风功率密度

二、风功率密度

风能是空气运动的动能，或每秒钟在面积F上从以速度V自由流动的空气中所获得的能量，即获得的功率W。它等于面积、速度与气流动压的乘积，即

式中　W——风能，W;

　ρ——空气密度，kg/m³;

　V——风速，m/s;

　F——面积，m²。

实际上，对于一个固定地点来说，空气密度为常数，当面积一定时，则风速是决定风能大小的关键因素。

风功率密度是气流垂直通过单位面积(风轮面积)的风能。它是表征一个地方风能大小的指标。因此在与风能公式相同的情况下，将风轮面积定为1m²(F=1m²)时，即得风功率密度ω(W/m²)为

衡量一个地方风能大小，要视常年平均风能的多少而定。由于风速是一个随机性很大的量，必须通过一定时间长度的观测来了解它的平均状况，因此，在一段时间(如一年)长度内可以将上式对时间积分后求平均，即

式中　平均风功率密度，W/m²;

　T——总时数，h。而当知道了在T时间长度内风速V的概率分布p(V)后，平均风功率密度便可计算出来。在研究了风速的统计特性后，风速分布p(V)可以用一定的概率分布形式来拟合，这样就大大简化了计算的过程。

1．空气密度

由风能公式可知，ρ的大小直接关系到风能的大小，特别是在高海拔的地区，影响更为突出。所以，计算一个地点的风功率密度，需要掌握的量是所计算时间区间内的空气密度和风速。在近地层中，空气密度ρ的量级为10⁰，而风速V³的量级为10²～10³。因此，在风能计算中，风速具有决定性的意义。另外，由于我国地形复杂，对空气密度的影响也必须加以考虑。空气密度ρ是气压、气温和水汽压的函数，其计算公式为

式中　p——气压，hPa;

　t——气温，℃;

　e——水汽压，hPa。

2．风速的统计特性

由于风的随机性很大，因此在判断一个地方的风况时，必须依靠各地区风的统计特性。在风能利用中，反映风的统计特性的一个重要形式是风速的频率分布。长期观察的结果表明，年度风速频率分布曲线最有代表性。为此，应该具有风速的连续记录，并且时间长度至少在3年以上，一般要求能达到5～10年。

风速频率分布一般为偏态，要想描述这样一个分布至少要有三个参数，即平均风速、频率离差系数和偏差系数。风速分布一般为正偏态分布，一般来说，风力愈大的地区，分布曲线愈平缓，峰值降低右移。这说明风力大的地区，一般大风速所占比例较大。如前所述，由于地理、气候特点的不同，各种风速所占的比例有所不同。

通常用于拟合风速分布的线形很多，有瑞利分布、对数正态分布、Γ分布、双参数威布尔分布、三参数威布尔分布等，也可用皮尔逊曲线进行拟合。但普遍认为，威布尔分布双参数曲线适用于风速统计描述的概率密度函数。

威布尔分布是一种单峰的两参数分布函数族。其概率密度函数可表达为

式中的k和c为威布尔分布的两个参数，其中k称做形状参数，c称做尺度参数。当c=1时，称为标准威布尔分布。形状参数k的改变对分布曲线形式有很大影响。当0＜k＜1时，分布的众数为0，威布尔分布密度为x的减函数;当k=1时，威布尔分布呈指数形;k=2时，便成为瑞利分布;k=3.5时，威布尔分布实际已很接近于正态分布了。

估计风速的威布尔分布参数有多种方法，依不同的风速统计资料进行选择。通常采用方法有三种:最小二乘法，即累积分布函数拟合威布尔分布曲线法;平均风速和标准偏差估计法;平均风速和最大风速估计法。根据国内外大量验算结果，上述方法中最小二乘法误差最大。在具体使用当中，前两种方法需要完整的风速观测资料，需要进行大量的统计工作;最后一种方法中的平均风速和最大风速可以从常规气象资料获得，因此，这种方法较前两种方法有优越性。

3．平均风功率密度

由式可知，ω为ρ和V两个随机变量的函数。对一地而言，空气密度ρ的变化可忽略不计，因此，ω的变化主要由V³随机变化所决定，这样ω的概率密度分布只取决于风速的概率分布特征，即

风速立方的数学期望为

可见，风速立方的分布仍然是一个威布尔分布，只不过它的形状参数变为3/k，尺度参数为c³。因此，只要我们确定了风速的威布尔分布两个参数c和k，风速的立方的平均值便可确定，平均风功率密度即

