光在阶跃直圆柱光纤中的传播规律及主要性能参数

13.1.2　光在阶跃直圆柱光纤中的传播规律及主要性能参数

本节将运用光线光学的方法，首先研究理想阶跃型直圆柱光纤（即不存在形状偏差的阶跃光纤）中子午光线的传播规律，进而研究光纤形状偏差对子午光线传播的影响，最后简要介绍空间光线在阶跃光纤中的传播规律。

1）理想阶跃型圆柱光纤中子午光线的传播

（1）子午光线的全反射与数值孔径

圆柱光纤中通过光纤中心轴线的任何平面均为子午面，位于子午面内的子午光线投射到芯与包层界面上，当满足全反射条件时（n₁＞n₂，θ＞θ_c），则发生依次连续的全反射，其轨迹为子午面内的平面折线，且在一个周期内与芯轴相交两次，如图13.4所示。

图13.4　理想阶跃圆柱光纤中子午光线传播规律

芯与包层界面上发生全反射的投射角条件是

由于n₁、n₂相对差值很小，因而大多数光纤的全反射临界角θ_c约在70°～80°以上。

若光纤位于n₀介质中，对应于界面B点发生全反射（投射角θ＞θ_c）时端面A点处的入射角α应为

与界面全反射临界角θ_c相对应的光纤端面最大入射角应为

通常称α_max为“孔径角”，并定义光纤的数值孔径为

NA是阶跃多模光纤的一个重要参数，它表示光纤集光能力的大小，亦即能进入光纤的光通量的多少。α_max即为光纤端面处能激发出导波的最大入射角，又称“接收角”。数值孔径NA在一定程度上反映了光纤是否容易被激发、是否容易进行光束耦合的性质。

根据上述定义，显然仅当满足α≤α_max的端面入射光线才能在阶跃光纤中得到传播；而大于α_max的端面入射光线，在芯与包层界面将发生部分折射进入包层，并且能量将很快辐射损耗，因而不能在光纤中传播。从光波导的观点看，α≤α_max的任意光线对应于相应的传导模；与最大入射角α_max——全反射临界角θ_c相对应的则是多模光纤中的最高阶传导模；而α＞α_max（θ＜θ_c）的光线，在界面将产生部分析射，因而对应于辐射模。

当芯与包层折射率n₁、n₂差值很小时，式（13.11）经变换可表为

式中

称为相对折射率差。当Δ《1时，则称这种芯与包层折射率差值很小的光波导为“弱导光波导”（Weakly Guiding Optical Waveguide）。一般，对标准的石英阶跃多模光纤与渐变折射率多模光纤，Δ≈1％；而对阶跃单模光纤，Δ≈0.3％。

式（13.12）表明，光纤的数值孔径主要取决于纤芯与包层的相对折射率差值Δ，即只与芯及包层材料的折射率有关，而与光纤芯及包层的几何尺寸（直径）无关。正因此，光纤可以制成数值孔径很大、而直径很细，从而实现其结构细而长、具有柔性、可弯曲的结构特点。光纤的数值孔径与透镜的相对孔径（）具有相同的物理概念，即都是表示集光能力的强弱；然而，两者大小所取决的结构因素有本质差别：前者只取决于n₁、n₂的相对折射率差值，而后者则取决于透镜口径大小与焦距的比值。改变n₁、n₂配比，调整相对折射率差值Δ，可以获得大的数值孔径和具有较大数值孔径动态范围的各种类型光纤（见表13.1和图13.5）。但应指出，在使Δ值增大提高NA值的同时，也带来多模光纤中模间色散增大的负面效应。

表13.1　光纤数值孔径与相应透镜相对孔径的对比

计算举例：计算与光纤具有相同数值孔径0.551的透镜的光圈数（或相对孔径值）

因而应有对应透镜的光圈数f＇/D为0.91，或其相对孔径D/f＇为1∶1.1。显然，对透镜性能的设计要求已是很高了。

图13.5　光纤数值孔径与n₁/n₂关系曲线

然而应该指出，上述有关数值孔径的概念与规律，主要是针对多模光纤而言；对于单模光纤，由于一般芯径2a＜8～10μm，光线光学不能解释其可能产生的干涉等现象，因而数值孔径的概念实际已不适用，而是采用模斑直径来反映其光场特性。有时仅为形象类比而借用此名称，但并不能表征其实际接收角的大小，一般单模光纤的数值孔径约为0.1的数量级。

