±f1(ω)（正反馈时取“+”号，负反馈时取“－”号），则由ω 或σ必是实数及K ＞ 0 ，可确定复平面上根轨迹的限制范围（表现为ω或σ取值的限制范围）。从而用列表作图法可相当细致地描绘出复平面上根轨迹图来。

如果不能从Φ(σ,ω)= 0 中解出 ω(或ω2 )=Φ(σ)，或σ=Ψ(ω) ，则由ω、σ必须同时为实数及 F(σ,ω) ＞0（正反馈时），或F(σ,ω)＜ 0（负反馈时），仍可确定复平面上根轨迹的限制范围。由列表作图，即由 F(σ,ω)= ±K（正反馈时取“+”号， 负反馈时取“－”号，K 取一系列设定的正值），Φ(σ,ω)= 0 分别列表作图，二种轨迹的交点就是根轨迹上的点，由包含各特征点（分离点、会合点、与dω/dσ= 0 及虚轴的交点，dω/dσ→ 0 及dω/dσ→ ∞ 的极值点，等等）的足够多的交点，光滑地连接起来，再加上实轴上的根轨迹，就成为根轨迹图（也可编程，由计算机来作图）。

在连续时域系统，σ＞ 0，即 S 的右半平面上的根轨迹代表不稳定系统。系统的闭环极点必须全部在左半平面上（也不能在虚轴上。在虚轴上，表示系统将处于等幅震荡中），系统才是稳定的。

二、用解析法作连续时域系统根轨迹和求系统的响应函数的示例[ 注3 ]

1.一单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)= K(S+2) /(S+3)(S +2S+2) ，K＞0，

试求：（1）正反馈时的根轨迹图；（2）负反馈时的根轨迹图；

解： （1）特征方程：1－ G(s)H(s)= 1－ K(S+2) /(S+3)(S2

　　　　　+2S+2)=0，从而 K= (S+3) (S2 +2S+2)/(S+2)=S2

　　　　　+3S+2+2/(S+2)；

有三个开环极点：S= －3，S= －1 + j，S= －1 － j；

一个有限远零点 ：S= －2。

实轴根轨迹上，K= (σ+3)[ (σ+1)+1] /(σ+2) ，

根轨迹分二条：σ＜－3，从极点S走向无限远零点；σ＞－2，只有终点，没有始点，故还存在复平面上的根轨迹。令 S=σ+jω，K= {σ2+3σ+2－ω2 + 2(σ+2)/[(σ+2)2 +ω2 ]}+ jω{2σ+3－2/[(σ+2)2+ω2 ]}；

于是，复平面上的根轨迹方程为：

ω2= 2(2σ+3)－1－(σ+2)2 ，

此轨迹上K= 4σ2+14σ+12－2(2σ+3)－1；会合点为：ωb= 0，σb≈ － 0.802；Kb≈ －1.90；

以σ= －1－δ代入K，知δ＞0时，K＜0，故复平面上的根轨迹的存在区间是：

－1≤σ≤σb（－0.803＜σb＜－0.802），与虚轴无交点。

dω/dσ=－[2/(2σ+3)+ (σ+2)]/ω；在会合点：ωb= 0，σ=σb，dω/dσ│σb→∞，入射角为90°。在极点S3，dω/dσ│S3= 3= tgΦ2 ，出射角Φ2 ≈71°34′；

在极点S2，dω/dσ│S2=－3=tgΦ1，出射角Φ1≈－ 71°34′。系统的根轨迹图如图1 所示 。

（2） 特征方程：1+G(s)H(s)= 1+K(S+2)/(S+3)(S2+2S+2)= 0；

K= － (S+3)(S2 +2S+2)/(S+2) 。

开环极点、零点与正反馈时的相同。实轴根轨迹上，K= －(σ+3)[(σ+1)2+1]/(σ+2)，根轨迹只有一条：

－3≤σ≤－ 2 ，始点是－3，终点是－2。

故复平面上还有二条根轨迹。 令 S=σ+jω ，

K=－{σ2+3σ+2－ω2+2(σ+2)/[(σ+2)2+ω2 ]}－jω{2σ+3－2/[(σ+2)2+ω2 ]}

复平面上的根轨迹方程为：

ω2= 2(2σ+3)－1－(σ+2)2，

在此轨迹上，K=2(2σ+3)－1－(4σ2+14σ+12)；以σ=－1+δ代入K，知δ＞ 0 时，K ＜ 0，

故复平面上根轨迹的存在区间是： －1.5＜σ≤－1，与实轴和虚轴均无交点。

图 2

dω/dσ=－[2/(2σ+3)+(σ+2)]/ω，形式与正反馈时相同。dω/dσ│S3=3=tgΦ2，在极点S3 处，出射角Φ2≈251°34′；dω/dσ│S3= －3= tgΦ1 ，在极点S2 处，出射角Φ1≈108°26′。σ= －1.5时，ω与 K都无意义。σ→－1.5+ 时，ω→ ∞ ，K→ ∞ ，dω/dσ→ ±∞（与ω 同号），

故σ=－1.5是复平面上根轨迹的渐近线。系统的根轨迹图如 图2所示。

2.系统开环传递函数为G(s)=K(S+1)/S(S－1)(S2 +4S 16)，K ＞0，求单位负反馈系统的根轨迹图。

解：K= －S(S－1)[(S+2)2+12]/(S+1)；开环极点有四个：

S1= 0，S2=1，S3= －2 + j2×30.5，S4= －2 － j2×30.5。

有限远零点是 S= －1。

实轴根轨迹上，K= －σ(σ－1)[(σ+2)2+12]/(σ+1)，有二段根轨迹：0≤σ≤1，它只有始点而无终点；σ≤－1，它只有终点而无始点；故还有复平面上的根轨迹。

复平面上，K= － [(σ2 －ω2 )(σ+2)－2σω2 ] －2[σ(σ+ 1)(5σ－ 8)+ω2 (5σ－ 13)]/[(σ+1)2+ω2] －jω{[σ2－ω2 +2σ(σ+2)]+2[5σ2 +10σ－ 8+5ω2 ] /[(σ+1)2 +ω2 ]}；

根轨迹方程：3σ2 +4(σ+ 10－ω2 －26/[(σ+1)2 +ω2]=0；

得：ω2= (σ+0.5)2 +17/4±{4[(σ+ 0.75)2 +35/16]2－26}0.5；由ω2必须是正实数，知：σB＜σ＜σA区间内，复平面上无根轨迹。σA=－3/4 + 0.25[8×260.5－35]0.5≈－0.15；σB=－3/4－0.25[8×260.5－35]0.5≈－1.35。dω/dσ=(2σ+1)/2ω±(4σ+3)(2σ2+3σ+5.5)/2ω{4[(σ+3/4)2 +35/16]2－26}0.5；

