自聚焦透镜的成像规律

13.3.3　自聚焦透镜的成像规律——近轴成像

通过控制自聚焦光纤的长度，将其用于成像，则为自聚焦透镜。

近轴条件下自聚焦透镜的成像与近轴光学的透镜成像具有类同的规律，但同时还有其特殊规律。

1）自聚焦透镜的基点与焦距

利用几何光学中近轴光学的概念，可以确定自聚焦透镜的基点位置与焦距。

图13.24　自聚焦透镜近轴成像

如图13.24所示，根据近轴光学的定义，位于空气中具有长度为z₀的自聚焦透镜，其像方基点位置的确定方法如下：平行于光轴的光线以r₁的投射高度在自聚焦透镜入射端面1的A₁点入射，随后沿余弦曲线轨迹与透镜出射端面2交于A₂点，投射高度为r₂，其入射角度为u₂，经折射后折射角为u₂＇，像方出射光线与光轴的交点为F＇，此即自聚焦透镜的像方焦点；出射光线的反向延长线与入射平行光线的交点B即决定了透镜像方主面位置，过B点作与光轴垂直的平面即为自聚焦透镜的像方主面，该面与光轴的交点即为像方主点H＇。根据近轴光学的定义和符号规则，以自聚焦透镜的出射端面2为像方基面，则可标出像方主面位置－l_H＇、像方焦面位置l_F＇；进而根据像方焦距的定义（以像方主点H＇为基点，到像方焦点F＇的距离即为像方焦距）和符号规则即可标出像方焦距f＇。

（1）像方焦距值f＇

由近轴光学和图中的几何关系应有

上式中，α为渐变系数，n₁为沿轴折射率，z₀为自聚焦透镜的长度。上式表明：自聚焦透镜的焦距值f＇随渐变系数α值与透镜长度z₀的变化而变化。为分析自聚焦透镜f＇随透镜长度变化的规律，可将f＇依次对z求一阶与二阶导数。根据可确定极值点的位置；由＞0，可判断f＇存在极小值f_min＇。根据计算可得到

（2）像方主面位置l_H＇

由图示知，应有

由式（13.72）和式（13.74）可以看出，在自聚焦透镜折射率分布渐变系数α确定的条件下，其像方主面位置l_H＇与像方焦距值f＇均将随自聚焦透镜长度z₀的变化而作周期性的变化，且变化的幅度很大。图13.25分别画出了自聚焦透镜的光线轨迹、像方焦距值f＇以及像方主面位置l_H＇随透镜长度z₀的变化规律。

图13.25　自聚焦透镜近轴光线轨迹、焦距与主面位置函数曲线

由图13.25可见，通过控制切割自聚焦透镜具有不同的长度z₀，可实现其焦距值f＇与基点位置l_H＇产生为实现特定成像要求所需要的很大的动态变化范围（如焦距值的正负与量值大小），因而可实现多变的成像效果，这正是自聚焦透镜特有的灵活成像特性的巨大优点。

自聚焦透镜的直径d一般约为1～2mm，长度z₀一般为3～30mm。具有重量轻（5～200mg）、尺寸小以及可实现短焦距等特点。一个自聚焦透镜光学性能与结构参数的典型数值如表13.4所示。

应该指出的是，自聚焦透镜的数值孔径随入射光线入射位置的不同而变化。其中，光纤轴线上即中心处数值孔径角最大，远离光轴则数值孔径角逐渐减小。表中给出的即为自聚焦透镜中心的数值孔径。

2）自聚焦透镜的成像

（1）符号规则：将自聚焦透镜用于成像光路中，其有关的量值符号规定，将遵循2.1.1中所规定的传统近轴光学的符号规则。

表13.4　自聚焦透镜光学性能与结构参数的典型值示例

（2）解析法成像

在知道自聚焦透镜的f＇与各基点位置等光学与结构性能参数后，若给定成像物体（或成像位置）在光路中与自聚焦透镜的相对位置关系，则可利用3.3.1中给出的近轴光学的高斯公式或牛顿公式求取物像关系。

（3）图解法求像

根据上述自聚焦透镜基点位置与焦距值随透镜长度z₀变化而变化的规律，在给定物体位置以及透镜长度z₀的相对周期长度值范围的条件下，即可利用传统的图解法与相关概念，方便地确定自聚焦透镜的各基点位置、焦距值以及像的位置与大小。自聚焦透镜的图解法，具有直观、形象、定性，且可获得全面概念等优点。

图13.26给出了部分具有不同自聚焦透镜长度z₀情况下，透镜基点位置、焦距f＇以及物像随物距变化的规律（配合参阅图13.25）。

①。

②

③，f＇=±∞

④，即

⑤，

图13.26　部分不同长度（z₀）自聚焦透镜的基点位置、焦距与成像规律

通过上述成像的分析，可以看到自聚焦透镜及其成像所具有的一些突出优点，如：可以方便地获得超短焦距值；可以在透镜的两端面上获得共轭的实像；易于获得β=+1的正立实像以及一个单透镜可以获得几个透镜组合系统的成像效果等。由于自聚焦透镜所具有的上述多方面优点，以及它可做成自聚焦透镜的阵列，因而成为一种新型的可实现微型化的成像器件，被广泛应用于复印机、扫描成像系统、医疗内窥镜系统、光通信中的耦合器件、连接器件、扩束镜头以及网络高速摄影等。