质量波动及统计量表示法

12.1　质量波动及统计量表示法

12.1.1　质量波动

对于任何一种产品，不可能也没有必要要求每件产品的质量完全一样。同样，对于水运工程中所用材料的质量或构筑物的修建质量，也不可能是丝毫不差的。例如，在混凝土施工中，即使同一批混凝土的质量特性值也是参差不齐的，但只要这些数据以一定的概率落在规定的范围之内，就可以认为这批混凝土是合格产品。

以上情况说明，工程上的质量特性是会发生波动的，造成工程质量波动的原因是由于4M1E（指Man（人）、Machine（机器）、Materia1（物）、Method（方法）和Environments（环境））五大因素发生了变动。按照质量因素变动对生产过程影响的程度和消除它们的可能性不同，可将这些因素分为两大类。

1.经常作用的因素

又称正常波动或随机误差。例如，在混凝土工程中的水泥实际标号、砂石料含水量和混凝土试模尺寸微小变动等，这一类波动在大规模的生产过程中是不可能完全避免的，可以允许在一定限度内存在，并看做是正常的。

这类波动所引起的质量特性值的随机误差，具有以下特点：

①误差的出现无确定的规律性，无法预知，大多具有偶然性；

②随着对同一质量特性值测量次数的增多，这种误差平均值趋近于零；

③对同一质量特性值，数量相等、符号相反的随机误差出现的频率大致相等；

④值小的随机误差，比值大的随机误差出现的频率要大。

2.可避免的因素

这种波动称为异常波动或系统误差。例如，混凝土工程中所用水泥品种的变化将对混凝土的强度产生显著影响，这些因素的作用比较大，一般是有办法也有必要把它们找出来，加以调整或消除的。

这类波动引起的质量特征值的系统误差，具有以下特点：

①系统误差可能是一个常数，或是某种因素的函数；

②多次重复测量某一相同质量特征值，系统误差可重复出现，且正负号不变；

③测量所得的结果，经过修正，可接近实际值（真值）。

12.1.2　统计量的表示方法

1.统计量中的数据

科学的质量管理工作必须通过科学的方法收集反映产品质量特性的各种试验数据，以便用于控制生产工序质量，分析质量问题，检验产品的质量合格率。

但是，即使人们竭尽努力、认真负责地收集各种必要的数据，这些数据往往也并非立即可用。例如，在新修建好的港内或进港道路的路基上进行弯沉值测量，其结果往往是参差不齐的。这就需要我们从大量的数据中去粗取精，去伪存真，对数据进行科学的整理和分析，尽可能充分和正确地从中提取有用的结果。因此，所谓数据就是指客观地反映事实的资料和数字。

作为质量特性值的数据，一般可分为两类：一类称为计量值，另一类称为计数值。

计量值是作为连续量所测得的质量特性值，如长度（m）、质量（kg）、强度（MPa）等。

计数值是以个数计的特性值，如产品的不合格品数、回填土压实度不合格测点数等。不合格品数除以检验个数所得的不合格品率也是计数值。

为了利用统计方法进行质量控制，在叙述统计量表示方法之前，首先介绍统计量中的总体、个体和样本以及它们之间的联系。

2.总体、个体和样本

总体是指所研究对象的全体，又称母体。组成总体的每个基本单位称个体，如整批混凝土预制板中的每块预制板。总体所含个体的多少叫做总体的容量，用N表示。

总体的性质是由构成它的每一个个体的性质决定的。所以，要了解总体的性质，就应该了解总体的每一个个体的性质。

但是，要了解总体中每一个个体的性质是困难的，因为：

①在许多情况下，总体所含的个数数目甚多，事实上不可能都进行研究。例如，回填土压实度的测定，每平方米测一点，则在回填面积较大时，这在时间、人力、物力上都是做不到的；

②了解个体的性质有时需要做破坏性试验。如果要了解每一个个体的性质，则将导致总体的破坏，这是与我们生产的目的相违背的；

③即使总体中个体数目不多，试验也不具备破坏性，但我们仍然希望节省人力和时间，能以更经济的方式了解总体的性质。

样本是从总体中随机抽取若干个体而组成的集体。抽取样本的过程称为取样。例如，1 000m²回填土面积中测定20个点的压实度K_i＝1～20，K_i＝1～20称为该回填土压实度总体的样本。

