关系运算中的连接运算

2.2.2　专门的关系运算

专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。

一、记号说明

（1）设关系模式为R(A₁，A₂，…，A_n)。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。t[A_i]则表示元组t中相应于属性A_i的一个分量。

（2）若A={A_il，A_i2，…，A_ik}，其中A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁，A₂，…，A_n中的一部分，则A称为属性列或域列。A则表示(A₁，A₂，…，A_n)中去掉{A_i1，A_i2，…，A_ik}后剩余的属性组。t[A]=(t[A_i1]，t[A_i2]，…，t[A_ik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

（3）R为n目关系，S为m目关系。t_r∈R，t_s∈R，为元组的连接(Concatenation)。它是一个(n+m)列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

（4）给定一个关系R(X，Z)，X和Z为属性组。我们定义，当t[X]=x时，x在R中的象集(Images Set)为：

Z_x={t[Z]t∈R，t[X]=x}

它表示R中属性组X上值为x的各个元组在Z上分量的集合。

二、专门的关系运算

（1）选择

选择运算（Selection）又称为限制运算（Restriction）。选择运算指在关系R中选择满足给定条件的元组，记为：

σ_F(R)={t|t∈R∧F(t)='真'}

其中，F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。

逻辑表达式F的基本形式为：

X₁θY₁

θ表示比较运算符，它可以是＞、≥、＜、≤、＝或≠。X₁、Y₁等是属性名或常量或简单函数。属性名也可以用它的序号来代替。

因此，选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算。例如，列出关系R中A＜5的元组，结果如图2-2所示。

图2-2

设有一个学生-课程关系数据库，包括学生关系、课程关系和选课关系。下面的例子将对这三个关系进行运算。

　　学生（学号，姓名，年龄，所在系）

　　课程（课程号，课程名，学分）

　　选课（学号，课程号，成绩）

例2-1　用关系代数表示在学生-课程数据库中查询信息系的全体学生的操作。

σ_{所在系='信息系'}(学生)

结果如图2-3（a）所示。

例2-2　用关系代数表示在学生-课程数据库中查询年龄小于20岁的学生的操作。

σ_年龄<20（学生）

结果如图2-3（b）所示。

（a）

（b）

图2-3　选择运算举例

（2）投影

投影运算是一种一元运算，它作用于一个关系。关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系，记为：

Π_A(R)={t[A]|t∈R}

其中，A为R中的属性列。例如，列出关系R在A、B上的投影，结果如图2-4所示。

图2-4

例2-3　查询学生的姓名和所在系，即求学生关系在姓名和所在系两个属性上的投影。

∏_{姓名,所在系}（学生）

结果如图2-5（a）所示。

例2-4　查询学生关系中都有哪些系，即求学生关系在所在系属性上的投影。

∏_所在系(学生)

结果如图2-5（b）所示。学生关系原来有四个元组，而投影结果取消了重复的信息系元组，因此只有三个元组。

（a）

（b）

图2-5　投影运算举例

（3）连接

连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的元组，记为：

其中，A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。连接运算从R和S的广义笛卡儿积R×S中选取（R关系）在A属性组的值与（S关系）在B属性组上的值满足比较关系的θ元组。如果当θ是等号“=”时，则称连接运算为等值运算，其他时候均称为不等值连接。

自然连接（Natural Join）是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。即若R和S具有相同的属性组，则自然连接可记为：

自然连接是同时从行和列的角度进行运算，是最有用的等值连接。以后若无特殊说明，连接均指自然连接。

例2-5　图2-6（a）和（b）分别为关系R和关系S，图（c）为的结果，图（d）为等值连接的结果，图（e）为自然连接的结果。

（4）除

除（Division）也是二元关系运算。给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Y_x包含S在Y上的投影的集合，记为：

R÷S={t_r[X]|t_r∈R∧Π_y(S)⊆Y_x}

其中，Y_x为x在R中的象集，x=t_r[X]。

除操作是同时从行和列角度进行运算的。

图2-6　连接运算举例

例2-6　设关系R和关系S分别为图2-7（a）和（b），则R÷S运算的结果如图2-7（c）所示。

图2-7　除运算的举例

在上述的传统集合运算和专门的关系运算中，并、差、笛卡儿积、选择和投影是关系代数中最基本的5种运算，其他一些算法都可以用这5种基本运算来表达。