效用期望值决策法

【任务情景】

小陈是一个大学生，最近正好有一个做兼职挣100元钱的机会，但是所要做的是他相当讨厌的工作。如果他手头有点紧张，他会认为100元的实际价值足够大，即使所要做的工作是他相当讨厌的，他仍会去干; 但是如果正好父母刚给了他2000元的生活费，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作，他就有可能不干了。

为什么两种情形下小陈做出的选择会不同?

【任务描述】

损失期望值决策法在实践中的应用非常广泛，但是，损失期望值决策法是建立在绝对的损失期望额基础上的，没有考虑到同一损失对不同主体的影响可能是不同的。如10万元的损失对于一家实力雄厚的大型企业而言可能是微不足道的，但是同样的损失可能会给一家小企业带来灭顶之灾。因此，不同的风险主体对同一损失风险将采取的态度可能完全不同，那么，考虑到这个要素，我们应该如何选择最佳的风险管理方案呢? 这就是效用期望值决策法要解决的问题。请运用效用期望值决策法进行风险管理决策。

【知识链接】

一、效用及效用理论

(一)效用

效用是衡量人们对某种事物的主观价值态度、偏爱、倾向等的一种指标，它可以解释为由于拥有或使用某物而产生的心理上的满意或满足程度。例如，在现实生活中，一本中学课本对中学生的效用是很大的，而对文盲或大学生的效用却很小。在经济社会中，相同数量的损失给穷人带来的艰难和困窘远大于对富人的影响。从而，不确定条件下的决策必然与决策人的经济实力、风险反应之间存在着不可割裂的关系。

效用理论为不确定条件下的决策提供了一种定量分析的工具。效用理论认为人们的经济行为的目的是为了从增加的货币量中取得最大的满足程度，而不仅仅是为了得到最大的货币数量。

想一想

兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。兔子说: “世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起萝卜就要流口水。”猫不同意，说: “世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起来又酥又松，味道美极了!”兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。猴子听了，不由得大笑起来: “瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿常识都不懂! 世界上最好吃的东西是什么? 是桃子! 桃子不但美味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。”兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃?

这个例子说明了效用完全是个人的心理感觉。不同的偏好决定了人们对同一种商品效用大小的不同评价。

(二)效用函数和效用曲线

运用效用期望值决策法来作出最佳风险管理决策的第一步，需要构建决策者的效用函数。效用函数是反应效用度与金额之间对应关系的函数。效用度就是决策者对不同金额货币所具有的满足度，一般可将其界定在0至100之间。若把效用度和金额的关系用图像表示，则为效用曲线。

效用函数是一种主观判断，因此，确定某人的效用函数也是通过测定这个人对一些具体得失的反应来完成的。常用的方法有调查问卷、个性测试、赌博实验等。可以通过问卷调查并采用描点法确定被调查人的效用曲线。

这里先假设某人对零元财产的效用度为0，而100万元财产的效用度为100。实验的基本方法是询问被调查者愿意付出多大的代价(M1)参加一种有两种可能结果的赌博，设两种可能结果发生的机会都是0．5。

第一次询问:

如果猜对可获100万元，猜错将一无所有，问愿意付出的赌注(M1)是多少?

对此人而言: 拥有M1而不参加赌博的期望效用为U1，而以M1为代价参加赌博的期望效用为:

0．5×100+0．5×0=50

如果被询问者选择M1=40万元，并且认为这时两个方案对他的影响都一样，则对他而言拥有40万元的效用度U1=50。所以，第一次询问得到的是效用度为50的价值点。

第二次询问:

如果猜对可获M1元，猜错将一无所有，问愿意付出的赌注M2是多少?

此次回答的价值M2的效用度是25。

第三次询问:

猜对得100万元，猜错得M1元，问愿意支付的代价M3又是多少?

此时M3相应的效用度为75。

按照这种方法可以确定效用曲线上的若干个点，把它们连起来就形成了被调查人的效用曲线。从效用曲线上可以找到对应于各个损失值的效用度; 反之，也可以找出对应于各个效用度的损失值。

(三)效用曲线的类型和风险偏好

效用曲线的形状与决策者的风险偏好有着紧密的联系。图5－1给出了最典型的三种效用曲线类型: 曲线A、曲线B和曲线C，它们分别代表了三种不同风险偏好的决策者。

图5－1 风险偏好与效用曲线

从人们对损失的态度来看，从理论上可以分为三种类型: A——风险厌恶者;B——风险中立者; C——风险偏好者。不同类型的决策者在面临同样的选择时，做出的决策往往也会有区别。

