基准脉冲法插补

1.逐点比较法

逐点比较法插补的基本原理是每次仅向一个坐标轴输出一个进给脉冲，每走一步都要通过偏差计算，判断刀具的瞬时点与理想轨迹之间的位置关系，从而决定刀具下一步的进给方向。逐点比较法插补的特点是运算简单、速度均匀、调节方便、插补误差较小 （不大于一个脉冲当量），可用于直线、圆弧和其他曲线的插补。

1）逐点比较法插补直线

（1）基本原理。

①偏差判别。

如图4－12所示，对于Ⅰ象限的直线OE，直线起点O（0，0），终点E（xe，ye），刀具的瞬时动点P（xi，yi）与直线之间的位置关系有以下3种情况：

图4－12 逐点比较法插补直线原理

P点在直线OE上，则：

即：

xeyi－xiye＝0

P点在直线OE上方，则：

即：

xeyi－xiye＞0

P点在直线OE下方，则：

即：

xeyi－xiye＜0

②取判别式：

Fi＝xeyi－xiye （4－1）

当Fi≥0时，动点在直线上方（或直线上），控制刀具向＋X方向前进一步，以靠近理想直线并逐步趋近直线终点。同理，当Fi＜0时，动点在直线下方，控制刀具向＋Y方向前进一步。

这样，刀具从直线的起点O开始，每走一步，计算一次偏差值Fi，根据偏差值的符号决定刀具的下一步走向，直到终点E为止。

③改进判别式。

上述判别式不仅有减法运算，还有乘法运算，运算速度会受到影响。因此，通常采用“递推法”。

若：Fi≥0，刀具向＋X方向前进一步，到达新点的偏差为

Fi＋1＝xeyi－（xi＋1）ye＝xeyi－xiye－ye＝Fi－ye （4－2）

若：Fi＜0，刀具向＋Y方向前进一步，到达新点的偏差为

Fi＋1＝xe（yi＋1）－xiye＝xeyi＋xe－xiye＝Fi＋xe（4－3）

因此，新点的偏差值完全可以用前一个点的偏差递推出来。这样，简化了计算，提高了运算速度。

④插补步骤。

逐点比较法插补分为以下4个步骤：

判别——根据偏差值，判别刀具相对于理想直线的位置；

进给——根据判别的结果，决定刀具的进给方向；

计算——用 “递推法”，计算新点的偏差值；

比较——即终点判断，若未到终点，插补继续进行；若已到终点，则插补结束。

⑤终点判别。

很明显，刀具从直线的起点到终点需完成的插补步数为xe＋ye。因此，可设置一个终点计数器，寄存直线终点的坐标值之和E。每进给一次，E值减1，直至为0，即到达直线终点，插补结束。

E＝xe＋yi（4－4）

（2）举例。

用逐点比较法插补Ⅰ象限的直线OE，起点O（0，0），终点E（5，3），写出插补过程并绘出插补轨迹。

解：终点判别值为E＝5＋3＝8。

插补过程见表4－1，插补轨迹见图4－13。

表4－1 逐点比较法插补直线过程

2）逐点比较法插补圆弧

（1）基本原理。

①偏差判别。

如图4－14所示，对于Ⅰ象限的逆圆弧AB，圆弧起点A（x A，y A），终点B（x B，y B），圆心O（0，0），刀具的瞬时动点P（xi，yi）与理想圆弧之间的位置关系有以下3种情况：

图4－13 逐点比较法插补直线轨迹

图4－14 逐点比较法插补圆弧原理

P点在圆弧AB上，则：

P点在圆弧AB上方，则：

P点在圆弧AB下方，则：

②取判别式。

当Fi≥0时，动点在理想圆弧的外侧（或圆弧上），控制刀具向－X方向前进一步，以靠近理想圆弧并逐步趋近圆弧终点。同理，当Fi＜0时，动点在圆弧内侧，控制刀具向＋Y方向前进一步。

