扭转和弯曲的组合

5.7.4　扭转和弯曲的组合

当构件同时承受扭转力偶和横向力作用时，将产生扭转和弯曲两种基本变形。

1.应力计算

若某一截面上内力分量有扭矩M_T以及相互垂直平面内的弯矩M_y和M_z，剪力Q_y、Q_z通常略去不计，则该截面上任一点(y，z)处的应力分量有扭转剪应力τ及弯曲正应力σ。若构件的横截面为圆形或空心圆截面，由于过圆形或空心圆截面形心的任一轴均为形心主惯性轴，故可先计算合成弯矩

然后，再按平面弯曲，计算正应力，则有

2.强度条件

(1)危险点及其应力状态

危险点位于合成弯矩作用平面与横截面相交的截面周边处。其应力状态为平面应力状态。

图5.7-6

(2)强度条件

对于塑性材料，选用第三或第四强度理论，其强度条件分别为

【例5.7-1】截面为矩形b×h=90mm×180mm的悬臂木梁，承受荷载P₁=1kN，P₂= 1.6kN，如图5.7-7所示，木材的E=1×10⁴MPa。试求:(1)梁内最大正应力及其作用点位置;(2)梁的最大挠度。

解:(1)最大正应力

危险截面在固定端处，其弯矩为

M_y=2×P₁=2kN·m

图5.7-7

M_z=1×P₂=1.6kN·m

危险点为固定端截面上的D₁点和D₂点，其正应力

其中:D₁点为拉应力;D₂点为压应力。

(2)最大挠度

最大挠度发生在自由端截面

图5.7-8

【例5.7-2】矩形截面短柱承受荷载P₁、P₂作用，如图5.7-8所示。试求固定端截面上角点A、B、C及D处的正应力，并确定该截面中性轴的位置。

解:(1)固定端截面的内力分量

N=P₁=25kN

M_y=P₁×0.025

=0.025(25×10³)

=625N·m

M_z=P₂×0.6=0.6(5×10³)

=3000N·m

(2)各点应力

(3)中性轴位置。

设(y₀，z₀)为中性轴上任一点的坐标，则有

得中性轴方程

29.94z₀+63.89y₀－1=0

中性轴与y、z轴的截距:

中性轴位置如图5.7-8(b)所示。

【例5.7-3】一等截面圆杆AB，杆的轴线为四分之一圆弧，其曲率半径R=600mm，杆的B端固定支承，且使杆AB保持水平;A端承受铅垂荷载P=1.5kN，如图5.7-9所示。杆材料为钢，［σ］=80MPa，E=2.1×10⁵MPa，ν=0.3。试求:圆杆的直径。

解:取任一截面(图5.7-9(b))，其内力分量为

M=PRsinφ

M_T=PR(1－cosφ)

图5.7-9

显然，危险截面为固定端B截面

M_max=PR，MTmax=PR

由第三强度理论

所以圆杆直径