特殊比例矩形的分割与转换

（五）特殊比例矩形的分割与转换

现代机械加工技术的支持，使得矩形成为产品形态设计中最常用的形体，由于有些矩形长短边具有特殊的比例关系，从而形成优雅的视觉效果，如黄金矩形、比例矩形、F矩形等，而且它们之间存在完美的几何转换关系，使得它们成为产品形态设计中的协调因子之一，这里将重点介绍。

1.形态协调因子分类

固定比例包括：正方形、1.382矩形、F矩形、φ-1矩形等，它们都是在特殊矩形相互转换过程中派生出来的，由于这些矩形与黄金矩形、均方根矩形之间有几何互补关系，由这些矩形形成的形态，也具有良好的视觉协调效果。系列比例矩形包括：黄金矩形、均方根矩形和模数比例矩形。黄金矩形和均方根矩形自身能生成一系列的同比矩形，形成整体的协调效果，而模数比例矩形是由多个综合比例矩形组成的，这些矩形包括系列矩形和固定矩形，通过红、蓝尺度协调统一，同样能达到优雅、协调统一的视觉效果，我们称这种方法为混合比例法。

2.固定比例矩形

（1）整数比例矩形

整数比例是以具有肯定外形的正方形为基础，派生出来的一种比例。一个正方形边长比率为1∶1，两个正方形连接的二元长方形，相邻边比率为1∶2。这种二元或多元长方形由于组成的基础形状为具有肯定外形的正方形，因而形成的长方形也具有比较肯定的外形，它的外形比例可派生出1∶1、1∶2、1∶3、1∶4等系列整数比例的矩形图形，见图2.41。

图2.41

整数比的成形可以是整数比的简单配合，也可以是分数形式的配合。整数比的优点是容易产生符合有韵律布置形态因素的配合，但因构成矩形边之比为整数关系，故显得较为呆板。

（2）φ-1矩形

当矩形的长宽比是1∶0.618时，称矩形为φ-1矩形。φ-1矩形是黄金矩形的倒数矩形，在视觉上也能产生类似黄金矩形的感觉，它又是矩形的派生矩形，在产品形体转换中，经常会用到。

从正方形中获得φ-1矩形，方法如图2.42所示。

以正方形ABCD为原形，连接边长DC中点E与B点；以EC为半径，以E点为圆心，画圆弧，交于BE对角线于F点；

以B点为圆心，以BF为半径，画圆弧，交于AB于G点；

过G点作水平线GH，矩形GBCH即为正方形内割黄金矩形，这种黄金矩形又称0.618矩形或1/φ（φ-1）矩形。

图2.42

（3）1.382矩形

该矩形是由1∶1.382比例构成矩形长宽比例的矩形。由于该矩形比例比较接近，因此，具有类似根号矩形的比例关系，具有良好的视觉效果，在产品形态设计中应用较广，在形体转换中会经常使用。

（4）F矩形

该矩形是由1∶1.236比例构成长宽比例的矩形。由于该矩形比例比较接近正方形比例，因此具有类似整数矩形的良好比例关系，在产品形态设计及形体转换中会经常用到。

3.系列比例矩形

（1）黄金矩形

黄金矩形的两边长度之比为1∶1.618，通过外延正方形，可以获得黄金矩形，方法如图2.43所示。

以正方形ABCD为原形，以一周边BC的中点E为圆心，作1/2正方矩形的对角线ED，以ED为半径画圆弧，与BC的延长线相交于G点，过G点作BG的垂直线GH，矩形ABGH即为外延黄金矩形，也称1.618矩形或φ矩形。

