静止液体对曲面的作用力

在工程实践中，常遇到受压面为曲面的情况，如拱形坝面、弧形闸门、输水管以及圆柱形或球形储油罐，等等。一般来说可以分为二向曲面(柱面类)和三向曲面(球面类)。本节只分析受压面为二向曲面的静水总压力的计算问题，三向曲面的问题可以用类似于二向曲面的方法进行分析计算。

图3-23给出了一种受压面为曲面的静水压强的分布情况。从图3-23可见各点的静水压强都垂直指向作用面，但由于作用面为曲面，则各点的静水压强的方向互不平行。那么对围绕每一点所作的微小平面上的静水总压力的方向也不平行。可见受压面为曲面的静水总压力的计算问题属于非平行力系问题。因而，不能直接使用受压面为平面的静水总压力的计算方法。但可以将作用在每一微小平面上的静水总压力dP分解为沿各坐标轴向的分力:dPx、dPz，其中所有dPx均垂直指向垂直于以Ox轴为法向方向的平面，dPz均垂直指向垂直于以Oz轴为法向方向的平面。这样可以将非平行力系问题转化为各轴向平行力系问题。然后，分别用求代数和的方法计算各轴向的静水总压力Px、Pz。Px、Pz分别称为曲面上静水总压力的水平分力和垂直分力。最后再将Px、Pz合成为曲面上的静水总压力P。

如图3-24所示的一弧形闸门EF，面积为A。建立如图3-24所示的坐标系。若在水深为h处取一面积为dA的微小平面，其上作用着微小静水总压力dP=pdA=ρghdA，力dP的方向是垂直指向作用面dA，并与Ox轴的夹角为α。由图3-24可见，dP可以分解为水平分力dPx和垂直分力dPz，即

图3-23　二向曲面静水压强分布图

式中:dAx——微小平面dA在垂直面(yOz面)上的投影面面积;

dAz——微小平面dA在水平面(自由液面或其延长面)上的投影面面积。

图3-24　曲面静水总压力计算图

3．7．1　静水总压力的水平分力

作用于整个曲面上的静水总压力P的水平分力可以看做为无数个dPx的合力，则

同上一节，∫AxhdAx为曲面A的垂直投影面Ax对水平轴Oy轴的一次矩(静面矩)。则有

式中hC为曲面A的垂直投影面Ax的形心点在水下深度。于是，水平分力Px为

式(3-63)表明，作用于曲面A上的静水总压力P的水平分力Px等于作用于该曲面在垂直投影面上的静水总压力。也就是说，可以用上一节求平面静水总压力的方法来计算水平分力Px。

3．7．2　静水总压力的垂直分力

作用于整个曲面上的静水总压力P的垂直分力Pz可以看做为无数个dPz的合力，则

由图3-24可见，hdAz为微小平面dA与其在自由表面延长面上的投影面dAz之间的柱状体体积，而式(3-64)中的∫AzhdAz为整个曲面A与其在自由表面延长面上的投影面dAz之间的体积。由于该体积与曲面上的静水总压力的垂直分力Pz有关，则称为压力体。以V表示，则有

因而式(3-64)可以写成

式(3-66)表明，作用于曲面A上的静水总压力P的垂直分力Pz等于压力体与密度和重力加速度的乘积，或者说等于压力体内液体的重量。垂直分力Pz的作用线通过压力体的形心点。

压力体是计算垂直分力Pz的一个重要的概念。从前述分析可见，压力体只是一个数值当量，压力体不一定由实际液体所组成。如图3-24所示的曲面，压力体内没有液体，称为虚压力体。如图3-25所示的曲面，压力体完全被液体所充满，称为实压力体。压力体一般由下列各面所组成。

(1)受液体作用的曲面本身;

(2)自由液面或自由液面的延长面;

(3)由曲面的周边引至自由液面或自由液面的延长面的铅垂柱面。

关于垂直分力Pz的方向，一般来说，实压力体时Pz方向向下;虚压力体时Pz方向向上。在不易判别时，可以用实际经验来判别。对于凹凸相间的复杂曲面，可以将曲面分成若干段，分别绘制压力体图，并根据各部分垂直分力的方向，合成得到总压力体，从而得到总的垂直分力。

垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。

3．7．3　静水总压力

根据力的合成定理，作用在曲面上的静水总压力P的大小为静水总压力P的作用线与水平面的夹角为

图3-25　实压力体图

静水总压力P的作用线必定通过Px和Pz的交点，注意这个交点不一定位于曲面上。

关于作用于三向曲面上的静水总压力的计算问题。一般来说与二向曲面类似，所不同的是还应计算向Oy轴投影的水平分力Py，计算方法如同Ox轴向的水平分力Px。

例3-4某水电站弧形挡水闸如图3-26所示。弧形闸曲面为圆柱形，闸门宽B为4m，半径R=10m，夹角α=45°，液面高H=4．7m。试求作用于闸门上的静水总压力。

解计算水平分力。根据水平压强分布图可得

计算垂直分力。由题意分析可见

AC=CB=H=4．7m

其中:

三角形ABC面积

扇形OAB面积

三角形OAB面积

弓形面积　A4=A2－A3=3．915m2

由此可以求得压力体体积

则垂直分力为

闸门上的静水总压力为

总压力P的作用线与水平面的夹角为

图3-26　例3-4题图