样本可以分为试样和抽样。试样是在工序进行过程中为了判断生产状况而抽取的样品；抽样则是全部加工完毕后为了了解和评定产品质量而抽取的样品。样本中所含样品的数目叫做样本的大小或样本容量，用n表示。上例中回填土压实度K的样本容量n＝20。

用抽样所得的样本数据判断总体的性质，常因这种信息的不完全性和不确定性，使做出的判断并无绝对把握，而冒判断错误的风险。这种风险的大小，可用概率的知识计算出来。

总体和样本的关系可用图12-1表示。

图12-1　总体和样本的关系

3.统计量的表示方法

当数据比较多的时候（如100个以上），可绘制直方图来近似地描述总体的性质，这样能一目了然地了解其分布状态。当数据比较少时，为了定量地表示分布的性质，常用平均值和散差来定量地表示统计数据的性质。

（1）平均值。平均值是各个数据相加之和除以数据个数所得之值，即算术平均值。总体平均值常用μ表示，样本平均值常用X„表示。

例如，观测值分别为X₁，X₂，…，X_n时，其平均值可用下式计算：

　　　　（12-1）

平均值表示数据分布的位置，即表示分布的中心。平均值的单位与测值相同。

将数据按大小顺序排列，位于正中间的数是中位数。有时候，也用中位数（中心值）来代替平均值。例如，在确定混凝土一组试件（三块）抗压强度时规定，如果三个测定值中的最小值或最大值中有一个与中间值之差超过中间值的15％，则取中间值作为该组试件的抗压强度值；若最大和最小值与中间值相比均超过中间值的15％时，则该组试验无效。这里所说的中间值，即一组试件强度数据的中位数。中位数用X～表示。当观测数据的个数为偶数时，则取中间两个数的平均值为中位数。

（2）散差。散差表示统计量分布的尺度。作为散差的标准，一直使用的有极差、标准偏差或方差等。

①极差：极差是观测数据中最大值与最小值之差，用R（Range，范围）表示，可由下式计算：

　　　　（12-2）

R≥0，与观测值的单位相同。极差R通常在数据个数小于10时采用。如果数据个数多时，可以将4个或5个分为一组，分别求出每一组的极差R_i，然后将各组的极差平均值 作为散差的标准。

②标准偏差：对于n个观测值X₁，X₂，…，X_n，其标准偏差S有两种计算方法。

ⅰ.当n较大，称有偏标准偏差，用S₁表示：

　　　　（12-3）

或

　　　　（12-4）

ⅱ.当n较小时，称无偏标准偏差，用S₂表示（在很多情况下常用S表示S₂）：

　　　　（12-5）

当n≥30时，S₁与S₂的差别很小。

标准偏差所表示的是每个观测数据以其平均值为基准的差别大小，S愈小表示观测数据愈均匀。上面公式中：（X_i－X„）称为偏差，∑（X_i－X）2称为偏差平方和；n-1称作自由度，用f表示；［∑（X_i－X^„）² ］/（n－1）称作方差，用S²表示。

样本标准偏差S是总体标准偏差σ的估计值，其单位与观测值的单位相同。方差S²的单位是观测值单位的平方。

极差一般是在与标准偏差或方差有联系时才采用，单独采用极差的情况较少。极差不能作为总体散差的尺度参数，它只是作为一个统计量，即作为表示试样散差的量而运用的。

样本特征数与总体数字特征对照表见表12-1。

表12-1　样本特征数与总体数字特征对照表

【例】观测得某码头堆场垫层材料一组试件抗压强度（Mpa）结果如下：

2.95，3.20，3.08，3.09，3.12，3.21，3.11

根据这些数据求X„、R、S²、S₂。

【解】

（3）变异系数C_V。

变异系数是用平均值的百分率表示标准偏差的一个系数。由于在测量各种不同质量特性数据时，标准偏差的误差有波动，故用变异系数表示波动的大小，其计算公式为：

　　　　（12-6）

（4）用计算器计算统计量。

利用计算器的统计计算功能来计算统计量十分快捷，通常是在S_D或STAT方式下进行。一般步骤为：

①计算器进入统计计算方式（S_D或STAT）；

②清除内存（按［KAC］键）；

③输入数据，每按一个数据，就按一次［DATA］键；

④按有关统计量的键，即刻就显示希望得到的统计量。