作用于平面的液体压力

在工程实践中,不仅需要我们掌握静止流体的压强分布规律及任一点处压强的计算这些问题,而且有时也需要解决作用在结构物表面上的流体静压力问题。例如气罐、锅炉、水池等盛装流体的结构物,在进行结构设计的时候,需要计算作用于结构物表面上的液体静压力。

设有一与水平面成α夹角的倾斜平面a b,如图2-7所示,其左侧受水压力,水面大气压强为p a,把平面绕Oy轴转90°,受压平面图形就在x y平面上清楚地表现出来。而受压面的延长面与液面的交线,即是x轴,现对x y坐标来分析受力问题。

由于流体静压强的方向沿着作用面的内法线方向,所以,作用在平面上各点的水静压强的方向相同,其合力可按平行力系求和的原理解决。设在受压平面上任取一微小面积d A,其中心点在液面下的深度为h,采用相对压强计算,d A上的压强p=γh,则作用在微小面积上的水静压力为

d P=p d A=γh d A

整个受压面作用着一系列的同向平行力,根据平行力系求和原理,将各微小压力d P沿受压面进行积分,则得到作用在受压平面上的水静压力

图2-7　平面液体压力

P=∫d P=∫A p d A=∫Aγh d A=γsinα∫A y d A

式中,∫A y d A为受压面积A对x轴的静面矩,它等于受压面积A与其形心(平面的几何中心)y C的乘积,因此

P=γsinαy CA

h C=sinαy C

但

故

P=γh CA=p CA　　　　　　　(2-8)

式中,h C——受压面形心在水面下的淹没深度;

p C——受压面形心的静压强;

A——受压面积。

从式(2-8)知,作用在任意位置、任意形状平面上的水静压力值等于受压面面积与其形心点所受水静压强的乘积,它只与受压面积A、液体容重γ及形心的淹没深度h C有关,而与容器的形状无关。

由于压强与水深成直线变化,深度较大的地方压强较大,所以,水静压力的作用点(也称压力中心)D在y轴上的位置必然低于形心C。D点的位置可以利用各微小面积d A上的水静压力d P对x轴的力矩之总和等于整个受压面上的水静压力P对x轴的力矩这一原理求得。

微小压力d P对x轴的力矩为

d Py=γh d Ay=γy 2 sinαd A

各微小力矩的总和为

式中,J x=∫A y 2 d A为受压面的面积A对x轴的惯性矩。水静压力P对x轴的力矩为

Py D=γh C A y D=γy C sinαA y D

由于合力对某轴之矩等于各分力对同轴力矩之和。因此, γy C·sinα·Ay D=γsinα·J x

因为,代入上式化简得

或

式中y e——压力中心沿y轴方向至受压面形心的距离;

y D——压力中心沿y轴方向至液面变线的距离;

y C——受压面形心沿y轴方向至液面变线的距离;

J C——受压面对通过形心且平行于液面交线轴的轴的惯性矩;

A——受压面受压部分面积。

由于J C/(y C·A)总是正值,故y D>y C,说明压力中心D点总是低于形心C。

例2-2　一铅直矩形闸门,如图28所示,顶边水平,所在水深h 1=1m,闸门高h=2m,宽b=1.5 m,试求水静压力P的大小及作用点。

解　引用式P=γh C A。其中:水的容重γ=9.807(k N/m3),h C=h 1+h/2=1+,代入式中得

P=9.807×2×3=58.84(k N)

压力中心的位置y D=y C+J C/y C A。其中:y C=,代入式中得

图2-8　作用于铅直平面闸门的压力