损失概率的评估

【任务情景】

假定你有一个投资某石油勘探公司的机会，你需要衡量一下投资风险。在以往的记录中，该公司钻过10口井，结果10口井都是枯井，你会得出什么结论? 你是否认为该公司将发现一口产油井的可能性会超过50%? 你会不会投资该公司?

【任务描述】

损失事件发生的概率是我们衡量风险的一个重要组成部分。损失数据描述除了帮助风险管理者建立起直观的数据陈述外，更主要的目的是为了研究损失概率的分布规律，进而研究总损失的分布规律。这里所讲的分布规律就是概率分布，借助于一些常见的概率分布模型，我们就可以对损失概率进行定量估测了。

【知识链接】

估测每年损失事故发生的次数是确定损失概率的一个重要方法，也是风险管理人员必须要掌握的内容，因此在这里我们仅介绍年损失次数的估测方法，可以选用二项分布、泊松分布等来估测。

一、用二项分布来估测损失次数

二项分布是分析损失次数比较有效的一种模型。用n代表风险单位的数量，每个风险单位在一年中是否发生风险事故的结果只有两个: 发生和不发生。我们假设每个风险单位发生该风险事故的概率都相同，均为p; 任一风险单位发生风险事故都不会影响其他风险单位发生同样事故的概率; 同一个风险单位在一年内发生两次以上的事故的可能性为零。如果记n个风险单位在一年内发生所述风险事故的次数为X，则X服从二项分布，其概率分布可以通过以下公式得到:

P(X=k)=Cknpk(1－p)n－k，k=0，1，…，n

根据二项分布公式及离散型随机变量的数学期望与方差公式，可得出二项分布的数学期望与方差:

μ=E(X) =np

σ2=D(X) =np(1－P)

二项式模型中只有一个参数，这就是每个风险单位发生损失的概率p。这需要通过历史数据计算得到。

练一练

假设某公司有5个车间，其中任何一个车间一年内发生火灾的概率是0．1，每个车间发生火灾的事故是互不影响、彼此独立的。一个车间在一年内发生两次火灾的可能性极小，可以忽略不计。计算一年内该公司车间:

①不发生火灾的概率;

②有两个以上的车间发生火灾的概率;

③发生火灾次数的平均值和标准差。

运用二项分布公式:

P(X=k)=Cknpk(1－p)n－k，k=0，1，…，n

得出该公司5个车间发生火灾次数的概率表如下:

表3－9

从计算的结果看:

①一年内不发生火灾的概率为0．5905;

②有两个以上车间发生火灾的概率为0．0729+0．0081+0．0004=0．0814;

③一年内发生火灾次数的平均值以及标准差分别为:

μ=np=5×0．1=0．5

对参数p的估计是解决此问题的关键。在应用二项模型时，无须把自己局限在所考虑的财产上，应根据其损失数据找到规律。假设在全国范围内，上一年同类房屋每10万栋就有10栋失火，这样，就估计出p=10/100000=0．0001。

二、用泊松分布估测损失次数

运用二项分布是有条件的，不仅要求每个风险单位每年至多发生一次风险事故，而且当风险单位数很大时，用二项分布公式来计算概率分布值是相当麻烦的。然而，事实上一个风险单位可能发生多次损失事故，虽然这种情况概率很小，但仍然是有可能的。因此，需要寻找更简便的算法，泊松分布是二项分布的近似。如果在过去的一段时间内，每个短小的间隔内财产发生损失的概率相同，而且损失发生与否与其他时间间隔不相关，就可以用泊松分布来拟合。

设有众多风险单位，每年估计平均有λ个风险单位发生事故，每一风险单位发生事故的概率相同，则一年中发生致损事故数X服从参数为λ的泊松分布，其分布律为:

泊松分布的数学期望与方差均为λ，即

μ=E(X) =λ

σ2=D(X) =λ

在n重贝努里试验中，当事件发生的概率很小(且趋向于0)，而试验次数很大(n趋向于无穷大时)时，二项分布以泊松分布为其极限形式，即二项分布趋于以λ=np为参数的泊松分布。

泊松分布与二项分布有很多共同之处，但运用它们解决问题时，又必须注意它们的区别。在二项分布中，试验的次数M是已知的，而在泊松分布中常常是未知的; 在二项分布中，x表示在n重贝努里试验中事件发生的次数，在泊松分布中x则表示在约定的空间或时间间隔内事件发生的次数。

练一练

某车队有5辆车，平均每两年出事一次，现计算一年中出事次数的分布状况。假设X为一年中发生出事的次数，由于每年出事的概率为0．5，而且0．5×5=2．5＜5，因此，X可以看成近似服从λ=0．5的泊松分布。

表3－10

按照上面的计算，不发生事故的概率为0．6065，而发生两次以及两次以上事故的概率为0．0758+0．0126+0．0016+0．0002=0．0902。