可见，dω/dσ│σA=dω/dσ│σB=∞，因而，σ=σA、σ=σB是复平面根轨迹的切线，切点分别是：A (σA、ωA ) ，A′(σA、－ωA )，B (σB、ωB )，B′(σB、－ ωB ) ；

ωA2= 17/4 +{[(8×260.5 －35)0.5－1]/4}2 ≈4.3735，ωA≈2.09 ；

ωB2= 17/4 +[(8×260.5 －35)0.5 +1]/4}2 ≈4.975 ，ωB ≈2.23 。

在分离点、会合点，ω= 0，所以，出射角、入射角都是90°。分离点、会合点满足方程：

3σ2 + 4σ+ 10= 26/(σ+ 1)2；得：

分离点为σa≈0.448，会合点为σb≈－2.26。

dω/dσ│S3=tgΦ1= －9×30.5 /11 ，开环极点 S3 的出射角Φ1≈－54°48′；

dω/dσ│S4=tgΦ2= 9×30.5 /11 ，开环极点 S4 的出射角Φ2≈54°48′。

复平面根轨迹上，K=29.5－σ(2σ+3)±(4σ+3){4[(σ+ 0.75)0.5 +35/16]2－26}0.5；在AA′段和BB′段，式中取“－”；在S3B、S4B′、AC 、A′C′段，式中取“+”，且 KA= KA′= KB= KB′= 35－260.5≈29.9。

根轨迹 CAA′C′交虚轴于ω1 、－ω1 、ω2 、－ω2 四点。其中，ω12=(9 －170.5 )/2 ，ω12 ≈1.56；

ω2= (9 +170.5 )/2，ω2≈2.56。在±ω1处，K1=3ω12 +16 ≈23.31；在±ω2 处，K2=3ω22 +16 ≈35.68 。

在分离点σa处，Ka=16 －(4σa3+9σa2 +24σa )≈3.04；

在会合点σb处，Kb= 16 － (4σb3 +9σb2 +24σb )≈70.44；[ 注 4 ]

当σ→+∞时，复平面根轨迹方程化为：ω2/(26/3)－(σ+ 2/3 )2/(26/9)= 1，这是双曲线型的。

渐近线交实轴于σ= －2/3处，渐近线倾角α=±60°，因为tgα=±(26/3)0.5/(26/9)0.5=±30.5。

以σ= －2 －δ代入 K 式，当δ＞ 0 时，K ＜ 0。系统的根轨迹图如图3所示。[ 注 5 ]

图 3

3.具有传递延迟的系统，其闭环特征方程为：

1 + Ke－TS/(S +1)= 0，K ＞ 0，T ＞ 0，

试求其根轨迹图。

解：K= － (S+1) eTS。开环极点为：S1= －1，S2= －∞。

实轴根轨迹仅一支：σ≤－1，K= － (σ+1)eTσ。它只有始点，故必有复平面根轨迹。

在复平面上：K=eTσ[ωsinTω－(σ+1)cosTω]－ jeTσ[ωcosTω+(σ+1)sinTω]；

复平面根轨迹方程为：σ= － 1－ωctgTω。

因为，(－ω)ctg(－Tω)=ωctgTω，所以，根轨迹关于实轴是对称的。在此根轨迹上，

K=ωeTσ/sin Tω=ωe－T－TωctgTω/sin Tω。

由于 K ＞ 0 ，得：2nπ/T≤ω＜(2n +1)π/T，

及－ (2n +1)π/T ＜ω≤－ 2nπ/T。

根据极限公式：lim│x→0 X/sinX=1，可求得复平面根轨迹与实轴的交点——分离点：

σa= －1－T－1，而 Ka=e－T－1 /T 。当 T= 1 时，σa= －2，Ka=e－2 ≈ 0.135 。

复平面上根轨迹必通过点 [－ 1，(2n +1/2)π/T ] 和 [－ 1，－ (2n +1/2)π/T ]。

当 T= 1时，点 (－1，2nπ+π/2)和 (－1，－2nπ－π/2)在根轨迹上。

复平面根轨迹与虚轴的交点(0，ωn)的ωn 由下列方程给出：tg Tωn= － ωn 。

令ωn= [(2n+1)π－αn]/T，（n= 0 , 1 , 2 , …… ） ，则：tgαn+αn /T=(2n +1)π/T。

在交点 (0 , ωn ) 、(0 , －ωn ) ，Kn=(1+ωn2)0.5 。

当T= 1时，tgαn+αn= (2n +1)π；n= 0时，

α0 ≈63°45′30″，ω0 ≈2.0287，K0≈2.26。

当 n→ ∞ 时，αn→π/2 ，ωn → (2nπ+π/2)/T 。

σ→ + ∞ 时，ω→±(2n +1)π/T ，K→ + ∞；

σ→ － ∞ 时，ω→±2nπ/T，K→0。

dω/dσ=sin2 Tω/(Tω － 0.5Sin 2Tω) ，

σ→ + ∞ 或 － ∞ 时，dω/dσ→ 0；

所以，ω=±nπ线是根轨迹的渐近线。而由dω/dσ│ω→0= limω→02sinTω/(1－cos2Tω)=limω→01/sinTω→∞，知：分离点σ处的出射角是90°。T= 1的根轨迹图如图4所示。

图 4

复平面上有无穷多支根轨迹，并且对于实轴是对称的。这与系统存在无穷远的开环极点相对应。

4.系统为G(s)= K/S (S+1)，H(s)= 1+khS的负反馈系统。试研究 k= 0，0＜ k ＜ 1，k ＞ 1 时的根轨迹变化情况和典型的单位阶跃响应曲线；在kh= 0.5的根轨迹图上，找出 K= 10的闭环极点。

解：（1） k=0时，为单位反馈系统。

1+G(s)H(s)= 1+ K/S (S+1)= 0，K= －S(S+1)。开环极点有二个：S= 0，S= －1。无有限远零点。

在实轴根轨迹上，K= －σ(σ+ 1)，存在区间是：－1≤σ≤0。它只有始点而无终点，故必还有复平面上的根轨迹。

复平面上，K=－[σ(σ+1)－ω2]－jω(2σ+ 1)；

图 5

根轨迹方程是：σ=－0.5，是一条平行于虚轴的直线。根轨迹如图5。

复平面根轨迹上，K= 1/4 +ω2；分离点(－0.5，0)处，Ka=1/4。

设闭环系统的输出为C(t)，输入为R(t)，则闭环传递函数为：C(s)/R(s)= G(s)/[1+G(s) H(s)]= K/(S2 +S+K)= K/[S+0.5 －0.5(1－4K)0.5] [S+0.5+0.5(1－4K)0.5 ]，0≤K ＜ 1/4；

