静止液体对平面的作用力

前面讨论了静水压强的分布规律及点压强的计算方法，从本节起将讨论另一重要问题，即仅受重力作用下静止液体作用于整个受压面上的静水总压力的计算。

根据理论力学中力的三要素的原则，静水总压力的计算，一般需求力的大小、作用方向及作用点。

本节将讲述实际工程中求平面静水总压力的两种方法——图解法和分析法。分析两种方法的思路，都是以静水压强的特性及静水压强的基本方程(3-27)为基础的。从受力特点来看，作用在平面上的静水总压力的计算问题属于平行力系求合力的问题。因此，可以使用以求代数和为基础的图解法或分析法来计算平面的静水总压力P。

3．6．1　图解法

对于有一组对边平行于水面的矩形平面上的静水总压力计算问题，用图解法来求解是最方便的。这是因为作用在矩形平面上的静水压强可以用下式来表示，即上式说明液体内任一点的静水压强p是随水深h成直线变化的，因此可以用静压强分布图来表示矩形平面上静水压强p的大小和方向。

p=ρgh

绘制静压强分布图的规则是:

(1)按一定的比例，用线段的长度代表静水压强的大小;

(2)用箭头表示静水压强的方向。

如图3-18和图3-19所示的垂直放置的矩形平面，可以用p=ρgh计算出A点和B点的静水压强值，并按一定的比例用垂直于矩形平面的线段来表示。又根据液体内任一点的静水压强p是随水深h成直线变化的特点，用直线连接AC和DC。同时在ABC和ABCD区域内均匀绘制若干条直线，并绘制出表示静水压强方向的箭头。图3-18中的ABC区域和图3-19中的ABCD区域即为静压强分布图。

图3-18　矩形平面压强分布图

图3-19　矩形平面压强分布图

现叙述利用静压强分布图计算静水总压力的方法。

如图3-20所示，已知矩形闸门AB的宽度为b，并已绘制出静压强分布图ABC。

图3-20　矩形平面静水总压力的计算

现针对图3-20(b)，若在AB闸门上的任意水深h处，取一微小面积dA，其大小为dA=bdh。微小面积dA上的静水压强为p=ρgh，那么，微小面积dA上的静水总压力dP=ρghdA=bρghdh。这时，作用在闸门AB上的静水总压力P为

又由图3-20(a)知，静压强分布图ABC的面积为

若在式(3-50)中，考虑式(3-51)，有

式(3-52)表明:矩形平面上的静水总压力等于该平面上的静压强分布图的面积S与矩形平面的宽度b的乘积。也可以说等于该平面上的静压强分布图的体积。这个结论也可以用于图3-19所示的静压强分布图为梯形的情况，这时S为梯形面积。

关于静水总压力的作用点的计算，可以由理论力学知，平行力系的合力的作用线通过该力系的中心。也就是说静水总压力的作用点通过静压强分布图的形心。对于图3-20(a)所示的静压强分布图为三角形的情况，静水总压力P的作用点位于矩形平面的纵向对称轴

O—O'上，距静压强分布图ABC的底部BC以上处。对于图3-19所示梯形静压强分布图，可以利用合力矩的方法求出这种情况下静水总压力P的作用点。具体可见例3-3。

例3-3如图3-21所示为某水电站进水闸的示意图。闸门底缘底板高程为310．7m，闸门高3．2m，宽B=2．8m。试求当闸前水位为356．2m时闸门承受的静水总压力。

解为求静水总压力的大小，先绘制出作用在闸门上的静水总压力分布图。如图3-21所示。从图3-21可见，作用在该闸门上的压强分布图为梯形，这时闸门顶部的水深

h1=356．2－310．7－3．2=42．3m

图3-21　例3-3题图

闸门底部的水深　h2=356．2－310．7=45．5m

梯形高　H=3．2m

根据梯形面积公式，可得静水总压力P的大小

为求总压力的作用点，可以将梯形的压强分布图分成一个三角形和一个矩形的分布图，分别计算这两部分的总压力P1和P2，以及各自的作用点l1和l2。

对于三角形分布图，有

对于矩形分布图，有

根据合力矩定理，这两个分力对O点之矩等于其合力对O点之矩。即

Pl=P1l1+P2l2

式中l为合力P距底部的距离。

由此求得总压力的大小为3854．77kN，作用点距底部1．581m，方向为垂直指向作用面。

3．6．2　分析法

现在讨论任意平面上所受的静水总压力的计算问题。由于受作用平面的任意性，不能用图解法求解，只能用分析法计算这种情况下的静水总压力问题。

设有任意平面EF，该平面与水平面的夹角为α，为方便分析，将平面EF旋转90°，如图3-22所示。并将平面EF的延长面与水面的交线ON和过平面EF垂直于ON的直线OM作为一组参考坐标系。

图3-22　任意平面静水总压力的计算

1．静水总压力大小的计算

在图3-22所示平面EF上任选一点B，围绕B点取任意微小面积dA。设B点在水面下的淹没深度为h，沿坐标轴OM距坐标轴ON的距离为l，有h=lsinα。由式(3-30)知，B点处的静水压强为p=ρgh=ρglsinα。因任意微小面积dA很小，可以认为微小面积上的压强与B点压强一样，则作用在微小面积dA上的静水总压力为

作用在整个平面EF上的静水总压力为

由材料力学知，∫AldA为面积A对ON轴的一次矩(静面矩)，得

式中lC表示平面EF形心点C至ON轴的距离。将上式代入式(3-54)，得

或

式中hC=sinαlC为平面EF形心点C在水面下的深度。由于ρghC为形心点处的静水压强pC。那么式(3-55)又可以写成

式(3-55)、式(3-56)是用于计算作用于任意平面上的静水总压力的一般公式。由这两式可以得出一个重要结论:作用于任意平面上的静水总压力P，等于该平面的面积A和作用在其形心处的静水压强的乘积。需要指出的是，上述结论中所指的面积A和形心点C是指淹没于液体中的面积及其形心点。

2．静水总压力作用点的计算

如图3-22所示，设平面EF上的静水总压力P的作用点对ON轴的距离为lD，各微小面积dA上的静水总压力dP对ON轴的距离为l。由合力矩定理:合力对一轴的矩等于各分力对同轴的矩的代数和。得

对式(3-57)中左边有

由材料力学知，为面积A对ON轴的二次矩(惯性矩)，再利用惯性矩的平行移轴定理，可以由式(3-57)推得静水总压力的作用点为

由式(3-58)可知，lD＞lC，也就是说静水总压力作用点D在受压面形心点C之下。关于静水总压力作用点D对OM轴距离的计算，如果受压平面EF左右对称有对称轴，则D点必落在对称轴上，D点对OM轴距离为零;如果受压平面EF无对称轴，D点对OM轴距离不为零，则可以用前述的力矩定理及类似的方法计算静水总压力作用点D点沿ON轴方向上的位置。

3．静水总压力的方向

由静水压强的特性知，静水总压力P的方向是垂直指向作用面。

需要指出的是，根据巴斯加原理，液体中处处都受到大气压的作用，受压平面的另一面也同时受到大气压的作用，因此一般使用相对压强来计算静水总压力。