等重复试验双因素方差分析

设因素A，B作用于试验指标．因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，因素B有s个水平B1，B2，…， Bs．对因素A，B的每一个水平的一对组合（Ai，Bj）（i＝1，2，…，r，j＝1，2，…，s）只进行t（t≥2）次实验（称为等重复实验），得到rst个试验结果

Xijk（i＝1，…，r；j＝1，…，s；k＝1，…，t）．

1．假设前提

1）Xijk～N（μij，σ2），μij，σ2未知，i＝1，…，r；j＝1，…，s；k＝1，…，t；

2）每个总体的方差相同；

3）各Xijk相互独立，i＝1，…，r；j＝1，…，s；k＝1，…，t．

由假设有Xijk～N（μij，σ2）（μij和σ2未知），记Xijk－μi＝εijk，即有εijk＝Xij－μijk～N（0，σ2），故Xijk－μijk可视为随机误差．从而得到如下数学模型

类似地，引入记号：μ，μi·，μ·j，αi，βj，易见

仍称μ为总平均，称αi为水平Ai的效应，称βj为水平Bj的效应．这样可以将μij表示成

μij＝μ＋αi＋βj＋γij（i＝1，…，r；j＝1，…，s），

其中γij＝μij－μi·－μ·j＋μ（i＝1，…，r；j＝1，…，s），称γij为水平Ai和水平Bj的交互效应，这是由Ai与Bj搭配联合起作用而引起的．易见

从而前述数学模型可改写为

Xijk＝μ＋αi＋βj＋γij＋εijk，εijk～N（0，σ2），

各εijk相互独立，i＝1，…，r；j＝1，…，s；k＝1，…，t．

其中μ，αi，βj，γij及σ2都是未知参数．

假设检验为：

与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的．

2．偏差平方和及其分解

引入记号：　

称总偏差平方和（称为总变差）为

同样，我们仍SE称为误差平方和，SA，SB分别称为因素A、因素B的偏差平方和，SA×B称为A， B交互偏差平方和．

类似地，可以证明当H0A、H0B、H0A×B成立时，有

1）ST／σ2，SA／σ2，SB／σ2，SA×B／σ2，SE／σ2，分别服从自由度依次为rst－1，r－1，s－1，（r－1）（s－1），rs（t－1）的χ2分布；

2）ST，SA，SB，SA×B，SE相互独立．

3．检验方法

当H0A为真时，可以证明

取显著性水平为α，得假设H0A的拒绝域为

类似地，当H0B为真时，可以证明

取显著性水平为α，得假设H0B的拒绝域为

类似地，当H0A×B为真时，可以证明

取显著性水平为α，得假设H0B的拒绝域为

实际分析中，常采用如下简便算法和记号：

可得如下方差分析表：

表10－2－7 等重复试验双因素方差分析表

例10．2．3 在某种金属材料的生产过程中，对热处理温度（因素B）与时间（因素A）各取两个水平，产品强度的测定结果（相对值）如表10－2－8所示．在同一条件下每个实验重复两次．设各水平搭配下强度的总体服从正态分布且方差相同．各样本独立．问热处理温度，时间以及这两者的交互作用对产品强度是否有显著的影响（取α＝0．05）？

表10－2－8

解 根据题设数据，得

ST＝（38．02＋38．62＋…＋40．82）－＝71．82，

SA＝（168．42＋1722）－＝1．62，

SB＝（165．42＋1752）－340．42／8＝11．52，

SA×B＝14551．24－14484．02－1．62－11．52＝54．08，

SE＝71．82－SA－SB－SA×B＝4．6．

得方差分析表表10－2－9：

表10－2－9

由F0．05（1，4）＝7．71，因为

FA＝1．4＜F0．05（1．4）＝7．71，

FB＝10．0＞F0．05（1，4）＝7．71，

FA×B＝47．0＞F0．05（1，4）＝7．71，

所以认为时间对强度的影响不显著，而温度的影响显著，且交互作用的影响显著．

例10．2．4 为了保证某零件镀铬的质量，需重点考察通电方法和液温的影响．通电方法选取三个水平：A1（现行方法），A2（改进方案一），A3（改进方案二）；液温选取两个水平：B1（现行温度），B2（增加10℃）；每个水平组合进行两次试验，所得结果如表（指标值以大为好）．问通电方法、液温和它们的交互作用对该质量指标有无显著影响（α＝0．01）？

解 由题意，r＝3，s＝2，t＝2．

由上表及相关计算公式，可得各样本平均值如下表．

进一步计算得

SA＝0．61，SB＝0．33，SA×B＝0．21，SE＝0．04，ST＝0．19．

从而得到FA＝45．75，FB＝49．50，FA×B＝15．75．

对α＝0．01查表得

Fα（r－1，rs（t－1））＝F0．01（2，6）＝10．92，

Fα（s－1），rs（t－1））＝F0．01（1，6）＝13．75，

Fα（（r－1）（s－1），rs（t－1））＝F0．01（2，6）＝10．92．

得方差分析表如下

从方差分析表，知FA＞F0．01（2，6），FB＞F0．01（1，6），FA×B＞F0．01（2，6）．

说明通电方法、液温和它们的交互作用对该质量指标都有显著影响．从样本平均值看出，

最大，所以选择水平组合（A2，B2）和（A3，B2）为好．对于因素A的两个水平A2和A3还可以根据具体情况，从中选出一个更好的．