【摘要】：时空的弯曲闵可夫斯基和狭义相对论的（四维）时空曲率为零。这是正常的，因为该理论不考虑引力。而广义相对论就不是这样了：1912年爱因斯坦就明白了自己的理论需要非欧几何。众多流形为了在任意维度中推广空间概念，并引入可能的弯曲，几何学家们使用了“流形”一词。如此，一条线就是一维的流形。我们在三维流形中得到了其等价物：“球面空间”有恒定的正弯曲而“双曲空间”有恒定的负弯曲。
时空的弯曲_海滩上的爱因斯坦
时空的弯曲
闵可夫斯基和狭义相对论的（四维）时空曲率为零。这是正常的，因为该理论不考虑引力。而广义相对论就不是这样了：1912年爱因斯坦就明白了自己的理论需要非欧几何。
众多流形
为了在任意维度中推广空间概念，并引入可能的弯曲，几何学家们使用了“流形”一词。如此，一条线（无论是不是直线）就是一维的流形。一个面（如平面或球面）就是二维的流形。“习惯意义上的空间”（如伽利略和牛顿空间）是三维流形。时空是四维流形。我们也可以在五维、六维……或n维（任意整数）中研究几何，这都没有特殊的技术问题，即便我们不能在脑海里把它们想象出来。
我们可以将曲率与每一个流形相对应。在欧几里得流形那里它总是为零（根据定义），但在非欧几何的流形那里它则不再为零。
因此，半径为r的普通球面有恒定的正曲率1/r2。球体的表面没有直线，但测地线沿用了直线的概念，它取两点之间的最短距离。在球面上，测地线是“大圆”（它们与球体有相同的中心并以它为圆心形成一个圆形）,它们扮演着直线的角色。因为两个大圆总是在位于直径两端的两点相交，所以“给定直线的平行线”并不存在：球体几何是“椭圆的”。相反，双曲面有着恒定的负弯曲并存在着无数的“给定直线的平行线”；要画出这个双曲几何的图远不简单。
我们在三维流形中得到了其等价物：“球面空间”有恒定的正弯曲而“双曲空间”有恒定的负弯曲。
图8：几何弯曲
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