1/4(S+ 0.5)2，K= 1/4 ；

K/[(S+ 0.5)2 +ω2 ] ，ω=( K－0.25)0.5，K ＞ 1/4 。

对于单位阶跃输入，R(s)= 1/S，于是有：

C(s)= K/S (S2+S+K )= S－1－{[1+(1－4K)0.5]/2(1－ 4K)0.5}/[S+0.5－0.5(1－4K)0.5]+[1－(1－4K)0.5]/2(1－4K)0.5]/[S+0.5+0.5(1－4K)0.5 ]，0≤K ＜ 1/4；

S－1－1/(S+0.5)－ 0.5/(S+0.5)2，K= 1/4；

S－1 － [(S+0.5)+ 0.5]/[(S+0.5)2 +ω2 ]，ω= (K－0.25)0.5，K ＞1/4 。

于是，单位阶跃响应为：C(t)=1－[1+(1－4K)0.5 ]exp{－0.5[1－(1－4K)0.5]t}/2(1－4K)0.5+[1－(1－4K)0.5 ]exp{－0.5[1+(1－4K)0.5 ]t}/2(1－4K)0.5，0≤K ＜ 1/4；

1－[1－ 0.5t]e－0.5t，K= 1/4 ；

1－e－0.5t{cos[(K－0.25)0.5t]+(4K－1)－0.5sin[(K－0.25)0.5t]}，K＞1/4 。

（2） 0 ＜ kh ＜ 1时，1+G(s)H(s)= 1+ K(1+khS)/S(S+1)= 0 ，K= － S(S+1)/(1+khS) 。

开环极点是：S= 0，S= －1；有限远零点为：S= －1/kh。因为 kh＜1，故 －1/kh＜ －1。即零点在二个开环极点的左侧。在实轴根轨迹上，K= －σ(σ+ 1)/(1+khσ)。根轨迹分二段：σ＜ －1/kh，它只有终点而无始点；－1≤σ≤0，它只有始点而无终点。

故必还有复平面上的根轨迹。复平面上，K= － [(σ2 +σ－ω2)(σ+1/kh)+ω2(2σ+1)]/kh[(σ+1/kh)2 +ω2] +jω[(σ2 +σ－ω2) － (2σ+1)(σ+1/kh)]/kh[(σ+1/kh)2+ω2 ] ；

根轨迹方程是：(σ+1/kh)2 +ω2=(1 － kh)/kh2。

这是一个以零点(－ kh－1，0 )为圆心，kh－1(1－kh )0.5为半径的圆。

可知分离点是：Sa=σa= － kh－1[1 － (1－kh )0.5]，会合点是：Sb=σb= － kh－1[1 +(1－ kh )0.5]。

分离点的出射角和会合点的入射角都是90°。

在复平面根轨迹上，K=－kh－1(2σ+1)，(σb ≤σ≤σa )，在分离点上，Ka= kh－1{2kh－1[1－ (1－kh )0.5 ] －1}；在会合点上，Kb= kh－1{2kh－1[1+(1－kh )0.5 ] －1}。

闭环传递函数为： C(s) /R(s)= G(s)/[1+G(s)H(s)]= K/[S2+(1+khK)S+K]=K/(S+α+β)(S+α－β) ，K＜ Ka 或 K ＞ Kb；

Ka/{S+[1－(1－kh )0.5]/kh}2 ，K= Ka；

K/{[S+(1+khK)/2]2 +ω2}，Ka＜K＜Kb；

Kb/{S+[1+(1－kh )0.5 ]/kh}2 ，K= Kb；

其中α=(1+khK)/2，β=0.5[(1+khK)2－4K]0.5，β2=－ω2。

单位阶跃响应的拉氏函数为：

C(s)= K/S[S2 +(1+khK)S+K]=S－1 － (1+α/β)/2(S+αβ) － (1－α/β) /2(S +α+β)，K ＜ Ka 或 K ＞ Kb ；

S－1 － (S －σa )－1 +σa /(S －σa)2，K= Ka=σa2；

S－1 － [(S +α) +α] /[(S +α)2+ω2 ] ，Ka ＜ K ＜ Kb；

S－1 － (S －σb)－1+σb/(S －σb )2 ，K= Kb=σb2；

单位阶跃响应函数为：

C(t)=1－0.5(1+α/β) exp [－(α－β)t]－ 0.5(1－α/β) exp[－(α+β)t]，K ＜ Ka 或 K ＞ Kb；

1－ (1－σat)exp(－σat)，σa= －kh－1[1－(1－kh)0.5]，K= Ka=σa2；

1－ (cosωt+αω－1sinωt)exp(－αt ) ，Ka＜ K ＜ Kb；

1－ (1－σbt)exp(－σbt)，σb= － kh－1[1+(1－kh)0.5]，K= Kb=σb2。

当 kh= 0.5时，有限远零点为：S= －2。

实轴根轨迹是：－1≤σ≤0，σ＜ －2 。

在实轴根轨迹上，K= －σ(σ+1)/(1+ 0.5σ) 。

复平面根轨迹方程是：(σ+2)2+ω2= 2，是以有限远零点(－2，0)为圆心，半径为20.5的圆。分离点是：Sa=σa=20.5－2；会合点是：Sb=σb= － ( 20.5 + 2 )。在复平面根轨迹上，K= －2 (2σ+1)，(－2 － 20.5 ≤σ≤20.5－ 2 ) 。在分离点上，Ka=σa2= 6 － 4×20.5 ≈0.343；在会合点上，Kb=σb= 6 + 4×20.5 ≈11.657。kh= 0.5的根轨迹如图6所示。

它的单位阶跃响应函数为：

C(t)=1－ 0.5(1+α1/β1)exp[－(α1－β1)t]－0.5(1－α1/β1) exp[－(α1 +β1)t]，K＜ Ka或K＞ Kb；

1－[1+(2 －20.5)t]exp[－(2－20.5)t]，K= Ka= 6 － 4×20.5；

1－(cosω1t+α1ω1－1 sinω1t)exp(－α1t)，Ka＜ K ＜ Kb；

1－[1+(2 +20.5)t]exp[－(2+20.5)t]，K= Kb= 6 + 4×20.5。

其中：α1=(1+0.5K)/2，β1= 0.5(1+K2 /4 －3K)0.5，

ω1= 0.5[3K－(1+K2 /4)]0.5 。

当 K= 10 时，α1= 3，β1= i ，ω1=1；C (t)= 1 － e－3t(cos t + 3sin t) 。

由K= 10= －2(2σ1 +1)得：σ1= － 3， ω12=1。故 K1= 10 的闭环极点是复平面根轨迹上的二个共轭点：S3= －3 + j ，S4= －3 – j。