③改进判别式。

上述判别式表达式中包含多个平方运算，影响了运算速度。因此，仍采用 “递推法”。

若：Fi≥0，刀具向－X方向前进一步，新点的偏差为

若：Fi＜0，刀具向＋Y方向前进一步，新点的偏差为

因此，与直线插补相类似，新点的偏差可用前一点的偏差及动点的坐标值递推出来，使计算过程大大简化。

④插补步骤。

与直线插补时相同。

⑤终点判别。

圆弧插补的终点判别与直线插补时类似。设置一个计数器，寄存圆弧起点和终点两个坐标差值的和E，每插补一步，E值减1，直至为0，即到达圆弧终点，插补结束。

（2）举例。

用逐点比较法插补Ⅰ象限的逆圆弧AB，起点A（4，3），终点B（0，5），写出其插补过程并绘出插补轨迹。

解：终点判别值为E＝（4－0）＋（5－3）＝6。

插补过程见表4－2，插补轨迹见图4－15。

表4－2 逐点比较法插补圆弧过程

2.数字积分法

数字积分法又称DDA（Digital Differential Analyzer）法，其最大优点是易于实现坐标的扩展，每个坐标是一个模块，几个相同的模块组合就可以实现多坐标联动控制。同时，DDA法插补运算速度快，脉冲分配均匀，易于实现各种曲线 （特别是多坐标空间曲线）的插补，因此应用广泛。

1）DDA法插补直线

（1）插补原理。

如图4－16所示，对于Ⅰ象限的直线OE，直线起点O（0，0），终点E（xe，ye），进给速度为v。

图4－15 逐点比较法插补圆弧轨迹

图4－16 数字积分法插补直线原理

假设刀具的进给速度在两个坐标轴上的分速度分别为vx，vy，则在一个微小的时间间隔Δt内，刀具在两个坐标轴上的微小位移量Δx和Δy为：

令：

则有：

可见，刀具从直线起点O向终点E插补的过程可以看成是每经过一个时间间隔Δt，两个坐标轴分别以增量kxe和kye同时累加的结果。

据此，二维直线的插补器可由两个结构相同的积分器构成。每个积分器包含有两个容量相同的寄存器，一个是被积函数寄存器，用于寄存被积函数；另一个是余数寄存器，用于寄存被积函数累加结果的余数。

当积分指令到来时，将被积函数寄存器中的被积函数与余数寄存器中的余数相加，相加的结果仍放在余数寄存器中。当余数寄存器中的数值超过其容量时，寄存器的高位即有溢出，将其作为信号输出给伺服系统，步进电动机即转过一个步距角，机床部件即移动一个脉冲当量。两个积分器同时工作，直至刀具到达直线终点为止，插补结束。

（2）终点判别。

假设刀具从直线起点插补到终点需经过m次累加，即：

取Δt为一个单位时间间隔 “1”，则上式为：

现假设经过m次累加后刀具即到直线终点E，则有：

nk＝mk＝1

为保证各坐标轴上每次的进给脉冲不超过一个单位，则：

假设寄存器的位数为n，则其最大的容量为2n－1，所以有下式成立：

k（2n－1）＜1

即：

取：

则：

即：刀具从直线起点到达直线终点需经过2n次累加。

（3）举例。

用DDA法插补直线OE，起点O（0，0），终点E（5，3），写出插补过程并绘出插补轨迹。

解：被积函数寄存器Jxe和Jye、余数寄存器JRx和JRy以及终点计数器JE均取3位。累加次数m＝23＝8，插补前余数寄存器均清零。插补过程见表4－3，插补轨迹见图4－17。

表4－3 用数字积分法插补直线过程

续表

2）DDA法插补圆弧

（1）插补原理。

如图4－18所示，对于Ⅰ象限的逆圆弧AB，圆弧起点A（x A，y A），终点B（x B，y B），圆心O（0，0），圆弧半径R，刀具的瞬时动点P（xi，yi），进给速度v。

