增设素材分析算理

马凤娟（执教）　陈庆宪（评析)

◎课前思考

在计算的教学中，大家都会努力加强算理的教学。但问到为什么要加强算理时，教师都会说是为了更好地掌握计算方法。这个说法当然没错，因为掌握计算方法首先要对算理理解。问题是大部分教师没有注意到算理的掌握过程，也是学生进一步理解数量关系的过程，是进一步提高解决问题能力和逻辑推理能力的过程。所以我要说的是“理解算理不仅仅是为了掌握算法”。比如进行分数乘、除法教学时，一定要结合实际，在分析数量关系的基础上，把分数回归到分数意义中进行算法的推理。在教学“一个数除以分数”这一内容时，学生不大容易理解“除以一个数要乘这个数的倒数”的算理。因此，针对这一课，我们根据以上想法和人教版六年级上册教材的编排，对学习素材做了适当补充，在探究中给学生提出了一些新的要求。通过试教收到很好的效果，教学过程整理如下，供大家研究时参考。

◎实录与评析

1.提供联系素材，自主探究算理。

（1）回顾数量关系，自主沟通联系。

呈现以下两个问题和学习要求：

问题①：小明2小时行走了6km，小明平均每小时走了多少km？

问题②：小明小时行走了1km，小明平均每小时行走了多少km？

学习要求：

①写出这两个问题的算式。

②你是用什么数量关系写出算式的？

当学生写出算式：“6÷2”和“1÷”后，通过交流得出：这两个问题都用了“路程÷时间=速度”的数量关系。

师：对于“6÷2”运用这个数量关系很好理解，而且结果等于“3km”，那对问题②为什么也可以用这一数量关系列出算式“1÷”呢？

生：因为②小题的路程只有1km，时间是小时，所以也可以用这个数量关系。

师：是的，数量关系在分数和整数的问题中都是一样的。我们还可以这样去理解：在求“1小时所行的路程”时，知道了小时行的路程是1km，也就是1小时所行路程的是1km。

教师随手板书：（1小时所行的路程）×小时所行的路程。

师：那1小时到底行多少km呢？也就是“”的结果到底是几呢？

学生很快说出：是3km。

这时教师再出示第③条学习要求：

你能针对问题②和算式“”画出线段图说明计算过程和结果吗？

学生独立画图思考后，教师让两位学生把图画到黑板上。

生1：先画了一段表示1km，再把这一线段向右延长，延长出与这条线段相等的两段，在整条线段标上“？km”表示1小时行的路程（如图1）。

生2：先画一条线段表示1小时行的路程，并标上“？km”，再表示出小时行的1km。（如图2）

图1

图2

教师让学生说一说画图的思考过程。根据学生的回答，并结合图对算式计算过程进行板书。黑板上呈现了两个算式的计算过程：

【评析】　以上两个问题是对学习素材的补充，原教材并没有这样的素材。这样的补充显然是将本课的学习回归到了认知的起点，学生能把整数问题中的基本数量关系迁移到分数的问题中，另外也适当降低了本课分数问题的难度。对于第②个问题，教师有意识地引导学生用分数的意义去沟通“1小时所行路程的是1km”，用分数的乘法意义来推出除法，并要求学生再通过画图说理，这也为下面的进一步探究打下了基础。