图2.43

黄金矩形具有一个特征，即每个黄金矩形可以分割出一个正方形和一个缩小的黄金矩形，而这个黄金矩形又可分割出一个更小的正方形和一个更小的黄金矩形，依次可以分割出无数个同比例的黄金矩形和正方形，从而形成一种具有制约格局动态均衡美。如果依次用各个正方形的边长为半径，以正方形顶点为圆心，通过圆弧相连接，可以形成一个特殊的涡线，在趋近消失点的地方形成矩形的涡眼，这在人的视觉上形成韵律美感，称作黄金涡线。这是因为，当人的双眼重叠的视域简化为矩形时，这个矩形刚好与黄金矩形相似。以涡眼作为人的水平视点时，最能产生舒适感，正好与人眼有重心偏高的视觉习惯相吻合，这正是人们对黄金比具有极大兴趣的原因，按照这种方法可以获得无数个相同比例的矩形，这在产品形态设计中，具有很高的使用价值。

（2）根号比例矩形

根号比例矩形相邻两边长度的比为，当n为2时，即为均方根矩形，见图2.44。根号比例矩形可以正方形对角线为半径，以正方形一顶点为圆心，画圆弧交于水平边，过这一点作水平线及垂线所形成的矩形为矩形。同理，以矩形的对角线为半径，以原正方形顶点为圆心，画圆弧交于水平边于一点，过这一点作水平线及直线，所形成的矩形即为矩形，依次以其新产生矩形对角线为半径，以原正方形顶点为圆心，画圆弧与正方形水平边相交，形成多个无理矩形，其边长比例关系为等，即可求得系列根号矩形。

图2.44

均方根矩形是一个非常有用的矩形。因为各个矩形之间保持着相互制约的比例关系，使用相同均方根矩形进行产品形态设计，各个部分可以获得调和统一的效果。和黄金矩形一样，将矩形对折，依次分下去，可连续分割成横竖相连接的矩形，形成动态均衡的渐变分割。如果说正方形给人端正稳重的感觉，那么矩形就富有健壮的气魄，矩形则偏重俊俏。众所周知，矩形正好为两个正方形。以正方形的对角线为矩形的长边，可依次获得系列均方根矩形，由于均方根矩形之间有一个相同的约束条件，因此，运用各种均方根矩形进行混合组合，或者将一矩形分割成各个混合均方根矩形，都能产生丰富、整齐、严谨的数理形态美感，这种比例比较符合人的视觉习惯，均方根矩形能产生系列比率美，在系列产品形态设计中使用较广泛。

（3）模度理论

模度理论是产品形态设计中的另一种理论，它是以人机工程学为基础的。这种理论从人体尺度出发，选定人的下垂手臂、脐、头顶、上伸手臂指尖四个部位的尺寸为控制点，这四个尺寸分别为86厘米，113厘米，183厘米，226厘米。这些数值之间分别具有黄金比例关系（70∶113=1∶1.618）、根号关系、费波纳齐比例关系（27∶43∶70∶113∶183）、整数比例关系（113∶226=1∶2），运用上述四个控制点，插入相应的数值，便可获得蓝尺和红尺两套费波纳齐比例数值，见图2.45。其实，模数理论得到的矩形，就是前面谈到的具有特殊比例的矩形，这些矩形都具有“动态均衡”旋转矩形的魅力，而且，这些矩形之间不需通过数学运算，通过几何形式就可以相互转换，形成整体美。

图2.45

运用这套数值设计产品的各个部件，能适应人的各种姿态的要求，利用红蓝尺重合的尺寸，可以构成横、纵向坐标，可构成系列正方形和矩形，成为“模数”，利用这种模数设计产品各基本单元，既可以统一产品各基本单元，又可提高人与产品各部件之间的协调性，在形式上可创造出多个既多样化又协调统一的比例，同时，也可用最少的基本数值创造出更多的形体组合。这种设计方法，使得设计变得极为简单、快捷。