（3） kh= 1时，特征方程为：(S+1) (S+K)= 0；有二个闭环极点：S1= －1，S2= － K，

K= －S= －σ。显然，根轨迹是负实轴：σ≤0。

σ= 0 时，K= 0，故S= 0 仍是系统的开环极点；

σ→ －∞ ，K→ ∞ 。所以，系统有无限远的零点。

根轨迹如图 7 所示。

图 7

闭环传递函数为： C(s) /R(s)= K /(S+1) (S+K ) 。

对于单位阶跃响应有：C(s)= K /S (S+1) (S+K )= S－1－K /(K－1)(S+1)+ 1/(S+1)(S+K )，K≠1 。

C(t)=1－Ke－t /(K －1)+e－Kt /(K －1)，（0≤K＜1或K＞1）；

当K= 1（即S1= －1的点上）有 C(s)=1/S (S+1) 2= S－1 －(S+1)－1－(S+1)－2；故 C(t)= 1－ e－1(1+t)。

（4） kh ＞ 1 时，特征方程为：1+K (1+khS) /S(S+1)=0 ； K= － S (S +1) /(1+kh S)。

有二个开环极点：S1= 0，S2= －1。有无限远零点：S= －kh－1，由于－1＜ － kh－1 ＜ 0，故零点在二个极点之间。

从而，根轨迹仅在实轴上，有二条：－ kh－1 ＜σ≤ 0，σ≤－ 1。在实轴根轨迹上，K= －σ(σ+1) /(1+khσ)，( －kh－1＜σ≤0，σ≤－ 1)。其闭环传递函数为：

C(s)/R(s)= K/[S2+(1+khK)S+K]=K /(S+α+β)(S+α－β)。

其单位阶跃响应函数为：

C(t)= 1－0.5(1+α/β) exp[－(α－β)t]－0.5(1－α/β) exp[－(α+β)t]，其中：α=0.5(1+khK)，β= 0.5[(1+khK)2－4K]0.5。kh= 2 时，根轨迹如图8所示。

图 8

《评论》 这类问题如用 Evans 法求解，就需作根轨迹族，并根据已定的 kh值，由幅值条件对给定的K值，从对应的根轨迹图上去确定闭环极点，然后才能写出响应函数来。这些工作是很繁重的。如果不给出具体的参数值，要写出响应函数来，是不可能的。

而用解析法可以不必作根轨迹族，只需根据根轨迹的解析特点，就可确定参数在各个不同范围时的响应函数形式。从而，响应随参数变化的规律总貌就一清二楚的了。而给定了具体的参数，立即可以写出具体的响应函数来。

解析法是从总体上去把握各别，而Evans 法只能从各别去窥探总体。

三、根轨迹解析法在离散时间系中的应用

在连续时间系的线性定常闭环控制中，根轨迹解析法之成功是显而易见的了。在离散时间系的线性定常闭环控制中，根轨迹解析法在系统分析中同样也是可行的。

这时负反馈的闭环系统的特征方程为：

1+G(z)H(z)=0。如果其特征参数（例如，增益K）可从特征方程解出，为Z的显函数(例如，是有理分式)：K= － A(z) /B(z)，A(z) 、B(z)不显含K。

由 A(z)= 0 得系统的各开环极点，极点数等于A(z) 的阶数(m 重极点视为 m 个单极点)；由B(z)= 0 得到系统的有限远零点。 由 Z= x 及 K ＞ 0 ，求得实轴上的根轨迹及其上的增益的计算公式：

K= － A(x) /B(x)（由A(x) /B(x) ＜ 0给出实轴上的根轨迹）。根轨迹也始于极点(K= 0)，终于零点(K= ∞)。如果极点数超过实轴上的根轨迹的支数，或实轴上的根轨迹仅有终点或始点，则必还有复平面上的根轨迹。

此时，令 Z= x +jy，K= － A(x + jy )/B(x+jy )= － [ F(x , y)+ jΦ(x , y)]；由 F(x , y) ＜ 0和Φ(x , y)= 0 给出Z复平面上的根轨迹。其中Φ(x , y)= 0是根轨迹方程，F(x ,y) ＜ 0则对根轨迹的存在区间加了限制。

由Φ(x, y)= 0 中解得 y=ψ(x) 或 x=ψ1(y)代入F(x , y)中消去一个变量，即得 K= f(x) 或 K= f1 (y) ，就是复平面根轨迹上 K的计算式 。由Φ(x , 0)= 0 可解得复平面根轨迹与实轴的交点（分离点或会合点），并由此求得交点处的K值：

Ka= f(xa) ，Kb= f1 (xb)。如果分离点、会合点不在实轴上，则 Ka= － F(xa , ya)， Kb= － F1(xb , yb)。

在单位圆内的根轨迹代表稳定系统，单位圆外的根轨迹（包括与单位圆的交点）代表不稳定系统。

由交点可定出稳定条件（K的取值范围）。系统的闭环极点必须全部在单位圆内，或至多有有限的闭环极点（同时也须是开环极点）在单位圆上，系统才是稳定的，否则就是不稳定的。

我们通过下面的示例来了解在离散时间系中使用根轨迹解析法的要点和特点。

〈例〉一线性定常离散时间系统的开环脉冲传递函数为G(z)= K(1－ e－T/T1 )z /(z －1)(z － e－T/T1 )，试求单位负反馈时的稳定条件和对阶跃输入的响应。[注6 ]

解：1 + G(z)= 1 + K(1 － e－T/T1 )z/(z － 1)(z －e－T/T1 )= 0，

K= －(z －1)(z － e－T/T1)/z(1 － e－T/T1) ；

极点为：Z1=1，Z2=e－T/T1；有限远零点是原点：Z= 0。在实轴上，K= － (x －1)(x － e－T/T1 ) /x(1－e－T/T1 ) 。实轴根轨迹有二段：x ＜ 0，e－T/T1≤x≤1；

