三维储层模型的优选原理

1．度量空间下的距离的定义

在数学中，度量空间定义为一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。度量空间的方法在许多领域中得到了大量应用，如搜索引擎、图像分类等。在石油行业，还很少使用，这也是现在只使用唯一一个储层模型来分析或做决策支持的一个主要原因。

常说的距离是一个实数，显然是一个正实数，可以用来定义两个对象之间的差别，这里的对象可以指两个储层模型，如果有L个储层模型，则可以定义L×L个距离。数学中定义了多种距离，常见的距离就是欧氏距离。度量空间的创建需要定义一个相似距离，也就是度量两个不同模型之间的不相似性。距离的度量需要两个主要条件:第一，每一个模型组之间的距离是可以计算的，且应该快速;第二，距离度量一定要为研究的目的而设计，没有一种距离可用于任何情况，最后距离度量应该容易理解。

度量空间下的距离是这样定义的，任何两个模型之间的距离与这两个模型的反应的差异相关［式(6-55)］。只要满足式(6-55)，我们可以定义任何类型的函数来进行距离的计算。注意函数d(xi，xj)应该是计算简单、快速，而评价函数g(xi)经常花费大量的时间。

距离是用来确定两个储层模型根据地质属性和生产响应确定其相似性的一种方法，两个模型之间的距离可以是传统意义上的几何形状度量差异的距离，如Hausdorff距离，基于连通的距离，或者基于快速流动的模拟。需要注意的是，两个对象之间的相对距离的概念不同于绝对统计中的差的概念。在储层建模中应用时，估计储层模型的相似性时不需要度量每个储层模型的属性的绝对值，仅仅只需要定义任意两个模型之间的距离，距离定义的唯一条件是两个储层模型之间的相似性与他们的流动响应差别之间有合理的相关关系。

(1)基于属性的静态距离度量方法。

总孔隙体积常用来优选储层模型和不确定性评价的模型选取，基于属性的静态距离容易快速计算，由于不需要流动模拟。然而，该距离可能超出总属性，如总孔隙体积或者OOIP。如用式(6-56)求一个网格块的孔隙体积距离，这个距离就是网格块孔隙体积的累加和。

由于井间孔隙体积对驱替过程至关重要，则可以使用距离度量，注意的是也可以使用网格块的渗透率、初始含油饱和度或者其他属性，只是要着重考虑距离的含义。

(2)基于流动模拟的距离度量。

由于我们的多数研究涉及到流动模拟，也许基于流动模拟的距离度量是较适合的选择，基于流动模拟的距离可以解释动态属性，如相对渗透率、黏度、压缩系数、流体接触面、模型的非均质性和流动障碍，然而，当需要研究一大堆模型，流动模拟耗时，这是流线模拟可以用来作为基于流动模拟的距离度量，由于流线模拟和标准流动模拟相比较省时，且是一个最好的替代。

一个极快的基于流线模拟的距离度量可以定义为基于连通性的距离，如果尝试区分不同储层模型井的流动响应可以使用下式的距离度量，该表达式说明了所有井和当前的累积产油量差别的绝对值之和。

在大多数情况下，gi的维度远小于之前提到的xi(N≫Nt)。换句话说，其响应xi模型通常存在高维度(105D～108D)空间。另一方面，gi通常存在于低维(1D～103D)空间。因此，如果我们构建的距离只代表模型的一个度量空间，度量空间中的模型是根据他们的反应差异的排列，这在大多数应用中比在高维空间模型中更有效。这种简化是我们之所以通过MDS建立度量空间作为投影到低维度(2D～5D)空间的原因。

给定一组储层模型(NR个)，任意两个模型之间的距离函数，就可以构建一个NR×NR个不相似矩阵D，该矩阵包含了任意两个实现之间的距离。一个有效的不相似矩阵一定满足2个约束条件，即自相似和对称。一旦距离矩阵D构建好以后，所有NR个储层模型就可以使用多维标度法投影到欧氏空间R中。

2．多维标度法

多维标度法(MDS)是一种把非相似性矩阵转换为n D欧氏空间中的点的一种构造方法，这些点之间的欧氏距离尽可能的与对象之间的不相似性对应，从而展现其空间关系。这样， MDS的成功应用可以很好地度量欧氏距离与非相似距离的关系。