（2）继续呈现问题，列式画图说理。

问题③：小明小时行走了2km，小明平均每小时行走多少km？

学习要求：

①列出问题③的算式，想一想这个算式应该怎样计算？

②画出线段图，说明算式的含义和计算过程。

学生独立思考、小组交流后，教师让一位学生把图画到黑板上（如图3）。

针对学生写出的算式和画出的图，组织交流。

师：你是根据什么写出除法算式的？

图3

生：我根据“路程÷时间=速度”的数量关系写出的。师：你们能不能根据乘法的关系写出算式呢？

生：小时就是1小时的，也就是“1小时行的路程可以得出：

“1小时行的路程”。（教师板书这一推理过程的式子）

师：你还能结合自己所画的图说一说计算过程吗？

交流中突出小时有2个小时；2个小时行走了2km，也就是1个小时行走“2km的”，即“2×”。而1小时里面有3个小时，也就是1小时行走的路程是“”。

根据学生的回答板书

⑶继续呈现问题，列式看图说理。

问题④：小红小时行走km，小红平均每小时行走多少km？

学习要求：

①根据问题④写出算式，想一想应该怎样计算？

②图4是根据题意画出的，你能根据图说一说自己的计算方法吗？

图4

在学生独立思考、互相交流后，再组织学生汇报，并逐步板书如下计算过程：

【评析】　问题③让学生独立列式、画图、说理；问题④独立列式，观察线段图，再说理。而在每个问题解答之后，教师没有刻意地去总结“一个数除以分数”的计算方法，目的是为了让学生更多地关注到算理上。

2.整体观察算式，概括计算方法。

教师指着黑板上已形成的四个算式问：我们前一节学过“分数除以整数”，请大家仔细观察这些算式，今天我们学习的是……

生：今天我们学习了“整数除以分数”和“分数除以分数”。

师：概括起来就是“一个数除以分数”。（教师随手板书课题）

师：请大家观察这些算式的计算过程，你能发现什么？

学生在独立观察、思考后，小组交流，教师组织集体交流概括。

生：我发现一个数除以分数等于乘这个分数的倒数。

师：今天我们学习的除法是把除法转化成……

生：把除法转化成乘法。

师：在转化乘法时要注意什么呢？

生：要把除数转化成它的倒数。

这时教师让学生针对黑板上的算式，随机画出计算过程的变化（如图5），并突出转化过程的注意点。

图5

【评析】　让学生整体观察四个算式去概括计算方法有两点好处，一是体现了从特殊到一般的概括过程，说明计算方法的广义性；二是体验到自己发现计算方法的成就感，进一步激发学习的积极性。另外教师在组织学生观察概括时有意识突出转化思想，使学生感受到今天所学的新的计算方法，就是把它转化成已学过的乘法计算。

3.增设素材解读，加深算理理解。

投影逐一呈现以下素材，让学生针对图和算式自主解读意义。

素材一：如下图这块地中的阴影部分是6公顷，请你仔细观察图和每一步的思考过程，先把空格填完整，再说一说除法算式是怎样推出来的？这个除法算式表示的实际意义是什么？以及计算过程和结果的实际意义是什么？（屏幕上同时呈现以上要求和图6，并要求每位学生都在练习纸上填写下面括号内的数）

这块地面积的是（　）公顷

图6

也就是：这块地面积

可以推出：

学生观察思考后，教师组织汇报。

生：第一个括号应填上6，也就是这块地面积的是6公顷，再根据“积除以一个因数等于另一个因数”，这个除法算式表示了这块地的面积。“”表示先求一小块阴影部分的面积，“”就表示整块地的面积。从“”到“”用到了乘法结合律，这样就有“6除以，就等于6乘的倒数”。

素材二：仔细观察图7，先把括号内的数填完整，再说一说除法式子是怎样推出来的？它表示的实际意义是什么？说一说每一步计算过程的实际意义。（屏幕上也同样呈现以上要求和图7，同样让学生在练习纸上填写下面括号内的数）

原来这瓶酒的是（　）克；

图7

也就是：原来这瓶酒的总质量×=（　）（克）；

学生在独立思考、填空后，教师再组织集体交流。

重点让学生交流上面的第三步。使学生再次说出：这个除法算式是根据上一步的乘法推出的，它表示原来这瓶酒的总质量。把原来这瓶酒平均分成5份，其中的2份是300克，所以先算其中1份是“”，再计算5份。所以要填“”。

