问题解决思路和方法

66.“盈不足术”

如果有人出这样一道题：4个人合买一件12元的礼物。问每人应出多少钱？你会毫不费力地回答：每人应出3元。从代数的角度来看，这只不过是解方程4x＝12而已，非常简单。但令人惊奇的是，象px－q＝0这种简单的一次方程问题，在古代却要大费周折，用相当麻烦的办法来解决。

在中世纪的欧洲，为了解px－q＝0这种类型的问题，有时要用到所谓“双设法”，即通过两次假设以求未知数的方法。这种方法的大意是：设a₁和a₂是x值的两个猜测数，b₁和b₂是误差，这时有

（1）×a₂－（2）×a₁，得－q（a₂－a₁）＝a₂b₁－a₁b₂，

于是就求出了x的值。在代数学的符号系统发展起来之前，“双设法”是中世纪欧洲解决算术问题的一种主要方法，并得到广泛的应用。十三世纪著名的意大利数学家斐波那契，最早介绍了这种方法，并把它叫做“阿尔—契丹耶（el⁃chataym）”，这显然是阿拉伯语的音译。因为在11～13世纪，这种方法就引起了阿拉伯数学家的重视，并称之为“契丹算法”。另一方面，我们知道当时阿拉伯人所说的“契丹”，实际上就指的是中国。“契丹算法”就是“中国算法”。由此看来，“双设法”追本溯源应该来自中国，来自中国古代的“盈不足术”。正是我国早已有之的“盈不足术”很可能经由阿拉伯传入欧洲，在欧洲数学发展中起了重要的作用。

“盈不足”又称“盈朒（róu），是我国古代解决“盈亏类”问题的一种算术方法，“盈”就是“多”，“不足”就是“少”。我国古代数学名著《九章算术》里有一章就叫做“盈不足”，其中第一个问题是：“今有共买物，人出8，盈3；人出7，不足4。问人数、物价各几何？”这道题的题意是：现在有几个人合起来买东西。如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元。问人数和物价各是多少？《九章算术》给出了这个问题的一般解法，我们用现在的代数式来表示：设每人出a₁，盈（或不足）b₁；每人出a₂，盈（或不足）b₂。其中，在盈的情况下，b₁，b₂＞0，不足时，b₁，b₂＜0。于是，人数p或物价q可由下列公式计算出来：

在上述问题中，由这两个公式可得人数p＝7（人），物价q＝53（元）。

当然，应用我们学到的一次方程或二次方程等代数知识，很容易解决日常遇到的算术难题，不必多此一举地再用“盈不足术”了。但在高等数学范围内，有时还要用盈不足术推求高次数字方程或函数实根的近似值。