（2）子午光线在光纤中的光路长度与全反射次数

子午光线在阶跃光纤中传播的轨迹为子午面内的一平面折线，其实际的光路长度大于光纤长度。为求长度为L的光纤中子午光线的光路长度，必须首先求取单位光纤长度的光路长度l_m（见图13.4）：

上式中l_m为无量纲数。上式表明，当n₁、n₀（通常在空气中为1）确定时，l_m只取决于端面的入射角α，而与光纤的芯径2a无关。

长度为L的光纤的子午光线光路的实际长度为：

为了求取长度为L光纤中的反射次数，应首先确定光纤中相邻两次反射的间隔ΔL₀：

单位光纤长度的反射次数为：

长度为L的光纤总反射次数为：

上式表明，光纤中的总反射次数除与n₁、α有关外，还与光纤长度L成正比，而与光纤芯径2a成反比。

（3）子午光线传播的时延差与模间色散分析

色散特性是光纤最重要的传输特性之一，也是对长距离光通信最重要的影响因素。由于色散将使光纤中传输的模拟信号或脉冲数字信号发生畸变，最终导致接收端的脉冲展宽，影响光纤传输信息的容量。光纤中影响产生色散的因素包括：模间色散，波导色散和材料色散。对于阶跃多模光纤，光纤中传输多种模式，其模间色散（或称多模色散）引起的脉冲展宽占有色散总量影响中最重要的数量级。

以光通信中常用的脉码调制为例，多模色散是指发射端由脉冲同时激励起的多种传输模式，由于各种模的群速度不同，因而不同模式到达接收端的时刻不同，从而产生脉冲展宽的现象。如图13.6定性示意多模光纤发射端的三种模式传输相同距离，由于速度不同在输出端产生的脉冲展宽。用光线光学作定性分析可以认为，光纤中每一条实际传播的子午光线代表一种电磁场分布的模式。由于芯中折射率均匀分布，不同光线虽传播的速度相同，然而不同α（θ）角的光线经历的光路不同，其沿轴向平均速度不同，因而最终到达光纤出射端所需的时间也不同。不同模式间的时延差只取决于不同光线间的光路程差。其中，最大的时延差由α=α_max的最大孔径角入射光线与α=0的沿轴向入射光线决定（见图13.4）。

当α=0，应有

当α=α_max，应有

上式中，c为真空中光速，L为光纤沿z向的长度，v_zmax、v_zmin分别为沿轴向的最大和最小平均速度。由上式可得到沿阶跃多模光纤单位长度传播所产生的最大时延差（亦即脉冲展宽）应为

上式即可用于概略分析多模光纤因模间色散引起的最大脉冲展宽，这种模间色散、脉冲展宽降低了波导传输的信息容量（见图13.6）。显然，时延差τ与芯和包层间的相对折射率差Δ成正比，Δ越小，则时延差越小，即色散越小。为此，采用减小Δ值，即制造“弱导光纤”，即可实现低色散。例如，若n₁=1.5，则t₀=n₁/c=5μs/km，当Δ=1％时，τ=Δt₀=50ns/km，即每公里的时延差为50ns，其色散值已很大，相应的传输带宽为20MHz·km；而若Δ=0.3％时，则减小为τ=15ns/km。

图13.6　多模色散脉冲展宽示意图

另外，脉冲展宽的大小除与光纤的色散特性有关外，还与传输距离有关。对一段光纤传输线，实际可用的频带宽度或数码率，受到相邻两个再生站间距离的限制。因而，从对最终光纤信息承载容量的影响分析，只提频带宽度是不全面的，而应采用带宽长度乘积（例如MHz·km或GHz·km）表示。

