平稳过程的功率谱密度

对于平稳过程，前面主要在时间域上对自相关函数的性质展开讨论，除了时间域描述外，还有等价的频率域描述，它们之间的联系就是傅立叶变换与逆变换。

若平稳过表示随机信号，则：的物理意义为平均功率。计算得，即X（t）的平均功率为Rx（0）。

下面讨论平均功率的谱表示。

设x（t）是平稳过程的样本函数，作截尾函数

等式两边都是随机变量，故同时取数学期望，此时左边就是平稳过程的平均功率，即

记称为功率谱密度，简称谱密度。于是

就是平稳过程的平均功率谱表示式。

功率谱密度SX（ω）是从频率域描述X（t）的统计规律的最重要的数字特征，上式的物理意义表示X（t）的平均功率关于频率的分布。

功率谱密度的性质

（1）SX（ω）是ω的实的、非负的、偶函数。

这是因为是ω的实的、非负的偶函数，故对其取期望，极限后仍是ω的实的、非负的偶函数。

（2）若是傅立叶变换对，即

它们被称为维纳－辛钦（Wiener-Khintchine）公式。

作傅立叶逆变换得，

此外，由于都是偶函数，所以利用欧拉（Euler）公式，维纳－辛钦公式还可以写成如下的形式：

维纳－辛钦公式也称为平稳过程自相关函数的谱表示式，它揭示了从时间域描述平稳过程X（t）的统计规律和从频率域描述X（t）的统计规律之间的联系。

表13.3.1列出了若干个自相关函数及其对应的谱密度。

表13.3.1　自相关函数与谱密度对照表

若平稳过程为，谱密度为，而在工程中，由于只在正的频率范围内进行测量，根据谱密度的偶函数性质，可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内，得到“单边功率谱”，记为GX（ω）动。即

例13.3.1　已知平稳过程的自相关函数为，求X（t）的谱密度。

例13.3.2　已知平稳过程的谱密度为，求的自相关函数。

根据例13.3.1及傅立叶变换的性质知，自相关函数。

也可以由，利用留数定理计算得到。

以上两例中的谱密度属于有理谱密度。有理谱密度的一般形式为

其中，且分母无实根。

例13.3.3　已知平稳过程的自相关函数为其中a，ω0。为正常数，求X（t）的谱密度。

即为表13.3.1第三栏。

设为平稳过程，均值为零，谱密度为正常数，即，称X（t）为白噪声过程。

由于白噪声过程有类似于白光的性质，其能量谱在各种频率上均匀分布，故而得名。又由于它的统计特性不随时间推移而改变，因此是平稳过程。但其相关函数在通常意义下的傅立叶逆变换不存在，于是，为了对白噪声过程进行频谱分析，引进δ函数的傅立叶变换。

δ数是单位冲激函数δ（t）的简称，它是一种广义函数。狄拉克最早给出了δ（t）的定义：

δ函数的基本性质：对任一在τ＝0连续的函数。

一般地，若函数f（τ）在连续，就有。

于是，可以得到以下傅立叶变换对：

即当自相关函数时，谱密度；当自相关函数时，对应谱密度。这说明白噪声过程的自相关函数为，即过程在时，是不相关的。

白噪声过程是一种理想化的数学模型，它的平均功率RX（0）是无限的。实际中，当噪声在比实际考虑的有用频带宽得多的范围内具有比较“平坦”的谱密度时，就将它近似当作白噪声来处理。

与白噪声相关的另一类称为带限白噪声，其谱密度的特点是仅在某些有限频率范围内取正常数。如低通白噪声，其谱密度定义为，相应的自相关函数为。

当。这说明低通白噪声是不相关的。

例13.3.4　已知平稳过程的自相关函数为，其中为正常数，求X（t）的谱密度。

例13.3.5　已知平稳过程的自相关函数为

求X（t）的谱密度。

设X（t）和Y（t）是两个平稳相关的随机过程，定义

为平稳过程X（t）和Y（t）的互谱密度。

互谱密度不再是ω的实的、非负的偶函数，其性质如下：

（1）互为共轨函数。

（2）在互相关函数绝对可积的条件下，有

（3）的实部是ω的偶函数，虚部是ω的奇函数。

（4）互谱密度与自谱密度之间成立不等式

证明略。

互谱密度不像自谱密度那样有明显的物理意义，引进这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳过程的相关性（比如，对具有零均值的平稳过程X（t）和Y（t）来说，等价于X（t）和Y（t）不相关）。在实际应用中，常常利用测定线性系统输入、输出的互谱密度来确定该系统的统计特性。