平方律分布的自聚焦光纤中的光线传播轨迹与规律分析

13.3.2　平方律分布的自聚焦光纤中的光线传播轨迹与规律分析

研究表明，能实现光纤中子午光线自动聚焦、消除模间色散的折射率分布函数有如下两种：

（1）平方律（抛物线）分布，即满足

　　　　　　（二次方形式）　　　　　　（13.43）

或

　　　　　　（一次方形式）　　　　　　（13.44）

上式中α为介质折射率分布的渐变系数。

图3.17　双曲正割分布函数图像

（2）双曲正割（sech（αr））分布（见图13.17），即满足

（二次方形式）　　　　　　（13.45）

（一次方形式）　　　　　　（13.46）

可以证明，满足上述折射率分布的函数可以实现或近似实现子午光线自聚焦。因此满足上述折射率分布的渐变折射率光纤又称为自聚焦光纤。应该说明的是，折射率呈双曲正割分布的光纤，其子午光线可以实现完善的自聚焦、即零色散（见图13.18）；而折射率呈平方律分布的光纤，仅在近轴条件下，其子午光线才能实现完善自聚焦，而在一般入射条件下，其消色散性能不完善（见图13.19）。但与阶跃多模光纤相比已有大的改善。

图13.18　具有自聚焦性能的渐变折射率光纤的结构与光线轨迹示意图

图13.19　平方律分布光纤中的子午光线消色散的不完善性

20世纪80年代中期，曾一度取代阶跃多模光纤而专门应用于光通信的渐变折射率光纤，其标准芯径为50μm或62.5μm，包层直径为125μm。后来主要应用于中等距离的数据通信和网络传输信号。

在实际应用中，出于对制造工艺、成本等的考虑，渐变折射率光纤的折射率分布实际上仍多取平方律分布或近似平方律分布。因而，以下即以平方律分布为例，分析这种渐变折射率光纤近轴光线轨迹的自聚焦特性，并为研究自聚焦透镜的成像规律奠定理论基础。

若将式（13.44）代入式（13.42），则有

上式的通解为

r=Acosαz+Bsinαz（13.48）

上式中两个待定系数A、B可利用初始条件确定。但为确定两个待定系数A、B，尚需补充建立一个由上式对z求导获得的如下光线轨迹斜率方程：

若光纤端面z=0的初始入射条件为r=r₀，P=P₀。将上述初始条件依次代入式（13.48）、式（13.49），则求得如下两个待定系数值：

将A、B系数值代入式（13.48）与式（13.49），则有

式（13.51）与式（13.52）分别为近轴条件下的光线轨迹方程和光线轨迹斜率方程。若将上两式表为矩阵方程形式，则有

定义如下的矩阵M为自聚焦光纤中的光线作用矩阵：

显然，作用矩阵M决定了光纤中子午光线的轨迹。在式（13.54）中，若知渐变系数α，则可求出作用矩阵M；再知初始条件r₀、P₀，则可确定，即确定光线的具体传播规律。

若将光线轨迹方程式（13.51）表为位相与初位相和的三角函数形式，则有

r=Rsin（αz+φ₀）　　　　　　　　　　　　　（13.55）

表明，光线轨迹为一族正弦曲线。上式中R、φ₀分别为振幅和初位相，并可表为下式：

φ₀=tan^－1（αr₀/P₀）　　　　　　　　　　（13.57）

式（13.55）表明，一般情况下，子午光线轨迹为一初位相φ₀≠0的正弦曲线，且其振幅R值随r₀、P₀值的增大以及渐变系数α的减小而增大，如图13.20所示。

图13.20　子午光线在端面任意高度点（r₀）以斜率P₀投射

为深入分析平方律分布光纤中光线传播的特性与规律，必须首先研究近轴条件下光纤端面两种特殊入射条件的光线传播规律。

图13.21　子午光线在端面轴上点入射

（1）光线以α₁角入射于光纤端面轴上点（即r₀=0）。

如图13.21所示，应有初始条件r₀=0，P₀=tanα₁。将上述值代入式（13.51）和式（13.52），即得到光线轨迹与斜率方程分别为：

式中：α₁——入射光线在光纤端面轴上点的入射角；

　　　α₁＇——折射角。

式（13.58）表明，光线轨迹是初位相为零的正弦曲线。其一个周期长度（令z=Λ）的位相应有如下关系：

αΛ=2π　　　　　　　　　　　　　　　（13.60）

因而有　　　　　　　　

上式表明，在近轴条件下平方律分布的光纤具有自聚焦（零色散）的特性，轴上点发出的不同光线其光线轨迹正弦曲线的周期长度（Λ）不变，即具有图13.18（a）的效果。

进一步分析其振幅特性。若将初始条件代入式（13.56），应有

且在最大孔径角条件下，应有

tanα_1mx=αR_mx=αa（13.63）

式中：a——光纤半径。

由于r₀=0，0点为光纤端面的轴上点，因而在最大孔径角条件下可定义数值孔径：

由于渐变折射率光纤其渐变系数α很小，即α²a²《1，因而有（一般n₀=1）：

NA≈n₀αa=αa　　　　　　　　　　　　　（13.65）

根据上述关系，在知道光纤芯中心与边缘折射率差值的要求时，可求取渐变系数α的设计值。如图13.22所示，设光纤芯中心（即沿轴）折射率为n₁，边缘（即r=a处）折射率为n_d，则有

由上式可以得到

（2）光线以投射高度r₀平行于光轴入射（见图13.23）。

初始条件为r₀和P₀=tanα₁=0。将上述初始条件依次代入式（13.51）和式（13.52）得到

式（13.68）表明，上述光线轨迹为一余弦曲线，其振幅R=r₀，其周期亦为。

在图示平行光入射条件下，若要得到平行光出射，则应有出射端面处：

P=－r₀αsinαz=0　　　　　　　　　　　　（13.70）

即应有　　　　　　　　　　　　αz=nπ

因而　　　　　　　　　　

由式（13.71）并参看图13.23，可得到如下重要结论：

①当自聚焦光纤长度为半周期长度的整数倍时，若在输入端面有平行于光轴（光纤轴线）的光线入射，则输出端面的出射光线亦平行于光轴。

②当自聚焦光纤长度为Λ/4的奇数倍时，若输入端面有平行于光轴的光线入射，则出射光线将会聚于光纤出射端面轴上点处；反之，若将点光源置于Λ/4长度光纤输入端面的轴上点处，则出射端面可获得平行于光轴的平行光束出射（例如扩束镜的应用）。

利用上述重要特性，可通过控制切割自聚焦光纤的长度，获得所需要的具有不同光束特性与结构的自聚焦透镜。

图13.22　光纤渐变折射率分布（平方律）

图13.23　光线平行于光轴入射