模数法则就是利用对角线的平行或垂直的矩形具有相似比例的特点来分割形体的。它体现了模度理论中各模块之间的内在和谐统一的美感，从而达到整体的和谐美感。图2.46是一组尺寸相同、有不同分割的三个电冰箱主立面，图2.46（a）是一个两门电冰箱，电冰箱上下矩形相对的对角线相互垂直，使得电冰箱被分割的上下矩形具有相似的比例，从而产生和谐感；图2.46（b）中三门电冰箱的上下门大小一致，使得电冰箱上下矩形的对角线相互平行，由于中间矩形的对角线与整体矩形的对角线垂直，因此，也能保证中间的矩形与整体矩形的比例一致，产生统一协调美感；图2.46（c）中的电冰箱，上下矩形对角线相互平行，但中间矩形的对角线与两相邻矩形的对角线既不平行，又不垂直，所以这款三门电冰箱显得比较杂乱，没有良好的比例关系，缺乏协调美感。

图2.46

4.特殊矩形分割与转换

产品形态设计主要有两个方法：一是产品形态的分割方法，二是产品形态的组合方法。在产品结构设计中，我们将介绍产品的组合法则，这里主要介绍产品形态设计中常用的矩形转换的关系。分割是产品组合设计的逆向设计。当产品形态呈整体壳状时，会显得比较呆板，可以依据设计法则或功能要求，将产品外形通过凸凹、虚实分割成多个小单元空间，这样能使产品整体形态呈现出层次感、空间立体感。因为各个功能单元或构件都是构成产品整体的基本元素，不管它们是否能实现产品分功能的角色，其都是构成产品的基本单元，只不过有时产品的结构分割与产品的功能单元重合，此时基本单元就同时担任着双重角色。有时，产品的结构分割单元划分与产品的功能单元不吻合，这时可以通过设计法则协调产品整体形态，使得平面具有层次感。

分割按不同的设计对象，分为线分割、面分割和体分割。线分割确定线段的比例关系；面分割将产品某个面以一定数比关系或不同的面积区域划分，使之在结构线形、色彩面积或位置安排等方面获得比例美；体分割即为从三维空间尺寸上，综合三个立面的分割，从而获得产品整体构成美感。由于面分割是分割的基础，具有代表性，这里主要介绍面分割和矩形转换方法，通过面分割与转换可以推测出线和体分割与转换方法。

要获得协调的产品总体形态构成，可以通过综合运用组合和分割的设计法则，进行产品形态设计。这里介绍几种常用的几何面分割与转换方法，这些几何面即是构成产品形态的基础，同时又是协调产品整体的构成、提高产品的工作效率因子，可达到美化产品的效果。这种方法是工业产品形态设计中的一种重要设计方法。

在产品形态设计中，人们常采用最稳定的图形（正方形、均方根矩形、黄金矩形、F矩形）作为基本图形。一方面，这些图形便于加工，另一方面，它们之间具有良好的转化关系，形成的功能构件或产品构件在形体上具有一定的数比关系，可以达到产品整体动静结合、相互呼应协调的艺术效果。

面分割方式在壳体和框架类型的产品形态设计中应用较广，如仪器仪表的面板设计、驾驶室的控制面板的设计、电梯面板设计、手机面板设计、工艺安装面板设计等。

（1）正方形的分割

正方形是一个非常肯定的图形，具有稳定的空间感，但当产品形体呈这种形态时会显得比较呆板，在设计中往往通过其内部分割，细分出具有其他特征比例的矩形，以增加产品整体形体的活跃气氛和动感。

①正方形转换为根号矩形和整数矩形，方法如图2.47所示。

图2.47（a），将正方形通过中垂线上、下分割或左、右分割，得到两个矩形。

图2.47（b），过正方形中垂线上端点，连接正方形左角点，与正方形对角线相交，过交点作水平线和垂线，可将正方形分割成两个大小不一的正方形和两个矩形。

图2.47（c），过正方形对角线与两个中点连线的交点，作水平线或垂线，可将正方形分割出一个矩形。

图2.47

②正方形转换为黄金矩形、矩形和0.382矩形，方法如图2.48所示。

图2.48（a），作正方形对角线DB，作正方形AD边中点E与正方形顶点C的连线，作∠ECB的角平分线，交AB边于F点，并与DB线交于O点，过O点作垂直线交AB于I点。此时，FJ垂线将正方形分割为一个0.382矩形和一个φ矩形，GH水平线将正方形分割为两个φ矩形，一个正方形。

