标号场模型的参数估计

1．基于最大伪似然参数估计

所有基于MRF的分割算法都是参数化的分割算法。参数的正确选择需依靠所处理的图像数据，所以，参数的估计比较复杂。特定的参数估计方法主要有两种，如最大似然估计法和最大伪似然估计法等等。最大似然估计法要求随机场中的像素是相互独立的，而事实上，随机场中的每一个像素与其邻域都是有关联的，所以在最大似然的基础上提出最大伪似然估计法。

最大伪似然算法是极大似然估计的一个近似算法，它对最大似然算法的逼近是根据条件概率（又称为局部概率）进行的，它将Gibbs分布中的能量函数分解为每一个像素位置上的能量函数的和。

其中是包含位置i和邻域Ni的势团能量。只考虑一元和二元的势函数的能量函数可以表示为：

对应的局部条件概率为：

伪似然分布定义为：

通过公式（2－17）对随机场参数λ（随机场X的参数集合记为λ）的导数为0，可以得到关于参数的方程组。对于8－邻域系统内每种类型势团的数量表达方式为：

式2．18表示8邻域内10种基团类型势团的数量，如果参数向量为λ＝（λ1，λ2，…，λk），则：

将式（2－19）代入式（2－17），对参数λ求导。

2．基于EM算法的参数估计

EM算法是一种迭代计算的最大似然过程，适用于不完全数据的参数估计。可以用于估计隐随机变量或过程。EM过程的每次迭代由两步构成，E（Expectation，期望）－步骤和M（Maximization，最大化）－步骤。在E－步骤中，计算隐数据（给出观察数据和当前估计的参数）的似然条件期望；在M－步骤中，通过在E－步骤中求得的条件期望最大，修正参数的估计。

图像的完全数据，包括两部分：第一部分为观察到的图像数据用y表示，它是不完全数据；第二部分为图像的分割结果用x表示，是不可见的数据，称为隐数据，如图2．7所示。采用EM算法能解决只给定图像数据的随机场的参数λ（或者用x表示）的极大似然估计问题，如式（2－20）。

图2．7 基于观察场（时间场）的MRF模型数据

式（2－20）由贝叶斯公式推导而来，其推导过程为：

（1）贝叶斯公式

（2）贝叶斯法则可表述为：

（3）最大似然估计就是要用似然函数取到最大值时的参数值作为估计值，用L（x｜y）表示，似然函数表示为：

对于任一像素晶格结构，通过优化参数，它能达到的最大对数似然度表示为式（2－20）。

式（2－20）是一个关于x的函数，求解这个优化问题通常对x求导，得到导数为0的极值点。该函数取得最大值是对应的x的取值，就是估计的模型的当前参数值。在实际情况中，数据集Y中常常会有缺失的数据，此时对数似然函数不能按求导进行计算，只能用迭代法对它进行近似求解。最常使用的迭代算法是期望优化（Expectation Maximiza－tion）算法，简称EM算法。若知道当前的参数值后，EM算法的迭代过程如下：步骤１ 根据当前的参数ｘ的取值，估计隐数据∧，即图像的一个分割结果，则隐数据与观察数据ｙ共同构成了图像的完全数据ｚ。

步骤2 利用当前的完全数据估计再次估计参数x ，

EM算法在步骤1和步骤2之间不停地迭代计算，这个过程中参数估计和图像分割交替进行，直到算法收敛结束。