非匹配界面的处理

在方程（9.8）和方程（9.11）中，我们定义了B和C矩阵，导出了两种一般形式。在推导中，我们假设接口的自由度相互之间匹配，以便B和C矩阵的每个相关连接都是相同的。实际情况下，因为有限元模型是由不同开发人员单独开发的，接口之间通常是不匹配的，这是一个需要解决的重要问题，否则在实际工程设计中将无法应用黏合算法。处理非匹配界面可以借用许多成熟的技术，Mega-Solvor提出了一种处理非匹配接口的虚拟界面方法。

1）虚拟界面方法的概述

如图9.7所示，接口处理的原则可以总结为：

对于每对接口和，定义一对虚拟接口，表示为和，不管实际的接口是否匹配，虚拟接口均具有匹配的对接自由度。对每个与实际接口相对应的虚拟接口，利用插值法对载荷和运动进行转换，然后在虚拟接口之间使用黏合算法。

黏合算法用于虚拟接口之间，其运动是由真正接口的数据而产生的。在一般情况下，虚拟接口的自由度一定要小于或等于现实的接口自由度。如果虚拟接口的自由度比真正的接口自由度大，那么连接的黏合矩阵就会变为奇异或欠秩，因而无法使用黏合算法。下面进一步探讨界面上实际载荷和运动的传输。

2）界面上载荷和运动的传输

在有限元方法和无网格方法中，可以在有限数目的离散点上用插值来代表连续域中的数据，插值是形状函数的线性组合。如图9.8所示，实际接口处的位移，可以通过有限元网格表示为

式中，为连续位移域；M为自由度数目；为接口的形状函数；为接口节点的节点位移。

图9.7　接口处理的一般程序

图9.8　接口处理的插值法

与此类似，虚拟接口ΓVR的位移域可以表示为

式中，N为自由度数目；(i=1,2,…,N)为虚拟接口的形状函数。

需要注意的是，对于无网格近似法，我们可以仅仅把当作控制点的值来看待。从根本上讲，插值法就是为了寻找和之间的关系。

假设有一个合适的插值法，就能很容易地从虚拟接口把位移传输到真正的接口（这里，位移被当作运动信息的代表，但可以很容易地扩展到其他运动量）。传输关系被定义为

其中，uR={}，uV={}是真正接口和虚拟接口的相对位移向量。在虚拟接口被定义后，这种关系可以基于插值法轻易获取。在本研究中，要求插值应该是连续的，可以明确表示为

式中，L为连续插值矩阵。

真正接口和虚拟接口的力定义为fR和fV，则fR和fV的虚拟功可以写为

如果方程（9.37）和方程（9.38）中的虚拟功表达是相等的，即在传输中没有能量损失或获取，那么传输算法将保证接口的能量守恒。因此方程（9.37）和方程（9.38）有下述关系：

将方程（9.36）中的变量代入方程（9.39）中，有：

引入L的广义逆矩阵

方程（9.39）可写为

方程（9.42）是载荷从虚拟接口传输到真正的接口的方程，可以在T-T黏合算法中使用。

把方程（9.42）代入方程（9.38），或者利用方程（9.39）的伪逆形式，得到位移从实际接口传输到虚拟接口的方程如下：

方程（9.42）和方程（9.43）是用于T-T方法的载荷和运动传输公式，它在传输中保持了能量守恒和接口处力平衡。S是传输矩阵。应该指出的是，分析是起始于虚拟接口到实际接口的运动传输，而不是反向传输，这是因为虚拟接口上自由度数目通常比实际接口要小。

3）非匹配接口处理的T-T黏合算法

上述的非匹配接口的处理可以容易地纳入T-T黏合算法。

现设接口力向量F和位移向量U是虚拟接口的相应量，欲在其间施加黏合。传输矩阵用来组成装配矩阵，即Bi和Ci，如果所有接口利用上述算法处理，那么装配矩阵Bi和Ci变为

其中，和为物体i的运动和反作用接口相应的传输矩阵，而装配矩阵Bi和Ci变为

4）基于虚拟接口的移动最小二乘法

移动最小二乘法（MLS）是数据拟合的一种近似方法，因为它可以用来生成无网格法的形状函数，因而最近得到广泛研究。MLS的特点还有，可以算出用于曲线和曲面拟合问题的连续光滑近似，也可以通过增加或减少所能衍生的多项式顺序而轻易地控制近似的精确度。

基于MLS的虚拟接口具备一些独特的优势。首先，MLS提供了选择虚拟接口自由度数目的灵活性。由于T-T黏合算法的成本与接口自由度数目成正比，因此当接口反作用不重要的时候，就可以根据MLS的灵活性将黏合问题进行简化。其次，基于MLS的形状函数是不变的插值函数，即有再生常数域的能力，这是一个理想的特性，因而能保证接口处的力平衡。虚拟接口用有限元插值的缺点是，如果两个接口的网格没有适当定义，就可能导致插值矩阵L的奇异。使用基于MLS的虚拟接口，能够保证使真实接口的自由度smax大于虚拟接口的自由度dmax，以此来避免接口矩阵奇异的问题。

在MLS近似中，域(ux)近似为

式中，m为基函数（在此为多项式，即Pj的数目），(a)x为给定的系数向量。

任意x的函数都是由数据拟合过程确定的。P（x）是基函数向量。P（x）的通常选择是完整的多项式，其最高次数是由精确性要求来确定的。在一维空间中，P（x）可表示为

在二维空间中有：

在三维空间中有：

也可以利用其他基函数，例如三角函数、B-Spline等，选择由问题的性质所决定。

对于近似值u1,u2,…,un的域uh(x)，在控制点x1,x2,…,xn应用方程（9.46），有

通过最小化剩余

可得到系数向量a为

其中

并且

以及

把方程（9.52）代入方程（9.45）中得到：

其中

其中，k是多项式的项数。当k=0时，形状函数φ0是Shepard函数，可以写为

Shepard形状函数能够再生常数域。对于质量函数(wx)，有三种选择。

其中，，smax是支持半径。

为了组成基于MLS的虚拟接口，可以简单地遵循用于无网格方法的步骤。例如，对于一个二维问题，构造一个三角域并选择节点作为控制点，这在大多数情况下能够自动完成，然后可以将MLS形状函数构造在控制点上。接下来，代入实际接口的坐标点即产生方程（9.35）中的插值矩阵L，即将代入φk，有：

设dmax是实际接口上两个节点之间的最大距离，如果Smax大于dmax，虚拟接口的自由度数目不大于实际接口，那么L就是一个全秩矩阵，这样就可以避免前述提到的奇异问题。