点在投影体系中的基本特性

2．1．1　点在投影体系中的基本特性

空间物体都是由面围成的，而面可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。

1．点的投影的形成

1）点的单面投影

空间点在某一投影面上的投影，实际上就是过该点向投影面作垂线，与该投影面所得的交点即为点的投影。显然，点的投影仍然是点。

如图2．1．1所示，过空间点A向投影面H作垂线（即投射线），与H投影面相交，则交点a即为A点在H面内的投影，这个投影是唯一确定的。反之，已知投影a，却不能唯一确定其空间位置，因为在投射线上的任意一点（如点B），其投影都在a处。因此，已知点的一面投影还不能确定其空间位置，它至少需要两面投影。

图2．1．1　点的单面投影

2）点的两面投影

如图2．1．2（a）所示，在空间建立相互垂直的两个投影面，即水平投影面H和正立投影面V，它们的交线为OX投影轴。

图2．1．2　点的两面投影

（a）直观图；（b）投影图

过A点分别向H、V面作垂线，所得的垂足a、a′，即为A点的两面投影，这两个投影是唯一确定的。a称为A点在H面上的正投影，即水平投影；a′称为A点在V面上的正投影，即正面投影。反之，已知点的两面投影a、a′，也可以唯一确定其空间位置。

由图2．1．2（a）可以证明，平面Aaa_xa′为一矩形且与H、V投影面相互垂直。固定V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，此时H、V投影面共面，由图可知，a、a′、a_x三点位于同一条铅垂线上，即aa′⊥OX，如图2．1．2（b）所示。

综上所述，点的两面投影规律为：

①点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴；

②点的V面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离，即a′a_x＝Aa；

③点的H面投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离，即aa_x＝Aa′。

2．点的三面投影及其规律

1）点的三面投影

在空间建立相互垂直的三个投影面，即水平投影面H、正立投影面V和侧立投影面W，如图2．1．3（a）所示，V面与H面的交线为OX投影轴，V面与W面的交线为OZ投影轴，H面与W面的交线为OY投影轴，三条轴的交点为原点O。

为了作空间点A在三个投影面上的投影，过A点分别向H、V、W面作垂线，得垂足a、a′、a″。a称为A点在H面上的正投影，即水平投影；a′称为A点在V面上的正投影，即正面投影；a″称为A点在W面上的正投影，即侧面投影。

由于A点的三面投影是位于空间相互垂直的三个投影面上，而实际作图时要在一个平面内体现它们之间的关系，为此，可将H、V、W三个面展开成一个平面。如图2．1．3（b）所示，保持V面不动，让H面绕OX轴向下旋转90°，让W面绕OZ轴向右旋转90°，于是三个投影面就展开成一个平面，去掉投影面边框，即得到如图2．1．3（c）所示的点的三面投影图。

图2．1．3　点的三面投影

（a）直观图；（b）立体图展开；（c）投影图

在图2．1．3（a）中，Aaa_xa′构成一个平面，此平面与OX轴交于点a_x；Aaa_ya″构成一个平面，此平面与OY轴交于点a_y；Aa′a_za″构成一个平面，此平面与OZ轴交于点a_z。可以证明，Aaa_xa′a_za″a_yO是一个正四棱柱体。可见，当H、V、W面展开成一个平面时，a′a⊥OX轴，a′a″⊥OZ轴，由于OY轴及点a_y随着H、W面的展开被一分为二，故有aa_x＝Oa_yH＝Oa_yW＝a″a_z，可用45°线来反映该关系。

2）点的三面投影规律

点的三面投影规律为：

①点的正面投影a′与水平投影a的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX轴；

②点的正面投影a′与侧面投影a″的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴；

③点的水平投影a到OX轴的距离等于点的侧面投影a″到OZ轴的距离，即aa_x ＝a″az。

3．点的投影与空间坐标的关系

点在空间的位置可用坐标来确定，即如果空间点A的坐标表示为A（X，Y，Z），则点A在水平投影面内的投影可表示为a（x，y）；点A在正立投影面内的投影可表示为a′（x，z）；点A在侧立投影面内的投影可表示为a″（y，z）。由此可见，点的任意两面投影含有点的三个坐标。在三面投影中，只要知道点的任意两面投影，即可求出点的第三面投影。

【例1】　已知点A、B的两面投影，如图2．1．4（a）所示，求其第三面投影。

图2．1．4　已知点的两面投影求第三面投影

（a）题图；（b）图解

作图步骤：（1）过点a′作OZ轴的垂线并延长，过点a作OY_H轴的垂线并延长，与45°分角线相交并旋转90°向上引铅垂线，该铅垂线与过a′点所作的垂线相交，交点即为点a″，如图2．1．4（b）所示。

（2）过点b′作OX轴的垂线并延长，过点b″作OY_W轴的垂线并延长，与45°分角线相交并旋转90°向左作水平线，该水平线与过b′点所作的垂线相交，交点即为点b，如图2．1．4（b）所示。

【例2】　已知点C、D、E的两面投影，如图2．1．5（a）所示，求其第三面投影。

图2．1．5　已知点的两面投影求第三面投影

（a）题图；（b）图解

作图步骤：（1）过点c′作OX的垂线，则垂足即为点c，如图2．1．5（b）所示。

（2）因为点d（d′）在OX轴上，所以点d″即为坐标原点O，如图2．1．5（b）所示。

（3）过点e作OY_H轴的垂线并延长，与45°分角线相交并旋转90°向上引铅垂线，该铅垂线与OY_W轴相交，交点即为点e″，如图2．1．5（b）所示。

【例3】　已知点A的坐标为A（20，15，10），求其三面投影。

作图步骤：根据已知条件，点A的三个坐标分别为X＝20，Y＝15，Z＝10，由点的三面投影与点的坐标之间的关系可得a（20，15），a′（20，10），a″（15，10），从而可作点的三面投影。

（1）面投影轴。

（2）在OX轴上截取Oa_x＝20，得点a_x；在OZ轴上截取Oa_z＝10，得点a_z；在OY_H上截取Oa_yH＝15，得点a_yH。

（3）过点a_x作OX轴的垂线，再过点a_z、a_yH作OX轴的平行线，此平行线与OX轴的垂直线相交，交点即为a′、a。

（4）延长aa_yH，与45°分角线相交并旋转90°向上引铅垂线，该铅垂线与过点a_z所作的平行线相交，交点即为点a″，如图2．1．6所示。

图2．1．6　已知点的坐标求三面投影