图2.48（b），作正方形顶点D和BC边中点E的连线，以E点为圆心、EC为半径画圆弧，交DE线于O点，以D点为圆心、DO为半径画圆弧，交AD边于F点，过F点作AB边的平行线FG，FG线将正方形分割为一个0.382矩形和一个φ矩形；以A点为圆心、AF为半径画圆弧，交AB边于H点，过H点作AB边的垂直线，交FG线于O₁点，FG和HO₁线将正方形分割为两个φ矩形和一个0.382矩形。

图2.48

图2.48（c），作正方形对角线DB，以正方形顶点D为圆心、AD边为半径画圆弧，交DB线于O₁点，过O₁点作水平线，与正方形分别交于E点和F点，EF线将正方形分割出一个矩形。

在矩形中，作矩形对角线DF，与AC圆弧相交于O₂点，过O₂点作水平线，此水平线从正方形中分割出一个矩形。

作矩形对角线，与AC圆弧相交于O₃，过O₃点作水平线，此水平线从正方形中分割出一个矩形。依次类推，可以从正方形中获得一系列根号矩形。

③正方形转换为F矩形、黄金矩形、矩形，方法如图2.49所示。

图2.49（a），作正方形两对角线，并以B点为圆心，以边长AD为半径作圆弧，交于O₁点，过O₁点作水平线，过O₁、O₂点作两垂线，将正方形分割出两个与其相呼应的小正方形和两个矩形。

图2.49（b），过正方形边长AD的中点E点，连接C点，作∠ECB等分角线，FC与正方形中垂线GH相交于O点，过O点作水平线，将正方形分割成F矩形或者两个黄金φ矩形。

图2.49（c），作正方形两个横竖矩形的对角线，交于O点；过O点，作水平线GH，将正方形分割为1/5矩形。

图2.49

④正方形的其他分割方法，如图2.50所示。

图2.50（a）为S/2矩形对角线与S/2矩形对角线构成的分割比例。

图2.50（b）为S/3矩形对角线与S/3矩形对角线构成的分割比例。

图2.50（c）为2S/3矩形对角线与S/2矩形对角线构成的分割比例。

图2.50（d）为S/3矩形对角线与2S/3矩形对角线构成的分割比例。

图2.50（e）为2S/3矩形对角线与2S/3矩形对角线构成的分割比例。

图2.50（f）为S/3矩形对角线与S/3矩形对角线构成的分割比例。

图2.50

（2）矩形的分割

图2.51（a），矩形是以正方形边长为一边长，以正方形对角线为另一边长形成的矩形。

图2.51（b），不断地用矩形的中垂线与矩形的对角线相交，可获得多个矩形，形成一种动态均衡的渐变分割，从而获得整体协调构成。

图2.51

①矩形转换为正方形、矩形，方法如图2.52所示。

图2.52（a），在矩形中，以矩形高为边长，分割出正方形；同样，在右矩形中，以底边为正方形边长，继续分割出正方形。这样，原有的矩形就分割出两个比例正方形和一个与整体相呼应的矩形。

图2.52（b），过矩形对角线与从中分割出的正方形的垂线的交点，作水平线，可获得系列和矩形。

图2.52

②矩形转换为正方形、矩形，方法如图2.53所示。

图2.53（a），在矩形中截取正方形和小比例矩形，以矩形的短边为半径、以其中一端点为圆心画圆弧，与长边相交于一点，过此点作长边的垂线，可获得一个正方形和一个矩形。依此方法，在矩形中再截取一个正方形，此时，从原矩形中截取1个与原矩形相呼应的矩形和2个不同比例的正方形，或者是3个与原矩形相呼应的矩形和3个正方形。

