投影的基本性质

2.2　投影的基本性质

研究投影的基本性质，主要是要弄清楚空间几何元素本身与其投影之间的规律：哪些空间几何元素的几何特征在投影图上保持不变，哪些发生了变化以及是如何变化的。

2.2.1　中心投影与平行投影的共性

无论是中心投影法还是平行投影法，都具有如下的特性。

（1）具备产生投影必需的三个要素：投射中心S或投射线、投影面P、空间几何元素。

（2）由于通过空间点的投射线与投影面的交点只有一个，因此当投射中心（或投影方向）和投影面确定了以后，空间几何元素在该投影面上的投影是唯一的。例如图2－3中的点A、B、C分别有唯一的投影a、b、c。

（3）若只知道空间几何元素的一个投影，不能确定该空间几何元素在空间的位置或形状。如图2－4（a）中位于同一条投射线Sa上的点A₁、A₂、A_n，它们的投影都在同一点a上，因为空间一点在某一投射线上移动，不论该点到投影面的距离怎样，该点在该投影面上的投影位置不变，其投影均在该投射线与投影面的交点上。又如图2－4（b）中的两空间形状不同形体在投影面P上的投影却相同，可见只知道在投影面P上的一个投影，不能确定其空间形状。

图2－4　一个投影不能确定空间几何元素的位置或形状

2.2.2　平行投影的特性

在工程制图中，最常使用的是平行投影法，平行投影具有如下特性。

1.实形性（或度量性）

当线段或平面图形平行于投影面时，线段在该投影面上的投影反映其实长，平面图形在该投影面上的投影反映其实形，这种性质称为实形性；且线段的长短和平面图形的形状和大小，都可以从平行投影中直接确定和度量，故又称度量性，如图2－5（a）、（b）所示。这种反映线段或平面图形实长或实形的平行投影，称为实形投影。

图2－5　平行投影的特性（一）

2.类似性（或相仿性）

当线段或平面图形倾斜于投影面时，其正投影小于其实长或实形，其斜投影则可能小于、等于或大于其实长、实形；但无论是何种平行投影，线段或平面图形的投影仍保留其空间几何形状，即直线段仍为直线段，三角形仍为三角形，五边形仍为五边形，但长度和大小发生变化，这种性质称为类似性或相仿性，如图2－5（c）、（d）所示。这种反映线段或平面图形类似形状的平行投影，称为相仿投影。

3.积聚性

当线段或平面图形平行于投射线（对于正投影则垂直于投影面）时，其平行投影积聚为一点或一线段，这种性质称为积聚性，如图2－6（a）、（b）所示。这种具有积聚性质的投影称为积聚投影。

图2－6　平行投影的特性（二）

4.平行性

（1）空间相互平行的两线段，在同一投影面上的投影也保持平行，这种性质称为平行性，如图2－6（c）所示，由于AB∥CD，则过AB和CD的投射平面ABba和CDdc平行，这两平行平面与第三平面（投影面P）相交的交线必然平行，即ab∥cd。

（2）空间一线段或一平面图形，经过平行移动之后，它们在同一投影面上的投影，虽然位置发生了变化，但其形状和大小仍然保持不变，这种性质也称为平行性，如图2－6（c）、（d）所示。

5.从属性

属于线段的点或属于平面的线段，其投影仍属于该线段或该平面的同面投影，这种性质称为从属性。如图2－7（a）所示，点C属于线段AB，则其投影c仍属于线段的投影ab；如图2－7（b）所示，线段MK、MN属于平面ABC，则其投影mk、mn仍属于平面的投影abc。

图2－7　平行投影的特性（三）

6.定比性

（1）线段上的点将其划分为两段，两线段的空间长度之比等于其同面投影长度之比，这种性质称为定比性，如图2－7（a）中的点C将线段AB分为两线段，则有AC∶CB＝ac∶cb。

（2）两平行线段的空间长度之比，等于其同面投影长度之比，这种性质也称为定比性，如图2－6（c）中的AB∥CD，则有AB∶CD＝ab∶cd。