图4－17 数字积分法插补直线轨迹

图4－18 数字积分法插补圆弧原理

假设刀具的进给速度在两个坐标轴上的分速度分别为vx，vy，则在一个微小的时间间隔Δt，刀具在两个坐标轴上的微小位移量Δx和Δy为：

令：

则有：

可见，刀具从圆弧起点A向终点B插补的过程可以看成是每经过一个时间间隔Δt，两个坐标轴分别以增量kyi和kxi同时累加的结果。

据此，平面圆弧的插补器可由两个结构相同的积分器构成。每个积分器包含有两个容量相同的寄存器，一个是被积函数寄存器，用于寄存被积函数；另一个是余数寄存器，用于寄存被积函数累加结果的余数。

当积分指令到来时，将被积函数寄存器中的被积函数与余数寄存器中的余数相加，相加的结果仍放在余数寄存器中。当余数寄存器中的数值超过其容量时，寄存器的高位即有溢出，将其作为信号输出给伺服系统，步进电动机即转过一个步距角，机床部件即移动一个脉冲当量，两个积分器同时工作，直至插补至圆弧终点。

（2）终点判别。

设置两个寄存器，分别寄存圆弧起点和终点的坐标差。当积分器有溢出时，相应的寄存器数值减1，直至为0，该坐标到达终点，该积分器停止运算。当两积分器均停止运算时，圆弧插补结束。

（3）不同象限圆弧插补。

前面介绍的插补原理与计算公式仅适用于Ⅰ象限逆圆弧的插补。对于不同象限、不同插补方向的圆弧插补共分为8种情况，其计算公式不同，进给方向也不同，详见表4－4。

表4－4 数字积分法插补圆弧进给方向

（4）举例。

试用DDA法插补Ⅰ象限的逆圆弧AB，起点A（5，0），终点B（0，5），写出插补过程并绘出插补轨迹。

解：被积函数寄存器Jyi、Jxi，余数寄存器JRx、JRy，终点计数器JEx、JEy均取3位，余数寄存器清零。

插补过程见表4－5，插补轨迹见图4－19。

表4－5 用数字积分法插补圆弧过程

续表

图4－19 数字积分法插补圆弧轨迹

3.数据采样法插补

1）数据采样法插补的基本原理

对于闭环和半闭环系统，其分辨率较小 （≤0.001mm），加工速度可高达24m／min以上。若采用基准脉冲法插补，计算需占用较长时间，而所产生的仅是一个脉冲当量的位移，系统无法完成其他任务，因此必须采用数据采样法插补。

数据采样法插补由粗插补和精插补两个步骤组成。在粗插补阶段是采用时间分割的思想，将插补时间分为一个个的插补周期T，再将轮廓曲线分解为一段段的轮廓步长L，L＝FT，然后计算出每个插补周期内各坐标的增量Δx和Δy，最后计算出插补点的坐标位置。

2）插补周期和采样周期

在一个插补周期内，计算机除了需完成插补任务外，还要执行显示、监控和精插补等实时任务，所以插补周期必须大于插补运算时间与完成其他实时任务的时间之和。插补周期应是采样周期的整数倍。

3）数据采样法插补直线

如图4－20所示，直线起点O（0，0），终点A（xe，ye），设刀具移动方向与长轴之间的夹角为α，OP为一个插补步长，即OP＝L。则下式成立：

图4－20 数据采样法插补直线

坐标增量：

4）数据采样法插补圆弧

如图4－21所示，B点是顺圆弧上继A点之后的插补瞬时点，其坐标分别为A（xi， yi），B（xi＋1，yi＋1），所谓插补计算实质上是要求出在一个插补周期的时间内，X轴和Y轴的坐标增量Δx和Δy。图中AB为一个插补步长，即AB＝L，M是AB的中点。

（1）在RT△DOM中，令：

图4－21 数据采样法插补圆弧

（2）在RT△DOM中，有：

将DH＝xi，OC＝yi ，，代入上式：

（3）在RT△FAB中，因为：

所以：

（4）因为sinα、cosα和tanα均不好求，所以采用近似计算法。

用sin45°、cos45°代替sinα和cosα，则：

由于近似计算使得B点的坐标产生了相应的误差，Δx→Δx′，Δy→Δy′，但只要坐标值满足式 （4－16）、式 （4－17），即能保证该点始终在圆弧上。