图2.53（b），作矩形的对角线，与矩形中截取的正方形的垂线边相交于一点，过此交点作水平线，可截取3个矩形和2个矩形。依此方法，也可获得3个正方形和3个矩形。

图2.53

（3）黄金矩形的分割

①黄金矩形转换为正方形，方法如图2.54所示。

图2.54（a），黄金矩形也叫φ矩形，是以正方形ADFE中矩形的对角线GE为半径画弧，与DF延长线相交于C点，由一个正方形加一个纵向φ矩形构成一个大的φ矩形。

图2.54（b），作φ矩形对角线DB，截取正方形HGCB，作正方形对角线AE与BD相交于O点，过O点作水平线和垂直线，可将φ矩形分割出2个比例正方形和3个与整体图形相呼应的φ矩形。

图2.54

②黄金矩形转换为矩形、1.382矩形，方法如图2.55所示。

图2.55（a），作φ矩形的对角线DB，分别过顶点A、C作DB线的垂线，分别与DB线相交，过其中一交点O作水平线，可截取1个与整体图形相呼应的φ矩形、1个正方形和1个矩形。过交点O作垂线，可截取1个矩形和一组不同比例φ矩形。

图2.55（b），按以上方法，过两交点作垂线，可截取2个矩形和1个1.382矩形。过两交点作两水平线，可获得3个正方形、2个矩形和一组不同比例φ矩形。

图2.55

③黄金矩形转换为1.382矩形、矩形、正方形，方法如图2.56所示。

图2.56（a），作φ矩形对角线DB、AC，分别作过C点和A点垂直DB的直线CF、AE，过两垂点作水平线，过F点作垂线，将φ矩形分割出1个1.382矩形。

同理，过两垂点作两垂直线GH、IJ，连接两垂直线中点，与过E点的垂直线相交，可将φ矩形分割为4个矩形和2个正方形。

图2.56（b），作直角A的角平分线AE，再作∠EAB的角平分线AG，过E点作AG线的垂线EF，过F点作垂直线FM线，过FM、AG两线的交点，作水平线HI线，将AD线分割为比例。作φ矩形对角线DB，过对角线DB与水平线HI交点作垂直线JK，J点将AB线分割为比例。

图2.56

（4）F矩形的分割

①F矩形转换为φ矩形，方法如图2.57所示。

图2.57

图2.57（a），连接GD线中点E和C点，作∠ECH的角平分线CF，与GH中垂线IJ交于O点，过O点作水平线AB，矩形ADCB即为F矩形。

图2.57（b），分别作F矩形对角线交于O点，过O点作垂直线，将F矩形分割为2个φ矩形。过O点作水平线GO，将F矩形分割为2个F矩形和1个φ矩形。

图2.57（c），分别作F矩形对角线交于O点，过O点分别作水平线和垂直线，将F矩形分割为4个F矩形；同理，继续分割其中的F矩形，可以得到4个更小的F矩形。纵向合并2个F矩形，可以得到1个φ矩形。

②F矩形转换为正方形、黄金矩形、矩形，方法如图2.58所示。

图2.58（a），作F矩形对角线DB，以BC为半径画弧与其交于M点，过M点作垂线，与AB交于K点，连接KC两点，与F矩形中垂线EF相交于O₁点，过O₁点作水平线O₁G；过A点作KC的平行线AN，与EF线交于O₂点，过O₂点作水平线IO₁，将F矩形分割为2个φ矩形和2个正方形。

图2.58（b），以BC为半径、C点为圆心画弧，交DC线于F点，过F点作垂线，与AB交于E点，连接E、C两点，与F矩形中垂线HG相交于O点，过O点作水平线和垂直线，可将F矩形分割为2个φ矩形和1个矩形。将HG延长，可获得2个小φ矩形和2个S正方形。

图2.58（c），以BC为半径、C点为圆心画圆弧与DC交于F点，过F点作垂线，与AB交于E点，连接E、C两点，与F矩形的平分线HG相交于O点，过A点作EC的平行线交HG线于O₁点，分别过O、O₁点作水平线OM、O₁K，O₁K与EC交于O₂点，过O₂点作垂直线与OM线交于I点，可将F矩形分割为系列比例φ矩形和1个正方形。