曲线A代表保守型的决策者。这条效用曲线是凸的，这表示随着货币收入的递增，决策者的效用增加速度越来越慢，呈边际效用递减规律。这种类型的决策者对于收益的迅速增加，反应比较迟缓，而对可能的损失比较敏感，基本上属于不求大利、但求稳妥、谨慎小心的风险厌恶者。曲线上凸得越厉害，表示决策者对风险的厌恶程度越高。保守型的决策者在决策过程中更趋向于购买商业保险。

曲线B代表中间型的决策者。这条效用曲线是一条直线，这表示决策者的货币损益效用值是损益的线性函数，即边际效用恒定，决策者认为效用值的大小与期望损益值大小一致。此类决策者属于既不保守也不冒险的风险中立者。由于这类效用函数是线性关系，因此，效用期望值最大的方案也是期望收益值最大的方案。

曲线C代表冒险型的决策者。这条效用曲线是凹的，这表示随着货币收入的递增，决策者的效用增加速度越来越快，呈边际效用递增规律。这种类型的决策者对于小额的损失反应迟缓，而对大额的收益比较敏感，是一种谋求大利、敢担风险的决策者，属于风险偏好者。其效用曲线下凸得越厉害，就意味着决策者的冒险精神越高。显然，冒险型决策者不大愿意购买商业保险。

大多数人一般采取回避风险的态度应对风险，这也部分解释了保险这一商业行为得以存在的原因。在现实生活中，人们的行为也许不完全依赖于某一种固定的风险态度，常见的表现为当损失金额较小时，采取冒险的态度，而当损失金额较大时，采取的却是回避风险的态度。

二、效用理论在风险管理决策中的应用

效用理论用于一般的决策问题时，常常以收益效用最大者为最优。但是在风险管理决策中，主要是进行风险损失的比较，而以损失越小越好，往往很少从风险收益方面考虑，所以一般以期望损失效用最小的备选方案为最优。

(一)建立效用矩阵

在完成决策者效用函数的构建工作后，接下来就需要建立各行动方案下的效用矩阵，它是在损失矩阵的基础上构建的，差别主要在于效用矩阵计算的不是损失值，而是损失的效用值。

下面我们通过一个实例来加以具体介绍:

例5－1 某建筑物面临火灾风险，有关风险的资料如下表所示。

表5－10

如果不购买保险，当较大的火灾发生后会致使信贷成本上升。这种由于未投保而造成的间接损失与火灾造成的直接损失在数量上的关系如下表所示。

表5－11

风险管理人员面临着6种不同方案的选择:

方案①: 完全自留风险。

方案②: 购买全额保险，保费为2200元。

方案③: 购买保额为50000元的保险，保费为1500元。

方案④: 购买带有1000元免赔额、保额为200000元的保险，保费为1650元。

方案⑤: 自留50000元及以下的损失风险，将100000元和200000元的损失风险转移给保险人，需交保费600元。

方案⑥: 自留10000元及以下的损失风险，将剩余风险转移，所需保费为1300元。

假设通过调查询问的方法了解到风险管理人员对拥有或失去不同价值的财产的效用度如下表所示。

表5－12

除表中所示之外，其他价值的效用度可以通过线性插值法计算出来。如损失额为52000元的效用，它落在50000元和75000元之间，相应的效用损失y必然在6.25和12．5之间，通过线性插值:

从而得出 y=6．75

根据效用期望值决策法，这个风险管理人员会选择哪个方案?

解答: 各方案的损失矩阵及效用损失矩阵如下:

表5－13 方案①

损失额为200800元的效用损失应稍大于100，但用100计不影响决策。

方案②: 购买全额保险，保费为2200元，效用损失为0．105

表5－14 方案③

表5－15 方案④

表5－16 方案⑤

表5－17 方案⑥

延伸阅读

线性插值法

许多实际问题都用函数y=f(x)来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然f(x)在［x0，x1］上是存在的，有的还是连续的，但只能给出［x0，xn］上的一系列点xi的函数值yi=f(xi) (i=0，1，…，n)，这只是一张函数表，有的函数虽然有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值。因此，我们希望可以根据给定的函数表做一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数P(x)。用P(x)近似f(x)。通常选一类简单的函数作为P(x)，并使P(xi) =f(xi)，xi对i=1，2，…，n均成立。这样确定下来的P(x)就是我们希望的插值函数，此即为插值法。

线性插值是数学、计算机图形学等领域广泛使用的一种简单插值方法。

假设我们已知坐标(x0，y0)与(x1，y1)，要得到［x0， x1］区间内某一位置x在直线上的y值。

根据图中所示，我们得到线性插值的公式:

图5－2

(二)计算效用期望值，作出决策

在效用矩阵的基础上，接下来运用期望公式，计算出各方案的效用期望值。

在例一的案例中，这六种方案的损失效用期望分别为:

方案①: 0×0．75+0．05×0．20+0．4×0．04+6．75×0．007+30×0．002+100×0．001=0．233

方案②: 0．105

方案③: 0．075×0．997+7．125×0．002+68．75×0．001=0．158

方案④: 0．0825×0．75+0．11625×0．25=0．091

方案⑤: 0．03×0．75+0．08×0．20+0．448×0．04+6．9×0．007+0．03×0．003=0．089

方案⑥: 0．065×0．75+0．1075×0．20+0．52×0．04+0．065×0．01=0．0918

从计算结果可以看出，方案⑤的效用期望值最小，因此方案⑤在效用期望值决策法下为最优风险管理方案。

练一练

某人现有财产3万元，他现在面临两个选择: 方案A使他有30%的可能再获得5万元，有70%的可能收益为零; 方案B使他有20%的机会获得1万元，30%的可能赢取2万元，有一半的机会一无所获。

通过调查可知此人对拥有不同财富的效用度的情况为:

表5－18

利用效用期望值决策法，他会选择哪个方案?

【项目活动】

决策风险

活动目标: 根据下面的资料按照损失期望值决策法和效用期望值决策法分别进行决策。

活动任务: 企业有一幢可能遭遇火灾风险的建筑物，其最大可保损失是100万元。设其没有不可保损失。针对火灾风险，可供风险管理经理选择的风险应对方案如下:

1．自留风险;

2．购买保费为0．5万元，保额为50万元的保险;

3．购买保费为1万元，保额为100万元的保险。

根据历史损失数据估计，火灾损失分布分别如下:

表5－19

假设通过调查询问的方法了解到风险管理经理对失去不同价值的财产的效用度如下:

表5－20

请帮助该风险管理经理，分别运用损失期望值决策法和效用期望值决策法，进行最佳风险管理决策。

相关知识点回顾: 风险管理决策的概念、风险管理决策的原则、损失期望值决策法、效用、效用期望值决策法

活动开展形式建议:

(1)组织学生对相关案例进行决策;

(2)用询问调查法，绘出效用曲线。

【项目总结】

(1)风险管理决策是风险管理的核心问题，它是指根据设定的风险管理目标，在风险识别和风险评估的基础上，合理地选择风险处理技术和手段，进而制定风险管理的整体方案和行动措施。简单地讲，就是在几个备选风险管理方案中进行比较筛选，从中选择一个最佳方案。

(2)损失期望值决策法是常用的风险管理决策方法之一，它是以每种方案的损失期望作为决策依据，选择期望损失最小的方案作为最优方案的决策技术。但是，损失期望是就建立在绝对的期望损失额的基础上的，没有考虑到不同的决策者面对相同结果可能有不同的价值判断，因此，它有一定的局限性。

(3)个人对商品和财富所追求的满足程度由其相对于他的主观价值——效用来衡量。在具有风险和不确定的条件下，个人的行为动机和准则是为了获得最大期望效用值，而不是为了获得最大期望金额值。效用期望值决策法是基于这样一种效用理论的风险决策方法，它是以效用期望值作为决策的标准，选择期望效用损失最小或期望效用收益最大的方案作为最优方案。

【项目练习】

1．试分析风险管理决策的原则。

2．什么是忧虑价值? 影响忧虑价值的因素有哪些?

3．某企业拥有一辆汽车，价值30万元。如果投保，保费为0．5万元。假定这种汽车损毁的情况只有两种: ①1%的概率全损; ②99%的概率无损失。假如不考虑不可保损失。风险管理者可能采取的风险处理方案的损失矩阵如下:

表5－21

(1)如果以损失期望值最小为标准，决策者应选择哪种方案?

(2)假设损失矩阵中考虑忧虑价值为0．2万元，则决策者应选择哪种方案?

(3)如果决策者选择购买保险，那么忧虑价值至少为多少?

4．以第3题为基础，假如企业花了0．2万元安装损失控制设备，并使全损概率降低到1/300，保费由于损失控制的关系降为0．35万元，损失矩阵变为:

表5－22

(1)假如全损概率为1%时的忧虑成本为0．2万元，全损概率为1/300时的忧虑成本为0．15万元。请建立损失矩阵。

(2)如果考虑忧虑成本因素，决策者应该选择哪种方案?