测量数据的解析延拓法

5．3．1　测量数据的解析延拓法

利用一定的数学方法，将地面观测的重力异常换算到密度不均匀体上部空间的任意位置，这种位场变换方法称为位场的解析延拓法，简称解析延拓法。常用的解析延拓方法有向上延拓和向下延拓两类。向上延拓是将地面实测的异常换算为地面以上某一高度观测面上的异常，而向下延拓则是根据地面实测异常求取地下某一深度观测面上的异常。

一般说来，换算到不同观测平面上的重力异常的成分已经改变。向上延拓可使局部异常大大削弱，而深部物质引起的区域异常相对突出;反之，向下延拓则使局部异常相对突出。但在两种情况下区域异常本身变化都不大。这是因为区域场大多由体积大、埋藏深的地质体引起，将观测面向上或向下移动时，深度的相对变化不大，因而区域场成分变化不大。而局部异常则是由体积小、埋藏浅的地质体引起，观测面改变时，深度的相对变化较大，因而局部异常也有较大的变化。

图5-5　重力异常解析延拓原理的说明

由此可见，解析延拓可用于区域异常和局部异常的划分。现以图5-5为例予以说明。曲线1是两个质量和埋深相差很大的球体引起的叠加异常，曲线2是将此叠加异常换算到离地面某一高度得到的异常。由图可见局部异常(小球引起)成分已被消去，而区域异常(大球引起)变化不大。在曲线1减去曲线2所得到的曲线3中，区域异常几乎消除殆尽，而局部异常得到了显示。图中虚线的大球和小球相当于观测面抬高后的位置(埋深加大)，图中+和－表示引起曲线3的剩余质量将号。

如果我们把曲线2当做实测异常，曲线1看做是曲线2延拓到地下某一深度的异常，显然向下延拓突出了浅部球体引起的局部异常。

二度体异常的延拓方法与三度体重力异常延拓方法都比较复杂，一般采用电子计算机进行运算。但应当指出，向上延拓的高度h一般要通过实验确定，以保证异常曲线的特征清晰为准。向下延拓的深度不能超过引起异常的地质体顶面的深度，否则就不符合延拓方法的理论前提。

下面介绍常用的一维(剖面分布)及二维(平面分布)异常的延拓方法。

1.一维异常的向上延拓

在应用向上延拓计算公式作上延计算时，把此式近似地表示为有限的分段积分之和:

式中:Δg(ih，0)是横坐标为ih点上的重力异常值(以取值的点距为延拓高度h的单位)。把(i－1/2)h与(i+1/2)h之间的Δg(ε，0)用其中间值Δg(ih，0)来表示。计算延拓值时究竟取多大，应根据计算精度而定。

2.一维异常的向下延拓

重力异常向下延拓值是利用向上延拓值及原始剖面异常值，根据拉格朗日插值原理外推而得。向下延拓值的近似计算公式为

式中:Δg(h，0)，Δg(－h，0)，Δg(0，0)是观测剖面上的已知值;Δg(0，－h)是计算出的上延

值;Δg(0，h)是向下延拓值。上面介绍的一维重力异常向上及向下延拓都需在已知剖面上取值，而且延拓高度应为取值点距的整数倍，所以又称等间距延拓。根据利用已知点数目多少的不同，可导出不同的下延公式。

3.二维异常的向上延拓

二维异常向上延拓需要利用平面分布的异常值。令

表示以r为半径的圆周上重力异常的平均值。当r=r_N，而且r_N足够大时，r_N以外的重力异常值可略去，则向上延拓公式为

式中

4.二维异常的向下延拓

重力异常的向上延拓值可以利用积分公式比较精确地算出，它们不能用来计算向下延拓值，因为向下延拓的计算是对异常按指数关系放大。异常的“频率”越高，放大得越强烈。因此在利用积分公式进行向下延拓计算时，放大得最厉害的是异常中包含的数据误差及一些“高频”干扰，结果异常曲线出现强烈的“震荡”现象，计算出的下延值无法利用。为了解决这个问题，Henderson(1960)提出了一个有效的、得到普遍应用的方法。下面是Grant和West(1965)对这个方法的概括。这个方法基于下面的思想:地面以下、场源体之上场值在很大程度上可以根据地面以上连续的、不同高度水平面上的场值预测。因此，如果观测面上的重力效应垂直向上延拓到四个连续的、相距一个格点距的水平面上，根据这四个向上延拓值及观测面上的重力值(共5个重力值)，应用下列拉格朗日插值公式可以外推出向下延拓值:

关于解析延拓计算的说明再次强调下列几点:

①解析延拓的作用。向上延拓具有“低通滤波”的特性，它的主要作用是使异常变得更为平滑，相对突出了区域异常的特征。向下延拓则是向上延拓的逆过程，具有“高通滤波”的特性，其作用是相对突出了局部异常，分解在水平方向上叠加的异常，定性估计场源的深度，以及由于下延使延拓面更接近场源，异常等值线圈闭的形状与场源体水平截面形状更为接近，因而可用来了解复杂异常源的平面轮廓。

②解析延拓的计算。上延计算在理论上是严密的而且是可以实现的，计算误差主要是有限的积分范围所致。当积分范围一定时，延拓高度越高则误差越大。等值线网格化时取值点密度及计算延拓值时插值误差也会造成影响。

下延计算属于不适定问题，引力位在场源体外和场源体内分别满足拉普拉斯方差和泊松方程，场源深度又属未知的;因而在理论上未能解决其计算方法，只能用插值公式进行外推。外推的深度越大，下延值的误差越大。由于下延计算的高通滤波性质，局部干扰和误差会被放大，使下延计算可能失败，因而在处理实际资料时下延深度不能太大;而且每下延一次要对这个深度的下延值进行平滑处理，然后再继续下延。

③在某个高度(深度)处的上延(下延)值相当于把观测面移到这个高度(深度)处得到的值;也相当于保持观测面不动，把场源体向下(上)移动了一个等于这个高度(深度)的距离，在原观测面上得到的异常值。了解这些对应关系，有助于增加解释的手段。

解析延拓尚有两个问题需要解决:①进行上延计算时，由浅部场源体引起的“高频”异常随高度增加而衰减的同时，所求的由深部场源体引起的宽缓的“低频”异常也随高度衰减;进行下延计算时，由浅部场源体引起的“高频”异常随深度增加而增大的同时，由深部场源体引起的“低频”异常也得到放大。②上延高度是决定上延效果的一个关键参数，而且在进行上延计算时必须首先给定。迄今为止，还没有一种确定上延高度的有效方法发表，关于它的讨论也是极少的。