分析一个非相似性距离矩阵的MDS算法广义上可分为两大类，经典的MDS和飞度量空间下的MDS算法。经典的MDS算法假设非相似性矩阵显示了度量空间小的特性，如从一幅地图中量测的距离，经典MDS空间中的距离尽力地保留了点之间的间隔和比率;非度量空间下的MDS有更少的限制，仅仅假设不相似性的次序是有意义的，该结构下的距离次序尽可能地反应了非相似性次序，没有解释点之间的间隔和比率。这两种方法都可以在储层模型的优选过程中使用。由于根据MDS得到的映射仅仅从非相似性距离矩阵中导出，与点的绝对位置无关，因此，映射可以平移、旋转、反射灯变换，而与方法无关，仅仅对映射空间R的距离有关。

多维标度法(MDS)是一种从度量空间映射到低维空间(模型过程的度量投影空间)，在低维空间映射的点之间的欧氏距离尽可能地接近构建度量空间的距离。

其中，Xm定义如下:

Xm=(x1，m，x2，m，…，xi，m…x L，m)T∈RL×m　(6-60)

式中，下标m表示投影空间维数或者保留特征值的数量。

MDS是简单地通过特征值分解完成并保持“合理”的最大正特征值的数量，如式(4-9) ～式(4-11)。“合理”意味着大到足以捕获度量空间模型的变化。度量空间和投影空间的距离的相关系数决定了“合理”的数量。式(6-61)代表中心的距离矩阵的过程。

B =HAH　(6-61)

其中，H代表中心矩阵:

I是单位矩阵，l是L的列向量。(i，j)是矩阵A的元素，计算如下:

接着，将B的特征值分解

其中，用VB表示B和对角矩阵的特征值的特征向量的集合，如果我们保留了m最大特征值和相应的特征向量来构造一个小的特征值矩阵和特征向量的矩阵，度量空间模型的投影Xm，最终得到

需要MDS有以下几个原因。首先，MDS转换成等价的欧氏距离定义的距离，因为通过MDS的度量空间上距离投影中的欧氏距离和定义的距离几乎相同。在大多数情况下，一个三维投影空间是足够(m=3)达到0．99的相关系数，或者是使得定义距离［d(xi，xj)］和通过MDS(‖xm，i－xm，j‖2)的投影距离达到更高，在后面会有介绍。有许多理论和技术要求的距离是欧氏距离。MDS可以用“欧氏”的任何距离。

其次，MDS使得它可以映射所有的模型到二维或三维空间中，这意味着我们可以通过简单的目视检查分析模型组的分布。在低维空间中的一个点代表每个模型后，有可能通过在响应方面具有相似特性确定模型。此外，MDS应用优化算法，如概率摄动法或逐渐变形法或集合卡尔曼滤波，通过MDS或者二维、三维度空间在度量空间投影钟模型的更新是明确可视化的过程。此外，如果聚类灵敏度分析或不确定性评估的要求，在三维空间中的结果显示有助于调查结果集群有效。

把MDS算法应用到储层建模中，考虑的对象变为储层模型，每个储层用一个点来代表， MDS就可以在维数减少的坐标系统代表每个实现(由几万个网格块定义)，通常是二维或者三维，这样便于可视化。

对于大多数应用，映射空间R中的点的结构是非线性的，因此常用的模式识别工具无法使用。为了解决这个问题，需要使用核方法，把非线性转换到高维的线性空间中。

3．核K均值聚类

核方法是解决非线性模式分析问题的一种有效途径，其核心思想是:首先，通过某种非线性映射将原始数据嵌入到合适的高维特征空间;然后，利用通用的线性学习器在这个新的空间中分析和处理模式。相对于使用通用非线性学习器直接在原始数据上进行分析的范式，核方法有明显的优势:首先，通用非线性学习器不便反应具体应用问题的特性，而核方法的非线性映射由于面向具体应用问题设计而便于集成问题相关的先验知识。再者，线性学习器相对于非线性学习器能更好的控制过度拟合从而可以更好地保证泛化能力。还有，很重要的一点是核方法还是实现高效计算的途径，它能利用核函数将非线性映射隐含在线性学习器中进行同步计算，使得计算复杂度与高维特征空间的维数无关(图6-27)。

