偏好结构和多属性效用

16.4.2 偏好结构和多属性效用

假设我们有n个属性，每个属性有d个不同的可能值。要指定完全效用函数U(x1, …, xn)，在最坏的情况下，我们需要dn个值。这里最坏的情况对应于智能体的所有偏好根本没有规律性的情形。多属性效用理论是基于典型智能体的偏好比上述情况有更多结构的假设。基本方法是确定我们期望看到和使用的偏好行为的规律性，这些规律性被称为表示定理，表明有某种偏好结构的智能体具有一个效用方程

U(x1, …, xn) = f [ f1(x1), …, fn(xn) ]

我们希望其中 f 是一个诸如加法这样的简单函数。注意这与使用贝叶斯网去分解几个随机变量的联合概率之间的相似性。

一、不包含不确定性的偏好

让我们从确定性的情况开始。回忆对于确定性环境，智能体有一个价值函数V(x1, … , xn)；目标是简洁地表示这个函数。确定性偏好结构产生的基本规律性被称为偏好独立性。如果结果x1, x2, x3和x1', x2', x3之间的偏好不依赖于属性X3的特殊值x3，那么两个属性X1和X2偏好独立于第三个属性X3。

回到机场的例子，我们要考虑Noise，Cost和Deaths（除了其他属性外），有人可能提出Noise和Cost 偏好独立于 Deaths。例如，如果当安全级别是每百万乘客英里死亡 0.06 人时，我们偏好一个有20 000人居住在航线上、机场建筑费用为20亿美元的状态，甚于另一个有70 000人居住在航线上、机场建筑费用为37亿美元的状态，那么当安全级别是0.13和0.01时，我们将有同样的偏好；而且任何一对其他的Noise和Cost值之间，对于偏好而言相同的独立性都成立。同样明显的是，Cost和Deaths偏好独立于Noise，Noise和Deaths偏好独立于Cost。我们称属性{Noise，Cost，Deaths}的集合显示出相互偏好独立性（MPI）。MPI表明，尽管每个属性可能都是重要的，但是它与其它属性之间的权衡方式不会受到影响。

相互偏好独立性是个拗口的概念，不过感谢经济学家Debreu（1960）提出的著名定理，我们可以根据它为智能体的价值函数得出一个非常简单的形式：如果属性X1, … , Xn是相互偏好独立的，那么该智能体的偏好行为可以被描述为对下面的函数进行最大化

其中，每个Vi是只涉及到属性Xi的一个价值函数。例如，很可能机场决策可以使用下面的价值函数做出：

V(noise,cost,deaths)=−noise × 104−cost−deaths × 1012

这种类型的价值函数被称为加法价值函数。加法函数是描述智能体价值函数的一个极其自然的方式，并且在很多现实世界的情况下都有效。甚至当MPI不严格成立时，比如可能在属性的极端值的情况下，加法价值函数仍然可能为智能体的偏好提供一个好的近似。当对MPI的违反出现在实际中不可能发生的属性范围时，就更是这样了。

二、包含不确定性的偏好

如果在领域中出现不确定性，我们还需要考虑彩票之间的偏好的结构，并且要理解效用函数而不只是价值函数的结果属性。这个问题牵扯到的数学可能变得非常复杂，所以为了说明可以做什么，我们只提出主要结果之一。读者可以参考Keeney和Raiffa（1976）对该领域的一篇全面综述。

效用独立性的基本概念将偏好独立性扩展到涵盖彩票：如果在属性集X中的属性上，彩票之间的偏好独立于属性集Y中的属性的具体值，那么属性集X就效用独立于属性集Y。当其每个子集都效用独立于其余的属性时，一个属性集满足相互效用独立性（MUI）。看来假设机场属性满足 MUI是合理的。

MUI意味着智能体的行为可以用乘法效用函数（Keeney，1974）来描述。乘法效用函数的通用形式可以通过观察3个属性的情况得到最好的了解。为了简洁起见，我们将用Ui表示Ui(xi)：

U = k1U1+k2U2+k3U3+k1k2U1U2+k2k3U2U3+k3k1U3U1+k1k2k3U1U2U3

虽然这看起来并不十分简单，但是它只包含3个单一属性效用函数和3个常数。总的来说，一个表现出MUI的n属性问题可以用n个单一属性效用函数和n个常数来建立模型。每个单一属性效用函数可以独立于其他属性而发展，并且这个组合将保证能产生正确的总体偏好。为了得到一个纯粹的加法效用函数，我们可能需要另外的假设。