图2.58

③F矩形转换为黄金矩形、矩形，方法如图2.59所示。

图2.59（a），以C点为圆心、BC为半径画圆弧，与DC交于E点，连接EB，与F矩形中分线HG相交于O点，过O点作CO的延长线与AD交于I点，过I点作水平线，可从F矩形中分割出1个φ矩形。

图2.59（b），以C点为圆心、BC为半径画圆弧，与DC交于E点，连接EB，过E点作垂直线O₁E，过O点作水平线，将F矩形分割为2个矩形和1个矩形。

图2.59（c），以B点为圆心、BC为半径画圆弧，与AB交于E点，连接EC，与F矩形纵中分线HD交于O点，过O点作水平线FI，连接FC与F矩形水平中分线交于O₁点，过O₁点作水平线，将F矩形分割为1个矩形、2个φ矩形。

图2.59

④F矩形转换为正方形、矩形、矩形，方法如图2.60所示。

图2.60（a)，作F矩形对角线AC，过D点作AC垂直线ED，交AC于O点，过E点作垂直线，交DC边于F点，EF线将F矩形分割为1个矩形和1个与总体相呼应的F矩形。

图2.60（b），作F矩形对角线AC，过D点作AC的垂直线，过垂点O作水平线IJ和垂直线HG，过E点作垂直线交于IJ线于F点，此时，HG线、IJ线和EF线将F矩形分割为4个比例F矩形和1个正方形。

图2.60（c），作F矩形对角线AC，以A点为圆心、AD边为半径画圆弧，交AB边于F点，过F点作垂直线，交DC边于E点，连接AE，过AE线与DF圆弧的交点O作水平线GH，连接GF两点，GF线与AE连线相交于O₁点，过O₁点作水平线IJ，IJ线与AF线中垂线MN分别将F矩形从纵向和横向分割为矩形。

图2.60

案例2-3：混合比例分割设计（手机形态分割设计）

如图2.61所示，该手机具有高精度摄像和电话两大功能，设计风格采用了形态简洁、严谨的几何形，外形上需要强调其功能性。手机在关合时，整体外轮廓呈φ矩形，将摄像头固定在转角处，此时手机需要通过区域分割来强调功能性。根据手机内部结构需求，并规整几何尺寸，将φ矩形比例分割成矩形和F矩形，由于F矩形、均方根矩形和φ矩形具有相互转换的肯定因素，即使整体一分为二，其仍然具有统一协调感。

图2.61

案例2-4：混合比例产品立面分割设计

在产品立面设计中，分割方法是一种非常有用的设计方法。例如，当产品整体仅由实体组成时，显得比较呆板，需要通过比例尺度、结构线形位置、装饰分隔线位置、面板的构图、色块划分等手法加以改善，图2.62是仪器柜正立面，希望通过分割获得色彩分割线位置。

仪器柜由上下两实体矩形组成，上部是一个正方形的显示屏，下部仪器柜正立面是一个F矩形，设计要求将两实体用色彩分割方式上下分色，上浅下深，以增强色彩变化和稳定感。由总体布局形式决定该仪器柜上下部尺寸比例接近F矩形，上部为一个正方形。按上述两形体组合关系，可按F矩形和正方形的分割方法选择上下分割方案，设计了4种分割方案（见图2.62）。

图2.62

综合功能、结构等各方面的因素，下部采用方案3、上部采用方案2比较适应，因为上部正方形分割为一个F矩形，既与下部F矩形有协调对应关系，又与分色后的深色的φ矩形有呼应关系(F矩形由两个φ矩形组成)。因此，按此方案分色，既可获得稳定性和色彩变化所带来的活跃气氛，又达到了整体与各个局部形体结构之间比例协调统一的视觉效果。