【评析】　这一环节我们增设了两个思考素材，其目的是让学生进一步理解除法的实际意义。学生通过对这两个实际问题的再次质疑，进而领悟到在什么情况下用到除法来解决问题，知道分数除法是从乘法的数量关系中推导而来的，这样又为今后用除法解决分数问题打下了基础。另一目的是为了加深算理的理解，学生针对不同背景解读每步计算过程的实际意义，使学生将算理再次上升为图像表征。

4.精选练习素材，巩固计算方法。

（1）通过填空、观察，完善计算方法。

填一填，填上适当的运算符号和数。

学生独立填空后，再组织反馈交流。

师：今天我们学习一个数除以分数，上一节课我们学习的是一个数除以整数。通过以上填空和黑板上这些算式，我们是否可以概括出除以一个数等于什么？

生：等于乘这个数的倒数。

师：那从最后一题又要提醒我们注意什么？

生：要注意除以一个不等于0的数。

师：我们刚才概括的除法计算方法，怎样说更完善呢？（学生交流）

教师板书：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

（2）独立算一算课本第32页第2题：

学生计算后及时反馈订正。（过程略）

【评析】　当学生概括出了一个数除以分数的计算方法后，如果按此方法进行计算还是比较容易的，因为除了把除法转化为乘法，其他都是原有的技能，所以在本课我们对于纯计算的练习没有进行过多安排，只给学生精选了以上四个算式的填空和课本中的四个算式。设计这组填空题的目的是让学生进一步概括计算方法，尤其让学生通过对最后一题字母的填空，注意到除数仍然不能是“0”，使计算方法的表述得到完善。

5.适当拓展素材，激发学习兴趣。

紧接着屏幕上呈现以下一组算式，提出：有人通过下面方法也推出了一个数除以分数的计算方法，你能看懂他用了什么规律把除以一个数转化成乘这个数的倒数的？

生：利用了商的不变规律。也就是被除数和除数乘同一个数，它的商是不变的。

师：乘同一个数，这个数是从哪里找来的？

生：这个数是原来除数的倒数。

师：为什么？

生：同乘除数的倒数就可以把除数转化成“1”了。

师：同学们真棒！又看出了把除法转化成乘法的另一种推理方法。今天我们主要学习了通过数量关系和画图分析来探究出“一个数除以分数等于乘这个分数的倒数”。实际上除了这两种方法，还有其他的推理方法，有兴趣的同学可以在课后继续探究。（此刻学生感受到数学如此奥妙，兴趣得到再次激发）

【评析】　以上这两个除法算式，就是第一环节中教材例题上的两个除法式子。教师在屏幕上直接呈现推理过程，让学生自己观察、解读，使学生认识到这又是一种把除法转化为乘法的推理方法，而这种推理方法关键点是把除数转化为“1”。接着教师引导学生回顾本课所采用的推理方法是通过数量关系的分析，以及结合分数的意义把除法转化为乘法的。当然这一环节的拓展性素材要根据教学实际情况灵活处理，由于本课马老师的教学时间比较充裕，所以提供这样的素材，起到拓展推理视角的作用，进一步激发了学生的学习兴趣。

纵观全课，与平常教学最大的不同点有二：

①回归简单问题，梳理数量关系。为了更好地发挥数量关系的迁移，在原教材探究“小明小时行2km；小红小时行km，谁走得快些？”得出两个除法算式的基础上，给学生增设了一道整数问题和一道简单的分数问题。这样就有四道同类问题，学生从中领悟到，虽然路程与时间在变化，但求速度的数量关系是不变的，并训练了学生简单的画图分析能力。

②增设实例分析，凸显算理解读。本课教学的立足点不在于计算技能的熟练程度，而是要学生去深刻理解算理。因此，在以上教学中，增设了对两个实际问题的分析过程。实际上对这两个实际问题的解答，已涉及接下来要学习的如何用方程解答问题。在本课我们将此类问题以图示和填空的形式出现，过程也呈现得相对细一些，主要是让学生读懂为什么用除法解决这些问题，读懂除法转化为乘法的实际意义。作为“一个数除以分数”的第一课时，在这方面多花点时间解读，我们觉得非常必要。