电磁聚焦同心球系统的电子光学的研究

下面我进一步谈谈上述工作的更普遍程度的概括——电磁聚焦同心球系统电子光学的研究。

1978年初,英国的两个国际会议相继来函,邀请我到会并希望我在会上宣读学术论文。当时我正在酝酿同心球系统更普遍程度的概括——电磁聚焦同心球系统的电子光学。在这以前的电子光学的研究中,平行均匀复合场的电磁聚焦系统、近贴聚焦系统(即平板电容器)、静电聚焦同心球系统以及电磁聚焦同心球系统的电子光学都是分别研究的。这样的研究难免有割裂和不完整的感觉,且没有找到它们的共性。我的研究是要把这4种系统统一起来,用统一的理论和普适解来描述。这就是寻求更高程度的概括。

电磁聚焦同心球系统是一种普遍情况。若是磁场消失,则它变成静电聚焦同心球系统;若阴极和阳极的曲率半径趋于无穷,则它变成均匀平行复合场的电磁聚焦系统;若既无磁场,又加上阴极和阳极的曲率半径趋于无穷大,则它变成近贴聚焦系统。

当时,直觉告诉我,问题的关键在于如何求得这一系统中电子轨迹的解析解。我本能地感到存在解析解,而且确信能找到它。实际上,我找到这个解析解多少带有些偶然性。

对于同心球电磁聚焦系统,其主轨迹与径向电场E和磁场B是平行的。若改造Г.А.Гринберг的曲傍轴方程,使之适合于所研究的系统围绕主轨迹的曲近轴方程,再将同心球系统的场表达式代入曲近轴方程中,求解电子轨迹在此场分布下两个微分方程的数值解则是容易的。问题是有没有解析解,能否找到它。鉴于它的两个特殊情况——静电近贴聚焦系统和静电聚焦同心球系统——的近轴电子轨迹解析表达式已被我找到,我的直觉是同心球电磁聚焦系统电子近轴轨迹的解析解有可能被找到。

对于第三个特殊情况——平行均匀复合场的电磁聚焦系统,其电子轨迹解析式(r(z),χ(z))也不难求得:

这里,e/m0为电子荷质比,l为极间距离,ϕac为加速电位,B0=B(z0)为阴极面处的磁感应强度,E c=E(z0)为阴极面上的场强。

对于普遍情况——电磁聚焦同心球系统,其近轴轨迹需要求解一个二阶齐次微分方程,这并不是一件容易的事。但是,在同心球场分布下,不难求得近轴轨迹在子午面的旋转角χ(z):

当n=1时,上式就变成式(7)。对于另一解r(z),我直觉地感到,若在式(6)中添加一些项,当n=1时,这些项消失的话,便有可能是近轴轨迹r(z)的解,从而也就没有必要去求解微分方程了。我记得那是1978年5月初的一个晚上,我躺在床上,思考这一问题。后来迷迷糊糊地睡着了。忽然来了一个思路,似梦幻般,突然醒了。想到一个解,急忙起来,把它记了下来:

一检验,果然是二阶微分方程的解。我想,这便是灵感的顿悟。实际上,数学上可以严格证明这个解,然而我当时却是凑出来的。20年后,我再次思考这一问题时,便从数学上严格地推导了描述电磁聚焦同心球系统电子轨迹的二阶齐次微分方程的两个特解。