一个无理数的无理数次方有可能是一个有理数吗？
答案是肯定的。考虑
这是非构造性证明的一个经典例子。我们虽然证明了存在两个无理数a和b，使得ab是有理数，但我们却无法给出一组a和b的具体值来。毕竟我们也不知道，事实究竟是上述推理中的哪一种情况。
让我们来看一个更加典型的非构造性证明吧。我们把某个集合X 的若干子集所组成的集合叫做X 上的一个集族。考虑集合X 上的一个集族，集族中的所有集合大小均为d。如果我们对X 中的元素进行适当的红蓝二着色之后，每个集合里面都含有两种不同颜色的元素，我们就说这个集族是可以二染色的。例如，当d＝3时，{1，2，3}、{1，2，4}、{1，3，4}、{2，3，5}就是可二染色的，把1、2染成红色，把3、4、5染成蓝色，则每个集合里都含有两种颜色。是否存在d＝3时的不可二染色集族呢？当然存在。注意到，不管怎么对集合{1，2，3，4，5}中的元素进行二染色，我们总能找出三个颜色相同的元素，因此取集合{1，2，3，4，5}的全部（
为了证明这一点，我们对X 中的所有元素进行随机着色，每个元素被染成红色和蓝色的概率均等。那么，一个元素个数为d的集合中，所有元素均为同一种颜色的概率就应该是
注意，我们用概率方法，证明了一个非概率型的事实！由此带来的另一个结果是，这是一个非构造性的证明。当d＝3时，这个定理告诉我们，任意一个只含 4 个集合的集族一定能被二染色。不过，我们只知道二染色的方案是存在的，却并不能给出一个具体的方案来。我们虽然证明了二染色方案一定存在，但证明过程却不能对我们寻找具体的方案给出任何提示。这就是非构造性证明的神奇之处。
在博弈论中，我们也有一些非构造性的证明。我们可以证明在某个游戏中，某位玩家有必胜的策略，但证明过程却不能告诉你，这个必胜策略究竟是什么。
记得我小学时就见过一个经典的奥数题目。两个人轮流在黑板上写一个不大于10的正整数。规定不准把已经写过的数的约数再写出来。谁最后没写的了谁就输了。显然，这个游戏是没有平局的，即使双方在每一步都使出最优策略，最终也还是有一个人会赢有一个人会输。也就是说，在这个游戏中，有一方玩家是可以必胜的。问是先写的人必胜还是后写的人必胜，必胜策略是什么？
答案很巧妙。先写者有必胜策略。他可以先写下数字6，现在就只剩下4、5、7、8、9、10可以写了。把剩下的这6个数分成三对，分别是（4，5）、（7，9）、（8，10），每一对里的两个数都不成倍数关系，且 8和 10各自的约数恰好也在同一对里。因此不管你写什么数，我就写它所在的数对里的另一个数，这样可以保证我总有写的。
这个问题有一个很自然的扩展：规则不变，可以写的数扩展到所有不大于n的正整数。对于哪些n先写者必胜？证明你的结论。
其实，不管n是多少，先写者总有必胜策略。这时，就该轮到非构造性证明出场了。考虑一个新的规则“不准写数字1”。如果加上这个新规则后先写者有必胜策略，那么这个策略对于原游戏同样适用（因为1是所有数的约数，在先写者写完第一个数后，1本来就不能写了）；如果在新规则下后写者必胜，则原游戏中的先写者一开始就把数字1写在黑板上，然后他就变成了新规则下的后写者。于是不管怎么样，先写者总是有必胜策略。
这种博弈游戏的分析技巧叫做“策略偷换”（strategy-stealing）。它的另一个经典例子是 Chomp 游戏。游戏在一块矩形的巧克力上进行，巧克力被分为M×N块。两人轮流选择其中一个格子，然后吃掉这一格及它右边、下边和右下角的所有格子。最左上角的那一块巧克力有毒，谁吃到谁就输了。图1是一个可能的对战过程。我们可以用类似的方法证明先手必胜。假设后手有必胜策略，那么先手把最右下角的那一块取走。注意到接下来对方不管走哪一步，最右下角的那一块本来也会被取走，因此整个棋局并无变化，只是现在的先手扮演了后手的角色，可以用后手的那个必胜策略来应对棋局，这样便巧妙地“偷”走了后手的必胜策略。
图1
对于一些可能出现平局的游戏，我们也可以用类似的方法证明后手不可能有必胜策略。比如对于五子棋游戏（假设棋盘大小有限，并且没有禁手等规则），假设后手有必胜策略，那先手就随便走一步，以后就装成是后手来应对。如果在哪一步需要先手在已经下过子的地方落子，他就再随便走一步就是了。这样一来，先手便偷走了后手的必胜策略了，反而成了必胜的一方。这就说明，后手是不可能有必胜策略的。这种证明方法成立的前提就是，多走一步肯定不是坏事。事实上，对于所有这种“多走一步肯定不是坏事”的且信息透明决策对称的游戏，我们都可以证明后手是没有必胜策略的。既然后手没法必胜，那么我们立即可知：先手是一定有不败策略的。
不过，再次回到本节最开始的话题：我们虽然证明了谁有必胜策略或者谁有不败策略，但我们完全不知道具体的策略是什么！
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