前者只有终点，后者只有始点，故必有复平面根轨迹。令 Z= x +jy，

K= － (x －1+jy)(x － e－T/T1 +jy)(x －jy) /(1－ e－T/T1 )(x2 + y2 )= －{x[x2 －y2 －(1+e－T/T1 )x +e－T/T1]+y2[2x－ (1+e－T/T1 )]} /(1 － e－T/T1 )(x2 + y2)－jy(x2 + y2 － e－T/T1)/(1 － e－T/T1 )(x2 + y2) ；

从而，复平面根轨迹方程为：x2 + y2=e－T/T1，这是以原点（零点）为圆心，e－T/T1 为半径的圆。分离点xa= e－T/T1，会合点xb= －e－T/T1。因为e－T/T1 ＜ 1 ，所以复平面根轨迹在单位圆内，系统是稳定的。

在复平面根轨迹上，K=(1+ e－T/T1 －2x)/(1－e－T/T1 )，(－ e－T/T1 ≤x≤ e－T/T1 )。在分离点，Ka=(1－e－T/T1 )/(1+ e－T/T1)；在会合点，Kb=(1+ e－T/T1 )/(1－e－T/T1)= 1/Ka ＞ 1。

图 9

系统的根轨迹如图9所示 （T/T1=1）。

显然， x≤－ 1 表示不稳定的系统。

K－1= 2(1+ e－T/T1 )/(1 － e－T/T1 )=2cth(T/2T1)；

当 K≥2cth(T/2T1) 时，系统就不稳定了。所以，系统的稳定条件为：0≤ K ＜ 2cth(T/2T1)。特别当T/T1= 1时，2cth(1/2 )≈4.33。

系统的闭环传递函数为：

C(z) /R(z)= G(z) /[1+G(z)H(z)]= K(1－ e－T/T1 )Z/{Z2 +[ K(1－ e－T/T1 ) －(1+ e－T/T1 )]Z+ e－T/T1 }。

令：a= 1/2T1，α=[(1+e－2aT) －K(1－ e－2aT)] /2，β=(α2－e－2aT )0.5 。

当K＜ Ka ，K＞ Kb 时，特征根 Z1、2=x1、2= α±β，α、β都是实数，且β＞ 0 。

当 K= Ka时，αa=e－aT，β= 0 ；K ＜ Ka 时，α＞αa ＞ 0 ，β＞ 0 ；K= Kb 时，αb= － e－aT，βb= 0 ，

K ＞ Kb 时，α＜αb＜ 0 ，β＞ 0 。

Ka ＜ K ＜ Kb 时，特征根 Z1、2= x±jy，x=α，y2= －β2，y是实数，但β则是虚数。

复平面根轨迹与虚轴的交点处，x0= α0= 0，y0= e －αT 。K0= cth (T/2T1)= K －1 /2 。

在复平面根轨迹上，特征方程可化为如下形式：

Z2－2αZ + e－2aT=(Z－x)2 +y2= Z2 －2Ze－aTcosTω+ e－2aT；其中cosTω=α /e－T/T1= x /(x2 + y2 )0.5 。

Φ=ωT就是闭环极点(x , y)的幅角，而圆频率

ω=T－1cos－1(α/e－aT)=T－1tg－1(y /x)，(Ka≤K≤Kb )。

于是，闭环传递函数可写成：C(z)/R(z)=K(1－e－2aT)Z /(Z －α－β)(Z－α+β)，K ＜ Ka 或 K ＞ Kb ；

Z[(1－e－aT) /(Z －e－aT )]2，K= Ka=(1－e－aT ) /(1+ e－aT) ＜ 1；

K(1－ e－2aT)Z /[Z2－2Ze－aTcosTω + e－2aT ]，ω= T－1cos－1(α/e－aT )，Ka ＜ K ＜Kb；

Z[(1+e－aT) /(Z + e－aT )]2，K= Kb=(1+e－aT) /(1－e－aT) ＞ 1。

对于单位阶跃输入，R (z)= Z /( Z － 1 ) ，

于是，响应为：C(z)=Z /(Z－1)+BZ /(Z－α－β) － (B+1) Z //(Z－α+β)，B= (K－1)(1－ e－2aT ) /4β，K ＜ Ka或K ＞ Kb；

Z/(Z－1)－Z/(Z－e－aT) +Ze－aT(e－aT－1)/(Z－e－aT )2，K= Ka；

Z /(Z－1) － Z(Z－e－2aT)/(Z2 －2Ze－aTcosTω+ e－2aT )，Ka ＜K＜Kb；

Z /(Z－1) － Z /(Z+e－aT) +Ze－aT(e－aT +1)/(Z+e－aT)2，K= Kb；

于是，C(t)=1+ B(α+β)k－(B+1)(α－β)k，B= (K－1) (1－ e－2aT)/4β，K ＜ Ka或K ＞ Kb；

1 － e－at [1+t (1 － e－at ) /T ] ，t= kT，K= Ka；

1 － e－at [cosωt +(cosTω－ e－at )sinωt /sinTω]，t= kT，π/T≤ω≤π，Ka＜ K ＜ Kb；

1－ e－aktcos kπ[1+ k (1+ e－aT )]，K= Kb 。

显然，在后三种情况(Ka≤K≤Kb)，都有C(∞)=1，所以，这些系统不但是稳定的，而且无稳态误差。

对于 K ＜ Ka，由于α ＞ αa ＞ 0 ，β＞βa，所以，当 K= 0 时，α0 、β0 极大，α0=(1 + e－2aT)/2，β0= (1－ e－2aT)/2，α0 + β0=1，α0 －β0=e－2aT ，B= －1 ，故 C(t)│K=0 ≡0。

当K= 0 时，G(z)= 0，故输出为零是很合理的。因而，Z= 1虽然是在单位圆上，系统的状态仍是稳定的。

当 0 ＜ K ＜ Ka 时，α+β＜ 1 ，α－β ＜ e－2aT，这是因为α＜α0 ，β＜β0 ，α ＞ β ＞ (1－ K )(1－ e－2aT ) /2 之故。当 t→ ∞ 时，k→ ∞ ，(α+β)k→ 0 ，(α－β)k→ 0 ，从而C(∞)= 1 （ 0 ＞ B ＞ －1，B 与－ (B + 1) 都是有限常量） ，故系统不但稳定，而且无稳态误差。

对于 K ＞ Kb ，α ＜ αb ＜ 0， α－1= － (1+ e－2aT )/2 ＜ －e－aT ，β－1=β0 ，从而，α－1 +β－1= － e－2aT ，α－1 － β－1= －1 ，B－1= 2 e－2aT/(1 － e－2aT ) 。