还应指出，上述对多模光纤模间色散、脉冲展宽的分析还仅限于子午光线，对更大量的空间光线尚未考虑。正是由于阶跃多模光纤的色散严重，限制了带宽，因而在光纤与光通信的发展中，陆续兴起了渐变折射率多模光纤（色散减小两个数量级）和阶跃单模光纤。

（4）光纤的透射特性

光纤的透射性能是其重要的传输性能指标之一，通常是以透过率表示。定义透过率为光纤的输出光通量（以I表示）与输入光通量（以I₀表示）之比，表为下式：

对于理想状态的单根光纤，影响其透过率降低、即造成损耗的主要因素有：光纤端面上的菲涅尔反射损失，纤芯与包层界面上的全反射损失，纤芯材料的吸收损失。

①光纤端面上的菲涅尔反射损失

光从空气中入射到光纤端面上，将有一部分光能量被界面反射而损失，此即菲涅尔反射损失。菲涅尔反射损失系数与光线入射角有关，在通常孔径角范围内，入射光线的反射损失系数可近似取垂直入射即α=0时的反射损失系数为

若n₁=1.52，n₀=1，则R=0.0426，通常近似取R=0.04。

当只考虑光纤入射及出射端面的菲涅尔反射损失时，光纤的透过系数应为

t₁=（1－R）²　　　　　　　　　　　　　　（13.24）

②纤芯与包层界面上的全反射损失

由于光纤拉制的原因，光纤芯与包层界面不可能是完全理想的光学接触，可能存在界面缺陷，因而存在全反射损失。令全反射损失系数为β，则界面实际的全反射系数为1－β。对玻璃纤维1－β值约为0.9995；对塑料纤维约为0.99。若有长度为L的光纤，则仅由界面全反射损失所决定的光纤透过率应为：

t₂=（1－β）^Lqm　　　　　　　　　　　　　（13.25）

式中：q_m——单位长度光纤的全反射次数。

③芯料的吸收损失

纤芯的吸收损失是由于芯料的成分及加工工艺造成的。设吸收损失系数为a，则仅由芯料吸收损耗所决定的光纤透过率可由如下的指数衰减函数表示：

t₃=e^{－a（Lsecα＇）}　　　　　　　　　　　（13.26）

式中：secα＇——单位光纤长度的光路长；

　　　L——光纤长度。

综合考虑上述三方面损失影响的光纤透过率应由下式表示：

T_F=t₁t₂t₃=（1－R）²（1－β）^Lqme^{－a（Lsecα＇）}　　　　　　　　　　　　（13.27）

2）阶跃光纤形状偏差对子午光线传播规律的影响

以上所讨论为子午光线在理想的直圆柱阶跃光纤中的传播规律。实际上由于光纤的制造误差，阶跃光纤可能偏离直圆柱而出现形状偏差，由此将影响子午光线的传播规律发生一定的变化。常见的阶跃光纤形状偏差有如下三种（见图13.7），即光纤弯曲偏差（图（a））、光纤锥度偏差（图（b））、光纤端面垂直度偏差（图（c））。以下简要分析三种形状偏差的影响。

（1）光纤弯曲对子午光线传播的影响

实际应用中，光纤经常处于弯曲或微弯曲状态下传递光信息与光能量，因而研究光纤弯曲对子午光线传播规律的影响具有重要实际意义。光纤弯曲时，光纤芯与包层之间上、下界面的入射角（反射角）θ₁和θ₂将发生变化，且有θ₁＜θ＜θ₂（见图（a））。当θ=θ_c时，由于θ₁＜θ，因而上界面的部分投射光线将可能从纤芯逸出到包层中而损失；另外，光纤弯曲将使子午截面光纤的数值孔径向减小的方向变化（参见导出的光纤弯曲条件下子午截面光纤数值孔径NA_b的解析公式（13.28））：

