模糊集理论最早是由Zadeh［172］于1965年提出并且得到进一步的研究，在此基础上，刘宝碇［173］提出了可信性理论。
定义5．3：设Θ是一个非空集合，p（Θ）是由Θ的所有子集组成的集合，如果集函数Pos满足下面的条件：
（公理1）Pos｛Θ｝＝1；
（公理2）Pos｛φ｝＝0；
（公理3）Pos｛UiAi｝＝supiPos｛Ai｝对任意p（Θ）的子类｛Ai｝成立，则称Pos为可能性测度。此时，称｛Θ，p（Θ），Pos｝为一个可能性空间。
定义5．4：一个可能性空间｛Θ，p（Θ），Pos｝到实数集R的函数称为一个模糊变量。n维模糊变量是一个从可能性空间｛Θ， p（Θ），Pos｝到n为实向量空间Rn的函数。
在Zadeh的模糊集理论中，定义了两种测度，即可能性测度（Pos）和必要性测度（Nec）。模糊事件的可能性是指在所有使得该事件成立的值中最大的可能性。而必要性定义为这个事件的对立面的不可能性。我们设ξ为一个模糊变量，其隶属函数为μ( )x ，r为一个实数。则模糊事件｛ξ≥r｝的可能性和必要性可分别表示为：
从以上定义我们可以看出，当一个模糊事件的可能性是1时，该事件未必成立，同样，当该事件的必要性是0时，该事件也可能发生。因此我们引入了可信性测度的概念［173］：模糊事件的可信性（Cr）定义为该模糊事件模糊性和必要性的平均，即：
由于该测度是自对偶的，这一点在理论上和实际应用中意义很大。可信性测度是用来度量模糊事件发生机会的工具，它在度量模糊事件发生的机会时比可能性测度和必要性测度存在优势。例如，当一个模糊事件发生的可能性是1时，这个事件不一定能够真的发生，同样当模糊事件的必要性是0时，这个事件也有可能发生。但是当模糊事件的可信性是1时，这个事件一定会发生，当模糊事件的可信性是0时，这个事件一定不会发生。从这一点上讲，当我们用可信性测度做决策时，得到的结果必然会优于用可能性测度和必要性测度得到的结果。
定义5．5：如果ξ是一个模糊变量，基于可信性测度，有如下的期望值定义：
只要其中的一个积分是有限的。
此外，刘宝碇还证明了当模糊变量ξ和η独立时，模糊变量期望值算子具有线性性质，即对任意的实数a和b，有：
E［aξ＋bη］＝a E［ξ］＋b E［η］ （5-3）
定义5．6：设ξ为一模糊变量，并且α∈（0，1］，则：
ξinf（α）＝inf｛r｜Cr｛ξ≤r｝≥α｝ （5-4）
称作ξ的α －悲观值。
例1：梯形模糊变量ξ用四元组（a，b，c，d）来表示，其隶属函数如图5-2所示，其中a ＜b ＜c ＜d。
根据可能性、必要性和可信性的定义，很容易获得该模糊变量的可能性分布、必要性分布以及可信性分布。
图5-2 梯形模糊变量的隶属函数
例2：根据模糊变量期望值的定义，可知三角模糊数ξ ＝ （a， b，c）的期望值：
梯形模糊变量η ＝（a，b，c，d）的期望值E［η］＝
（a＋b＋c＋d）
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