常用的核函数是高斯核(径向基函数)。其参数σ控制着核的伸缩性，σ值越小，核矩阵就越接近单位阵。换句话说，大的σ值逐渐把核减少为一个固定的函数。

图6-27 核方法的计算流程

聚类有一种有用的功能，它可以选择一些有代表性的模型、筛选不兼容的模型，进行敏感性分析、评估不确定性等。由于所有模型在度量空间中都通过MDS和K-means映射到低维空间是容易的，收敛速度很快。更重要的是，使用安排在内核空间中的线性模型的聚类的核心技术，能使聚类更有效。

K-means聚类是一个迭代算法找到聚类中心的位置，使得模型和最接近的质心之间的距离的总和最小。一旦确定质心的位置，模型最接近的质心群集到相同的组中，并分配了相同的簇索引。

式中，矩阵C表示聚类中心的集合(Cj，j=1，…，Nc)，大小为m* Nc。Nc是预定数量的集群。下标opt表示优化的聚类中心。

核K-means聚类(KKM)，表示在核中的K-means聚类空间。首先，我们定义了一个从原始空间映射到核空间。总的来说，径向基函数(RBF)内核往往是被选择的，因为我们已经定义了一个距离并且核RBF只有距离功能［式(6-66)］。然后，在核空间中的两个特征之间的欧氏距离由式(6-66)表示。在式(6-67)中，核空间中的距离是通过核函数计算得到的，这就意味着特征没有必要明确声明。

因此，稍微修改式(6-64)和式(6-65)就可以得到KKM方程［式(6-68)和式(6-69)］:

4．三维储层模型变换

在度量空间中的一系列模型可以通过KL方法参数化成相对较短标准的高斯随机向量。由于模型扩展法的应用，一个短的标准高斯随机向量代表了一个模型，参数化的结果能够被很方便地应用于各种需要高斯假设的优化算法，如逐渐变形的方法和集合卡尔曼滤波。

KL变换首先从协方差开始。让CX成为由式(6-70)计算得到全体［式(6-52)］的协方差。

当我们执行的协方差的特征值分解［式(6-68)］，Xi是代表一个模型参数化义［式(6-72)］。此外，可以得到一个新的模型［式(6-73)］。

式中，Va是一个矩阵的每一列，是矩阵A的特征向量，是其中每个对角元素的对角矩阵的矩阵A的特征值。ynew代表参数模型xnew。yi或ynew的参数化是一个标准的高斯随机向量，其大小由多少保留特征值决定。

我们没有使用所有非零L特征值，通常是几大特征值保留。通过式(6-73)，我们可以产生许多模型代表相同的协方差和相同的不确定性空间。

为了考虑高阶矩或空间相关性超出了逐点的协方差，功能扩展的模型可以引进。设Φ是从模型空间R到特征空间F的特征图［式(6-74)和式(6-75)］。

Φ:R→F　(6-74)

xm→Φ: =Φ(xm)　(6-75)

其中，Φ是特征扩展的模型，与功能扩展的集合结合，可以得到一个参数化的模型和一个新的功能扩展中相同的方式［式(6-79)］。功能扩展的协方差的集合及特征值的分解由式(6-80)计算得到:

［Φ(xm)］:，j=Φ(xj，m)　(6-76)

其中，［A］:，j代表矩阵A的j-th列。

然而，由于特征空间的扩展通常是非常高维的，甚至是无限维的，这取决于所选择的内核，协方差矩阵的特征值分解几乎是不可能的。点积矩阵和协方差之间的二元性，使得它可以取得完全等价的解决方案的协方差的特征值分解。如果我们定义两个特征扩展［式(6-80)］的一个点积作为核函数，那么可以不明确展现的高维特征扩展就可以评估核函数。因此，核矩阵［式(6-81)］或兰氏矩阵可以有效地进行计算。

K(xi，m，xj，m): =Φ(xi，m)TΦ(xi，m)　(6-80)

K: =Φ(xm)TΦ(xm) =ΦTΦ　(6-81)

其中，K的(i，j)-th元素是Kij=K(xi，m，xj，m)。

核KL扩展的主要思想是一个新的特征扩展，是模型特征变换的线性组合，用两个特征变换的点积代表了公式中的所有元素。考虑核矩阵的特征值分解:

KVK=VK∧K　(6-82)

那么，协方差的特征向量和相应的特征值由核矩阵的特征向量和特征值直接计算得到，这将减少花费的时间［式(6-83)］。

对于给定集合的参数集，我们必须找到一个参数化Y的集合

那么，式(6-84)给出了参数:

此外，一个新的模型扩展式［式(6-79)］由初始模型特征变换的式(6-91)集合的一个线性组合来表示。