晶面符号和晶棱符号

1.4.4　晶体定向、晶面符号和晶棱符号

讨论晶体的性质时，常常会用(100)，(010)，(001)…或者［110］，［－110］…或者{001}，{100}…这样几种被小括号、中括号、大括号括起来的三到四个阿拉伯数字所组成的符号。在这三种符号中，小括号及括起来的几个阿拉伯数字称为晶面符号，中括号及括起来的几个阿拉伯数字称为晶棱符号(晶带符号)，大括号及括起来的几个阿拉伯数字称为单形符号。这些符号分别代表了晶体的某一晶面、某一晶棱、某一单形在三维空间所处的方位。进而运用此类简单的符号来描述它们所具有的性质。

具体地确定这些符号，在晶体几何学中采用和解析几何学中相同的方法，即选择晶体的坐标系统(亦谓晶体定向)，然后确定晶面、单形、晶棱与坐标系的关系，再以一定的符号把它们在坐标系中的位置表述出来。

1.晶体定向和晶体常数

晶体定向就是选择晶体的坐标系，亦即选择坐标轴x、y、z(x、y、z亦称晶轴)，确定晶轴的单位长之比a∶b∶c。进行晶体定向时，为了定向简便以及定向后所引出的晶面符号简单明了，确定了晶体定向的如下原则:晶轴要互相垂直或尽量垂直，轴单位要彼此相等或近等。

可以发现，晶体的对称轴或对称面的法线往往符合上述原则。当晶体的对称型确定以后，则可尽量先利用对称轴，特别是高、中级晶族中的高次对称轴作为晶轴，在对称轴不足时可选择对称面的法线方向(亦为行列)作为晶轴，如果晶体的对称面亦不足，则可选用交角近90°的晶棱方向作为晶轴。在这里，之所以尽量先采用对称要素作为晶轴，是因为晶体中某一单形的每一个晶面和对称要素的关系是等效的。

图1.18　晶轴、轴角、轴单位

如图1.18所示，所选择的晶轴是互相垂直的，x⊥y⊥z，它们之间的夹角——轴角α=β=γ= 90°，晶轴x、y、z的交点，即坐标系的原点位于晶体中心。z轴直立，y轴东西向平行于读者，x轴垂直于读者。

根据选轴原则，选择对称轴、对称面法线或晶棱方向作为晶轴。这些方向实际上都是晶体内部构造中的行列方向，所以晶轴x、y、z上的轴单位长度，实际上为该方向行列的结点间距。在晶体定向工作中，把作为晶轴的行列上的结点间距称之为轴单位。x轴上的轴单位以“a”示，y轴上的a单位以“b”示，z轴上的a单位以“c”示。轴单位之比a∶b∶c又称为轴率。

晶体定向后所产生的轴角α、β、γ和轴率a∶b∶c统称为晶体常数。

晶体定向后，一方面为确定晶面符号、单形符号、晶棱符号做好了准备，另一方面，晶体定向后所产生的晶体常数因晶体不同而异，所以晶体常数又是鉴别晶体的重要依据。晶体常数源于晶体的对称特点及晶体的内部构造，所以，晶体常数本身是判别晶体外部形态及内部构造对称程度高低的重要数据。

如属三斜晶系的斜长石系列的矿物钠长石(NaAlSi₃ O₈)是一种硅酸盐工业原料，它的晶体常数α= 94°03'，β=116°29'，γ=88°09'; a∶b∶c=0.6335∶1∶0.5577。

属单斜晶系的正长石系列的矿物钾长石(KAlSi₃ O₈)也是硅酸盐工业原料，其晶体常数α=γ= 90°，β=116°03'; a∶b∶c= 0.6585∶1∶0.5554。

又如钛酸钡电容器陶瓷中的主要晶体钛酸钡(BaTiO₃)在0～120^o C的稳定相属四方晶系，晶体常数α=β=γ=90°，a= b=4.00，c=4.03。其120°C以上的稳定相属等轴晶系，晶体常数α=β=γ= 90°，a= b= c=4.00。

不同的晶体具有不同的晶体常数，但晶体定向、晶体常数又按其所属的晶系，存在着如表1.6所列的一定的规律性。

表1.6　各晶系晶体定向及晶体常数

图1.19　HKL晶面与晶轴x、y、z的交截情况

2．整数定律、晶面符号和单形符号

晶体定向以后，晶面在三维空间的方位就由晶面和晶轴的交截情况反映出来。如图1.19所示，晶面HKL和x、y、z轴分别交于H、K、L处，晶面与三个晶轴的截距为OH，OK，OL，可令OH= pa，OK= qb，OL= rc，这里p、q、r称为截距系数。就晶面HKL而言，p=2，q=2，r= 3。

1774年，法国学者阿羽依总结出了整数定律，其内容为:晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比。意即对任何晶体而言，p∶q∶r皆为简单的整数比。

这条定律很容易理解:晶面是晶体的外露面网，晶轴是行列，晶面与晶轴交截处必是结点所处的位置，所以截距系数必是结点间距的整数倍。晶面是面网密度大的面网(如所谓单位面，截距系数p∶q∶r=1∶1∶1)，既如此，晶面在晶轴上的截距系数越近等，其比值则越简单。

