【摘要】：首先考虑垂直于x方向的一对控制表面(平面)的质量流量。令其相等后除以微元体积δxδyδz,并取极限,δx,δy,δz趋于零,于是对于一点的连续性方程为该式对恒定流、非恒定流、可压缩或不可压缩流动中任一点都适用。
对于三元直角坐标系,可以在流场中取一边长为δx、δy、δz的微小平行六面体为控制体,如图5-7所示。其中心位于(x,y,z),中心x,y,z方向的流速分量分别为u x,u y, u z,密度为ρ。首先考虑垂直于x方向的一对控制表面(平面)的质量流量。因假定各处的ρ和u x为连续变化,故经右侧面流出的质量流量为式中,ρu xδyδz是垂直于x轴中间平面的质量流量;第二项是质量流量对x的变化率乘以到右侧面距离
同理,左侧面流入控制体积的质量流量应为
图5-7 控制体
流出两平面的净质量流量为
对另外两方向可得类似表达式,因此总净流出质量流量为
对于微元控制体积内,质量减少率应为
根据质量守恒定律,式(5-12)与式(5-13)应相等。令其相等后除以微元体积δxδyδz,并取极限,δx,δy,δz趋于零,于是对于一点的连续性方程(continuity equation)为
该式对恒定流、非恒定流、可压缩或不可压缩流动中任一点都适用。对不可压缩流动, ρ=const,可简化成
为哈密顿矢量微分算子。对恒定流,
得
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