－的基本理论知识

1．邻域与基团

设S为图像像素的集合，设S＝｛（i，j）｜1≤i≤N，1≤j≤M｝表示M×N个位置的有限格点集，S的每一个元素对应图像的一个像素的位置，如果图像像素为720×640，N为720，M为640，S的元素也就有720×640个。像素与像素之间的位置关系是通过邻域系统来保留的。S（i，j）的邻域即除了像素点S（i，j）以外的所有位置与像素点S（i，j）距离相距为r的集合，用公式表示为 ，d为当前像素点（i，j）与邻域像素点（k，l）的欧式距离，r为整数，且边界位置或边界附近位置的邻域像素会少一些。

2．4－邻域与8－邻域结构图

图2．1 低阶邻域结构图

一阶邻域系统，也称为4－邻域系统，它的每一个位置有4个邻域。如图2．1（a）所示，其中黑圈表示当前考虑位置；白圈表示它的邻域位置，其基团分为单点基团、水平基团、垂直双点基团等3类基团。二阶邻域系统，也称为8－邻域系统，它的每一个位置有8个邻域，其基团除了包括一阶邻域系统的基团外，还有对角基团、三点基团和四点基团等10类基团，如图2．1（b）所示。图2．2中的n＝1，2，…，5表示当前考虑像素的n阶邻域最外层的邻域位置。例如，一幅像素为720×640图像，S＝｛（i，j）｜1≤i≤720，1≤j≤640｝，S中所有的内部像素位置（i，j）在一阶系统中都有4个邻域位置， （i＋1，j），（i，j－1），（i，j＋1）｝，边界位置只有3个邻域，顶角的邻域最少，只有2个。

图2．2 高阶邻域结构图

在S中有不同的邻域结构，当子集中每对不同位置总是相邻时，称c是一个基团（Clique），C表示基团的集合，基团是包含若干位置的集合。如包含一个像素的基团C1＝｛i｜i∈S｝，包含两个像素的基团C2＝｛｛i，j｝｜j∈Ni，i∈S｝，包含3个像素的基团C3＝｛｛i，j，k｝｜i，j，k∈S，且两两相邻｝，所有这些基团的并集为像素S上的所有基团。基团中的位置是有序的，如｛i，j｝和｛j，i｝不是同一个基团，当前像素的位置集合的基团由它的大小、形状和方向来确定。所以图2．2中二阶邻域系统的基团只是少数的几个代表而已，当邻域系统阶数越高时，基团的数量也会迅速增加，同时计算复杂度也增加。

3．Markov随机场

在图像像素集合中，随机矢量是定义在S上的一组随机变量，如图2．3所示。其中每一个随机变量Xi在标号场L上取值为xi，即每个像素都有一个标号，这个随机变量组被称为随机场，采用符号Xi＝xi表示事件Xi取值xi。对于标号集合L，随机变量Xi取值xi的概率可以表示为P（Xi＝xi），密度概率表示为P（xi）。假设720×640像素的图像为一个随机场，矢量X代表图像灰度的强度值，像素S＝（i，j）的灰度强度值表示为Xs。在具有邻域系统N的像素集合S上定义的随机场X称为Markov随机场，它满足两个约束条件：

（1）正定性：P（xs）≥0，xs∈Ω。

（2）Markov性：）。

其中，｝是所有可能组态的集合；s／i表示图像像素集合S中位置i以外的所有位置表示与i相邻的所有邻。

4．Gibbs随机场

图2．3 720×640图像的像素集和矢量集

Hammersley－Clifford定理给出了Gibbs分布与MRF的等价条件：一个随机场是关于邻域系统的MRF当且仅当这个随机场是关于邻域系统的Gibbs分布。在具有邻域系统N的像素集合S上定义的随机场X的配置服从Gibbs分布，则可以称该随机场为Gibbs随机场，其分布用公式表示为：

其中为归一化常数或配分函数，T为温度常量，除非特殊需要一般都设为1，U（x S）为能量函数，是基团集合C中所有基团的势的总和。Uc（xs）的取值取决于基团c上标记的局部配置。

P（xs）表示的是随机场X的某一配置xs出现的概率，越可能出现的xs具有的能量就越小。温度T用来控制分布曲线的锐度，在T和U（x S）已知的情况下，可以用概率P（xs）对配置空间Ω采样，从而生成一个配置。对于Gibbs随机场来说，U（x S）的公式表示为：

如果只考虑一个和两个基团的邻域系统，则式（2－2）中的能量函数简化为：

条件概率P（x｜x ）的计算公式表示为：