在整数定律的基础上，1847年W.H.米勒尔发明了表述晶面在三维空间方位的符号——晶面符号(亦称米氏符号)。这种符号是基于“既然晶面在晶轴上的截距系数之比为简单整数比，那么截距系数倒数之比亦定为简单整数比”的道理发明的。

以公式表达之，= h∶k∶l，h∶k∶l为简单整数比。

h、k、l又称为晶面指数。h、k、l所代表的具体数字化简后按一定的顺序在小括号中写出，就成为晶面符号了。(hkl)是晶面符号的一般式。

在图1.19中，== 3∶3∶2，则晶面HKL的符号为(332)。显然，晶面在某晶轴上的截距系数越大，则晶面符号中对应的晶面指数越小。如果晶面平行于某一晶轴，则对应的晶面指数就为= 0，此时方显得米氏符号之简便。

截距系数以坐标系原点分界，交于x轴的前端、y轴的右端、z轴的上端令为正值;相反方向则为负值。因此所对应产生的晶面指数亦据此确定正、负。在晶面符号中，晶面指数为负时，负号写于该指数的上端。如图1.20所示立方体六个晶面的晶面符号。

像在立方体这样的单形晶体中，每个晶面符号中所不同的只是三个晶面指数的顺序和正负。在立方体中，六个晶面符号都由两个“0”和一个“1”组成。这说明，同一单形中的各个晶面与晶轴之间有相同的相对位置关系。在立方体中，六个晶面均和两个晶轴平行和另一晶轴直交，且直交后的截距系数绝对值相等。因此，人们从各种单形中，选择出靠x轴的前、右、上方的晶面，将其晶面符号中的指数改用大括号括起来，用以代表整个单形，称之为单形符号，简称形号。如立方体的形号为{100}。在单形符号{hkl}中，存在着h≥k≥l的关系。

同一单形符号可代表不同晶系中的单形。如{100}既是等轴晶系立方体的形号，又是四方晶系四方柱的形号。此外，晶体定向时，由于不同作者的晶轴选择有所不同，造成了同一单形在不同文章中会有不同的形号出现。如四方柱的对称型为L⁴，当选择对面中心连线的3L²为x、y轴时，四方柱形号应为{100}，当选择对棱中心连线的3L²为x、y轴时，则四方柱的形号为{110}。

图1.20　立方体六个晶面符号

图1.21　三六方晶系晶体定向

对于三方和六方晶系晶体，如仍按上述选取三个坐标轴进行定向，会产生同一单形的各个晶面与晶轴的相对位置关系不同的情况。如图1.21所示，若按图1.21(a)的方法定向，六方柱单形中的晶面I，符号为(h00)，晶面II，符号为(hk0)，显然，这对于选定该单形的形号是不利的。因此，根据三方、六方晶系的对称特点，当前大量应用的是图1.21(b)所示的布拉维四轴定向法，其中以L³、L⁶或L³⁶为z轴，以垂直于z轴的正向交角为120°的3L²为x、y、u轴，如果没有L²，则选用对称面的法线或晶棱方向。其中z轴直立，上正下负; x轴斜向读者左方，前正后负; y轴东西向平行于读者，右正左负; u轴斜向于读者右方，后正前负(正负均以坐标系原点分界)。这样，x、y、u轴的正向交角是为120°。四轴定向后，晶面符号中将产生四个晶面指数。如图1.21(b)中，晶面I的符号为(101)，晶面Ⅱ的符号为(110)。三方、六方晶系的晶面符号中前三个晶面指数之和等于零。若以三方、六方晶系晶面符号一般式(hkil)表示，即h+ k+ i= 0。

3.晶棱符号

近代物理学的发展，特别是单晶体的物理性质应用中，常常应用单晶体某一个方向所具有的独特性能。单晶体某方向的独特性能，往往平行于晶体的某一个晶棱方向，所以这个方向通常用晶棱符号表述出来。如单晶体氧化碲［110］方向传播的切变波具有小的声速，该波的振动方向为［110］，用中括号括起几个阿拉伯数字就是晶棱符号。

晶棱是晶面的交线，从晶体的格子构造观点看，晶棱是外露于晶体的结点密度大的行列。因此，晶棱方向即晶体内部所有平行于晶棱的行列方向。平行于晶棱的所有行列，其结点密度必定等同，构造单位在这些平行的行列上的配布无疑也是同样的。

图1.22　晶棱符号图解

如图1.22所示，晶体定向以后，将欲确定符号的晶棱平移至和坐标原点相交，然后在晶棱上任取一点，这一点的坐标设为ra、sb、tc，以三个晶轴的单位长分别度量该点的坐标并化简，得= r∶s∶t。将r、s、t以中括号按顺序括起来，则得晶棱符号(的一般式)［rst］。

如果在晶棱上任取的一点位于原点另一侧，则晶棱符号变成。因此，每一条晶棱可有指数绝对值相等但正负号完全相反的两个符号。