当 K= K－1 时，C(t)= 1+ B－1 (－ e－2aT )k － (－1)k (1+ e－2aT ) /(1－ e－2aT ) ；当 t→ ∞ 时，k→ ∞ ，(－ e－2aT )k → 0 ，(－ 1)k 则是等幅振荡，故系统呈等幅振荡状态。

当 K ＜ K－1 时，α＞α－1 ，0 ＜β＜β－1 ，因而，αβ＞ －1 ，α+β＞ － e－2aT，B＞B－1 ，但仍是一有限常量。当 t→ ∞ 时，k→ ∞ ，(α+β) k → 0 ，(α－β)k → 0 ，从而C(∞ )= 1。故系统不但是稳定的，而且无稳态误差。

当 K ＞ K－1时，α＜α－1 ，β＞β－1 ；从而，(α+β) ＜

－ e－2aT，(α－β) ＜ －1，β＞ (K－ 1)(1－ e－2aT ) /2 ，0 ＜ B ＜ B－1 。当 t → ∞ 时，k→ ∞ ，(α+β)k → 0 ，(α－β)k 则为 增幅振荡；从而，C(∞ ) 也为增幅振荡，故系统是不稳定的。

可以看出，根轨迹解析法在线性定常离散时间系中的应用有很突出的优点：能充分运用 Z 变换表求得响应的通式，而不是有限项的系数；甚至不知增益 K(或其它特征参数)的具体数值，而根据根轨迹的特征，划分 K 的取值区间，就可定出响应的表达式来。这在其它方法而言，是不可能的。对于稳定条件，只需由根轨迹与单位圆的关系，就可很方便地得到。它比劳斯列阵法直观，运算也可能简便些。

四、解析法与试探法之比较

上述示例若用试探法解，相比较就可以看出解析法的优点：精度高、规则划一，许多情况下也更简便些，特别当根轨迹是一次、二次曲线时；还能得到根轨迹上增益（或所对应的参数）的计算公式，从而给出K值后，闭环系统的闭环极点就易找出，系统的响应很易求出，系统的品质就能分析清楚。[注 7 ]

一般地说，当精度相同时，解析法与试探法所得的结果应该是相同的。[注8 ]

从数学上讲，两种方法都是从同样的特征方程出发的。只是试探法着眼于幅角条件：∠G(s)H(s)=±(2n +1)π；而解析法则着眼于虚部 jsinΦ= 0（负反馈时，实部 cosΦ= －1；正反馈时，实部 cosΦ= 1。连续时域与离散时域都这样）。

当然，G(s)H(s)的虚部为零与所考察的参数（例如增益）的虚部为零是有区别的。但是，当物理量是可观察量时，它必是实数。试探法在应用中实际也是如此对待参数的。从而，闭环传递函数的虚部为零，与所考察的参数（以 S 的显函数表出）的虚部为零，在数学上就是一脉相承了。

试探法的幅值条件│G(s)H(s)│= 1（在离散时域中，S→Z）等价于解析法中 K=（F2+Φ2）0.5 ，但有实际意义的是根轨迹上的 K 值，根轨迹外的 K值是无意义的。因此，K= ±f (σ)（在离散时域中是K=±f (x)）或 K=±f1(ω)（在离散时域中是K=±f1(y)）， 比较 K= ( F2 + Φ2)0.5 或试探法中的幅值条件有用得多。正是基于这一认识，当不能从 Φ(σ,ω)= 0 中解出σ或ω 时，我们可从 K=±F(σ,ω) 和Φ(σ,ω)= 0 列表作图，求两种轨迹的交点而得根轨迹。虽说，±F(σ,ω)= K 不是等增益轨迹，但这是就根轨迹外的点而言的；在根轨迹上，K=±F(σ,ω) 是严格成立的 （在离散时域中，σ→ x ，ω→ y）。故解析法中的这种处理，从数学上讲，也是站得住脚的。且两方程联立求解可依靠计算机。

试探法中由 dK /dS= 0 所得的方程求分离点 、会合点，与解析法中由Φ(σa、b , 0 )= 0 （分离点 、会合点在实轴上时，在离散时域中是Φ(xa、b , 0 )）或Φ(σa、b ,ωa、b )= 0（分离点 、会合点在复平面上时，在离散时域中是Φ(xa、b , ya、b )）给出的方程是类同的。故除了根轨迹方程形式是一次、二次时，解析法求分离点 、会合点较容易外；一般地说，两法的难度相同。求根轨迹与虚轴的交点，解析法较容易；而试探法中确定渐近线有时较解析法容易。

在连续时域中，如果熟悉试探法作根轨迹的一系列法则，又有特制的 Evans 对数螺尺这一作图工具，工程设计又许可较大的误差时，采用 Evans 法作根轨迹图来分析系统的品质，还是不太困难的。在线性定常离散时间系中，根轨迹解析法能充分运用Z变换表求得响应的通式，而不是有限项的系数；根据根轨迹的特征，划分K的取值区间，就可定出响应的具体表达式来。对于稳定条件，只需由根轨迹与单位圆的关系，就可方便地得到。这在其它方法而言，是不可能的。如果要求高的精度，或无 Evans 对数螺尺，或者是在离散时域系统，那么，解析法是特别适宜的。甚至可以不必作根轨迹图，就能进行纯粹的数学计算，以进行系统的品质分析。这在现代计算机广泛应用的情况下是很有意义的。

将经典控制理论与现代电子计算机技术结合起来，是根轨迹解析法的主要成果。而对于经典控制理论与现代控制理论的统一，也可能提供了某种启示。

附注

[注 1 ] 据报道，日本东京大学教授 高桥安人 博士在《システムヒ制御 》第二版下册(1978年10月初版)中阐述了根轨迹法在离散时间系中的应用。

[注 2 ] 如在实轴上有分离点、会合点，必有K= ±f(σa、b)= ±A(σa、b )/B(σa、b )，由f(σ)= A(σ) /B(σ)可定出分离点(σa ，0)、会合点(σb，0) 。（在离散系统中，σ→ x ）。

[注 3 ] 为了便于跟传统的Evans 法作对比，所有示例均选自（日）绪方胜彦 著《现代控制工程》一书中的例题或习题。

例 1是P277—279的例A—8—6，

例 2是P274—275的例A—8—4，

例 3是P265—267的例题，

例 4是P282—283的例B—8—3 。

[注 4 ] 这里采用 K= － F(0，ω1、2)来计算 K1、K2 值，用 K= － F(σa、b，0)来计算 Ka 、Kb 值，显然要比用K= －f (σ) 来计算要简单得多。