4．参数c和k的估计

估计风速的威布尔分布参数的方法有多种，根据可供使用的风速统计资料的不同情况可以作出不同的选择。

通常可采用的方法有累积分布函数拟合威布尔曲线方法(即最小二乘法);平均风速和标准偏差估计威布尔参数方法;平均风速和最大风速估计威布尔分布参数方法等。下面分别加以说明。

(1)用最小二乘法估计威布尔参数

根据风速的威布尔分布，风速小于V_g的累积概率(分布函数)为

取对数整理后，有

ln{－ln［1－p(V≤V_g)］}=klnV_g－klnc

令y=ln{－ln[1－p(v≤V_g)]}，x=lnV_g，a=－klnc，b=k，于是参数k和c可以由最小二乘法拟合y=a+bx得到。具体做法如下。

将观测到的风速出现范围划分成n个风速间隔:0～V₁，V₁～V₂，…，V_n－1～V_n。统计每个间隔中风速观测值出现的频率f₁，f₂，…，f_n和累积频率p₁=f₁，p₂=p₁+f₂，…，p_n=p_n－1+f_n。取变换

x_i=lnV_i

y_i=ln[－ln(1－p_i)]

并令

a=－klnc

b=k

因此，根据上式及上述风速累积频率观测资料，便可得到a、b的最小二乘法估计值:

由上可得

k=b

(2)根据平均风速和标准差s_i估计威布尔分布参数

由公式

可见，仅仅是k的函数。因此只要知道了分布的均值和方差便可求解k。由于直接用值

求解k比较困难，因此通常可用上式的近似关系式求解k，即

而得出

以平均风速估计μ，样本标准差s_V估计σ，即

式中　V_i——计算时段中每次的风速观测值，m/s;

　N——观测总次数。和s_V可以近似地由下式计算:

式中　V_j——各风速间隔的值，m/s，以该间隔中值代表该间隔平均值;

　n_j——各间隔的出现频数。

(3)用平均风速和最大风速估计威布尔分布参数

我国气象观测规范规定，最大风速指的是一日任意时间的10min最大风速值。设V_max为时间T内观测到的10min平均最大风速，显然它出现的概率为

对上式逆变换，得

因此，若已知V_max和

V，以V作为μ的估计值，由上式就能解出k。直接计算比较麻烦，而大量的观测表明，通常k值变动范围为1.0～2.6。此时≈0.90，于是得k的近似解为

c由下式求得:

考虑到V_max的抽样随机性很大，又有较大的年际变化，为了减小抽样随机性误差，在估计某地的平均风能潜力时，应根据和V_max的多年平均值(最好10年以上)来估计风速的威布尔参数，可有较好的代表性。

5．有效风功率密度

在有效风速范围(风力发电机组切入风速到切出风速之间的范围)内，设风速分布为p'(V)，风速立方的数学期望为:

可通过数值积分求得。因此有效风功率密度便可计算出来，即

确定了风速的威布尔分布两个参数c和k之后，在工作风速内，切入风速V₁到切出风速V₂，其有效平均风功率密度的计算公式为

式中　，积分号下为不完全Γ函数，可以通过数值积分求得。

式中　N——统计时段的总时间，h;

　V₁——风力发电机组的启动风速，m/s;

　V₂——风力发电机组的停机风速，m/s。

一般年风能可利用时间在2000h以上时，该地区可视为风能可利用区。

6．风能可利用时间

确定了风速的威布尔分布两个参数c和k之后，可得出风能可利用时间t，即时段N内出现有效风速(V₁≤V≤V₂)的小时数为

由上可知，只要给定了威布尔分布参数c和k之后，平均风功率密度、有效风功率密度和风能可利用小时数都可以方便地求得。另外，知道了分布参数c、k，风速的分布形式便给定了，具体风力发电机组设计的各个参数同样可以确定，而无须逐一查阅和重新统计所有的风速观测资料。这无疑给实际使用带来许多方便。一些研究结果还表明，威布尔分布不仅可用于拟合地面风速分布，也可用于拟合高层风速分布。其参数在近地层中随高度的变化很有规律。当已知一个高度风速的威布尔分布参数后，便不难根据这种规律求出近地层中任意高度风速的威布尔分布参数。这些特点使得用威布尔分布拟合风速频率分布较之用其他分布拟合更为方便。