上式中d为光纤芯径。根据上述分析，对光纤允许的弯曲半径R必须严格加以限制，使之保持很大的值，这对长途通信的光纤尤为重要。

（2）光纤圆锥度对子午光线传播的影响

当由于制造误差而使光纤的直径产生随长度而线性变化即呈现圆锥度时（圆锥角2β），若以光线从光纤的大端面向小端面传播为例（见图（b）），子午光线从界面的第2次反射开始，每反射一次，反射角将减小2β，直至反射到第j次，当满足θ＜θ_c条件时，则该光线从界面逸出。表明光纤存在圆锥度形状偏差，将会影响光纤中光线传输的数量，同时也将影响光纤的数值孔径发生变化（参见导出的圆锥光纤数值孔径解析公式（13.29））。为此，光纤制造中要严格控制光纤直径的均匀度。光纤锥度对子午光线传播轨迹的影响，可借助于图示的棱镜展开法加以分析。

图13.7　阶跃光纤三种形状偏差对子午光线传播的影响

（3）光纤端面倾斜对子午光线传播的影响

由于光纤切割及端面研抛加工时，难以保证光纤端面与中心轴线的严格垂直度，即产生端面倾斜（端面法线与光纤轴线角为δ，见图（c））。由于端面倾斜（倾斜角δ）将影响端面法线上下两侧对应光线的光纤数值孔径发生如下变化：

与此同时，端面倾斜还将使出射光锥的对称性被破坏。为此，光纤加工时必须严格控制端面的垂直度偏差。

3）理想阶跃光纤中空间光线的传播

在阶跃光纤中不仅有子午光线的传播（只占少量比份）而且更有大量空间光线（又称斜光线）的传播。以下将简要讨论阶跃光纤中空间光线传播的基本概念与规律。

空间光线是与光纤中心轴线既不平行也不相交的光线，从立体几何观点，空间光线与光纤轴线为异面直线。如图13.8（a）所示，位于n₀介质中的入射光线S在光纤端面芯与包层界面处A点以α_s角入射，并以α_s＇角折射，尔后与界面相交于B点并发生全反射。A、B可视为圆柱阶跃光纤两相邻反射点，它们是处于芯与包层界面的圆柱面上。为在B点发生全反射的入射光线，B＇点是从B点到过A点的光纤横截面所做的垂足，显然，∥轴线。连接，并从O点向作垂线，则r_c是空间光线相对于光纤轴线的距离。图中标出的各有关量值的物理意义为：

N₀：端面入射点处的法线；

α_s：空间光线在端面A点处的入射角；α_s＇：空间光线在端面A点处的折射角；

θ：反射光线与法线（A点处法线与B点处法线）之间的夹角，即为反射角（亦等于B点处的入射角）；

β：轴倾角，即光线所在平面AB＇BA＇（与端面垂直）与法线的夹角，它反映空间光线轨迹靠近光轴的程度，意义非常重要。

图13.8　阶跃光纤中空间光线传播的轨迹及其在光纤端面的投影

根据立体几何三面体A点处各角之间的如下关系：cosθ=cosεcosβ，可以导出如下对应于空间光线全反射临界角θ_c的端面处空间光线最大孔径角α_smax应为

式中：α_max——子午光线孔径角。

满足如下条件的空间光线可以连续全反射向前传播：

相应地，空间光线的数值孔径应为：

NA_s=n₀sinα_smax=NA/cosβ　　　　　　　　　　（13.33）

式（13.31）中，由于一般β＞0、cosβ＜1，因而有α_smax＞α_max。表明空间光线的孔径角大于子午光线的孔径角；空间光线的数值孔径一般也大于子午光线的数值孔径。

根据前式以及图13.8（a），可得出结论：空间（斜）光线在阶跃圆柱光纤中传播的轨迹为一空间螺旋折线，斜光线在光纤中每反射一次就改变一次空间方位，各段空间折线与光纤中心轴线是等距的。当β≠0时，空间螺旋折线在光纤横截面上的投影为一圆内接折线（如图13.8（b）所示）。

此外，还应指出两种特殊情况：

当β=0时，则有cosβ=1，圆柱面内的空间螺旋折线就蜕变为子午面内的平面折线。此时，α_smax=α_max；而当β→90°时，则空间光线的螺旋折线即演化为与圆柱表面相切的圆柱螺旋线，其在光纤端面上的投影则为一个圆。