[注 5 ] 为了强调用解析法确定根轨迹图的独立性和数学分析的严密性，对复平面S 处的根轨迹走向，采用S +δ的计算分析法。实际上利用“根轨迹从开环极点出发而走向零点，支数等于开环极点的个数”的规则，可以省去这一数学分析。

[注 6 ] 该示例选自（日） 绪方胜彦 著《现代控制工程》中P505的例题 A—13—14。

[注 7 ] 若根轨迹有分离点σa，会合点σb ，则 K ＜ Ka，K ＞ Kb 时，闭环极点在未分离或已会合的那段根轨迹上，且有二个；当 Ka ＜ K ＜ Kb 时，闭环极点在复平面根轨迹上，且是共轭的；

若K= Ka，则S=σa 是二重闭环极点；若 K= Kb，则S=σb 是二重闭环极点。总之，闭环极点数等于系统的阶数。若系统中存在开环极点与开环零点对消的情况，则这些对消点也是闭环极点，计算响应时应该补上。

[注 8 ] 示例2与绪方胜彦的《现代控制工程》中的例题A—8—4 比较，可见关于共轭极点出射角的计算，两者相差18′。用幅值条件更精细地计算，可知出射角确应是54°48′。又书中A—8—3，采用解析法计算，知共轭极点出射角是29° 28′，不应是12°。用幅值条件重算之，果是如此：138°38′－2×129°3′－ 90°－Φ= －180°，得：Φ= － 29°28′。

而多项式 3S4 + 10S3 +21S2 + 24S － 16 应分解为：

3(S + 0.76 +j2.16)(S + 0.76 －j2.16)(S + 2.26)(S － 0.45) 才较为精确。

完成于1979年12月

参考文献

1.《现代控制工程 》，（日）绪方胜彦著（1970年，原版英文），卢伯英等译科学出版社，1976年第一版，1978年6月第11次印刷。

2.《Control-system Dynamics》（1954年）（美） Walter•R•Evans“Electrical and Eletronic Engineering series ”。

3.《自动调节理论基础》，刘豹（天津大学教授）编著，1963年上海科学技术出版社，1963年第一版，1964年2月第2次印刷。

4.《自动控制理论中的根轨迹法》，（苏） Э •Г•Удерман 1963年著，孙吴译，上海科学技术出版社，1966年2月第一版。

5.《自動制御理论》（改订版），（日）高桥安人（东京大学教授） 著，東京岩波書店 1959年12月改訂，第一次印刷。

6.《自動制御理论》（改訂版） ，（日）电気學會大學講座，昭和45年（1970年）出版，《自动控制理论》（中译本），（日）上潼致孝等编著，张洪钺译，国防工业出版社，1979年2月。

7.《自動制御工學》，（日）清水武夫等著，東京コロナ社昭和46年5月初。

8.《自動制御便覽》，（日）計測自動制御學會編，編集委員長大島康次郎，工學博士東京コロナ社 昭和 47年10月第七版（改訂）。

9.《ヮィ——ドバック制御》，（日）长田正著，東京ォ——ム社，昭和 46年7月初版。

10.《自動制御 》（日）大石清著，東京朝倉書店，昭和 49 年6月（1974年）初版。

11.《ヮィ——ドハッタヒ制御》（日）长谷川健介著，東京共立出版株式會社，昭和 52年初版。

12.《基础制御工學》（日）近藤文治编，東京森北出版社1977年11月第一版。

13.《基础自動制御》（日）相良節夫著，東京森北出版株式會社 1978年12月初版。

14.《システムヒ制御 》第二版（日）高桥安人（东京大学教授）著，東京岩波書店，1978年10月。

附录一

控制论学者　胡寿松教授的信

（胡寿松：南京航空航天大学自动控制系教授）

附录二

通过计算机编程由计算机处理根轨迹问题：

具有传递延迟的系统，其闭环特征方程为：

1+K e－TS/（S+1）= 0 ，K ＞ 0，T ＞ 0 ，S=σ+jω。

由根轨迹解析法得：实轴上有根轨迹：σ≤－ 1，其上增益为：K= －（σ+ 1）exp （Tσ） 。

在复平面上有根轨迹，其方程为：

ωctgTω+（σ+ 1）= 0，其上增益为：K=ωeTσ/sin Tω。根轨迹与虚轴的交点（0，±ωn），ωn满足方程：ωn ctgTωn+1= 0，交点处增益：

Kn=（1+ωn2 ）0.5 。

当 T= 1时，作变换：ω= （2 n + 1）π－ α，

0 ＜α＜π。则复平面根轨迹方程为：

ωctgα－ （σ+ 1）= 0 ，0 ＜α＜π；与虚轴的交点的方程：ωn ctgαn － 1= 0 ，0 ＜ αn ＜ π/2 。

（对复平面根轨迹方程分析可知：

（1） (－ω)ctg (－ Tω)=ωctgTω，根轨迹对于实轴对称。

（2） 由增益必正，即 ωeTσ/sin Tω≥ 0，知：2nπ/T ＜ω ＜ （2 n + 1）π/T，－ （2 n + 1）π/T ＜ ω ＜ － 2nπ/T。故在T= 1 时可作变换：（2 n + 1）π－α，0 ＜ α ＜ π。

（3） 由交点方程知：n→∞ ，αn→π/2，一般 0 ＜ αn ＜π/2。）

计算机编程要求：

（1） 求出 n= 0 到 n= 10 的 11 个与虚轴的交点的 αn、ωn、Kn 值 ；

（2） 求出 n= 0 到 n= 2，σ从 － 10 到 10 的区间内每隔0.5 的α、ω、K 值 ；

（3） 打印出 （2） 中各点，描出上述根轨迹 。

程序设计要点：

（1） 三角方程的数值解采用区域逼近法：令ω= (2n + 1)π－α，y=ωctgα－ (σ+ 1)，y= 0 为严格解，│y│＜ 1E－6为近似解。显然，σ= － 1 时，有α=π/2 。

当σ＜ － 1 时，须有 tgα＜ 0，故π＞α＞π/2；当σ＞ － 1 时，须有 tgα＞ 0， 故π/2 ＞α＞ 0 。

在σ＜ － 1 时，取α= 3π/4 为始点， tg(3π/4)= － 1，y=ω－ (σ+ 1) ；起始步长取为：h=π/8 ，若 y ＞ 0 ，须增大│tgα│，取α+ h→α，y=ωctgα－ (σ+ 1) ；若仍有 y ＞0 ，则步长减半：h←h/2 ，α+ h→α，再代入 y=ωctgα－(σ+1) ；若有 y ＜ 0 ，则步长再减半：h←h/2 ，α－ h→α，再代入 y=ωctgα－ (σ+1) ，当│y│＜ 1E － 6( 10－6 )，即获近似解。

这种变步长逼近可避免出现α= 0 或π，以造成 tgα= 0 或ctgα→ ∞ ，而导致“溢出错误”，并可逐步逼近于严格解。

在σ＞ － 1 时，取α=π/4 为始点， tg (π/4)= 1，y=ω－ (σ+ 1)；起始步长也为：h=π/8 ，若y ＞ 0，须增大tgα，取α+ h→α，代入y= ωctgα－ (σ+1) ；若仍有 y ＞ 0 ，则步长减半：h←h /2 ，α+ h→α，再代入 y= ωctgα－(σ+ 1），至 y ＜ 0 ，则步长再减半：h← h /2 ，α－ h→α，再代入 y= ωctgα－ (σ+ 1），至│y│＜1E－6 ，就获近似解。

（2） 在编程中以 Y 代表 y ，W代表ω和ωn，U代表σ，A代表α和αn ，N 代表n，H代表h，K代表 K 与 Kn 。

（3） 在打印轨迹点时用“*”，“……”表示实轴和平行实轴的 nπ线。

（一） 用BASIC 程序求根轨迹与虚轴的交点：

5 　WIDTH “LPT1：”，132 （确定打印宽度）

10 　DEFDBL A，W，K，H，Y，N

20 　 LPRINT TAB（15）；“A”； TAB（41）；“W”； TAB （67）；“K”； TAB（93）；“H”； TAB（105）；“N”

30 　LET N= 0

40 　LET A= 3.141593/4

50 　LET H= A/2

60 　LET W= 3.141593 * （ 2*N + 1 ） － A

70 　LET Y= W/TAN（A） － 1

80 　 IF ABS（Y） ＜ 1E －6 （若要加快运算速度，可降低精度为 ABS （Y） ＜ 1E －5） THEN 150

90 　LET H= H/2

100 　IF Y ＞ 0 THEN 130

110 　LET A= A － H

120 　GOTO 60

130 　LET A= A + H

140 　GOTO 60

150 LET K= SQR（1 + W * W ）

160 LPRINT A，W，K，H，N （屏打印用 PRINT ， 打印机打印用 LPRINT ）

165 　LET N= N + 1

170 　IF N≤10 THEN 40

180 END

（二） 用BASIC 程序求N：0→2，U：－10→10间每隔0.5的解

BASIC 程序：

5 　 WIDTH “LPT1：”，135（确定打印宽度）

10 　DEFDBL N，U，A，W，K，H，Y

20 　 LPRINT TAB（11）；“N”； TAB（20）；“U”；TAB

（40）；“A”； TAB（60）；“W”； TAB（80）；“K”；TAB（100）；“H”； TAB（120）；“Y”

30 　LET N= 0

40 　LET U= －10.0

50 　IF U ＞ －1.0 THEN 180

60 　IF N= 0 THEN 90

70 　LET A= 3*3.141593/4

80 　GOTO 190

90 　LET K= －（U + 1）* EXp（U）

100　LPRINT N；U；A=3.141593；W= 0；K；H= 0；Y= 0

110 　IF U ＞－2.0 THEN 70

120 　LET U= U + 0.5

130 　IF U ＞ 10.0 THEN 150

140　GOTO 50

150 　LET N= N + 1

160 　IF N ＞2 THEN 320

170　GOTO 40

180 　LET A= 3.141593/4

190 　LET H= 3.141593/4

200 　LET W= 3.141593*（2*N+1） － A 210 LET Y= W/TAN（A） － （U + 1）220 　IF ABS（Y）＜1E－5 THEN 290

230 　LET H= H/2

240 　IF Y ＞ 0 THEN 270

250 　LET A= A － H

260 　GOTO 200

270 　LET A= A + H

280 　GOTO 200

290　LET K= W* EXP（U）/SIN（A）

300　LPRINT N；U；A；W；K；H；Y

310　GOTO 120

320 END（三） 用BASIC 程序作N：0 →2 的根轨迹图

BASIC 程序：

在编程中以Y代表y和±ω0 的打印位置，W 代表ω 和ωn ，X 代表σ，A 代表α和αn，N 代表n ，H 代表 h；根轨迹点以“*”表示，nπ线以“……”表示。

5 　WIDTH “LPT1：”，150（确定打印宽度）

10 　DEFDBL N，A，W，H，X，Y

20 　FOR X= －10.0 TO 10.0 STEP 0.2

30 　IF X ＞ －2.0 THEN 70

40 　 LPRINT TAB（5）；‘■’； TAB（19）；‘

■’； TAB （33）；‘■’； TAB（47）；‘■’； TAB（61）；‘

■’；TAB（75）；‘■’； TAB（89）；‘■’； TAB（103）；‘■’； TAB（117）；‘■’； TAB（131）；‘

■’； TAB （145）；‘■’

50 　LET N= 1

60 　GOTO 180

70 　IF X ＞ －1.0 THEN 140 80 　IF X ＜ －1.0 THEN 120 90 　 LPRINT TAB（5）；‘■’； TAB（12）； ‘*’；TAB （19）；‘■’； TAB（33）； ‘■’； TAB（40）；‘*’；TAB（47）；‘■’； TAB（61）；‘■’；TAB（68）；‘*’； TAB（75）；‘*’； TAB（82）；‘*’； TAB （89）；‘■’；TAB（103）；‘■’； TAB（110）；‘*’；TAB（117）；‘■’； TAB（131）；‘■’；TAB（138）；‘*’； TAB（145）；‘■’

100 　LET X= X + 0.2

110 　GOTO 150

120 　 LPRINT TAB（5）；‘■’； TAB（19）； ‘■’； TAB （33）；‘■’； TAB（47）；‘■’； TAB（61）；‘

■’；TAB（75）；‘*’； TAB（89）；‘■’； TAB（103）；‘■’； TAB（117）；‘■’； TAB（131‘■’； TAB （145）；‘■’

150 　GOTO 150

140 　 LPRINT TAB（5）；‘■’； TAB（19）； ‘■’； TAB （33）；‘■’； TAB（47）；‘■’； TAB（61）；‘

■’；TAB（75）；‘■’； TAB（89）；‘■’； TAB（103）；‘■’； TAB（117）；‘■’； TAB（131）；‘■’； TAB （145）；‘■’

150 　LET N= 0

160 　LET A= 3.141593/4

170 　GOTO 190

180 　LET A= 3.141593/4

190 　LET H= 3.141593/4

200 　LET W= 3.141593*（2*N+1） － A 210 LET Y= W/TAN（A） － （X + 1）