个数列求和公式

1．1．1 自然数数列求和公式

先来解释几个名词。

自然数，也叫正整数，就是1，2，3，4，5，…。

数列，是依照某一法则，依次序排列，使得对应于任何一个正整数n，有一个确定的数xn，那么，这列有次序的数x1，x2，x3，…，xn，…就称为数列。数列中的每一个数称为数列的项，第n项xn称为数列的通项。下面举几个数列的例子。

自然数数列: 1，2，3，…，n，…，通项为n。

奇数数列: 1，3，5，…，(2n-1)，…，通项为2n-1。

偶数数列: 2，4，6，…，2n，…，通项为2n。

公式，是用数学符号表示几个量之间的关系的式子，具有普遍性，适用于同类关系的所有问题。例如，设二数之和为S，二数之差为d，求二数的公式是:

公式是解决数学问题的重要工具。现在正整数的加、减、乘、除运算对于小学生来说是没有困难的。但是，要解决某些较复杂的计算问题，掌握相关问题的计算公式是很重要的。有一位小学老师在课堂上给学生出了一道连算题，要求学生计算: 1+2+3+…+100=?老师心想: “现在让他们慢慢算吧，我可以休息一下了!”当同学们都在埋头计算时，一名同学喊道:“老师，我算出来了。”老师很吃惊，怎么算得这么快! 这名同学使用的方法是: 把上述算式改写成50个结果都是101的加法(1+100，2+99，3+98，…)，最终结果是:5050。这名同学就是被称为“数学王子”的德国数学家高斯(约翰·卡尔·弗里德里希·高斯)，当时高斯才10岁。他的计算方法写成公式就是:

式中: ∑——一个希腊字母，意思是求和;

n——一个任意指定的正整数;

套用这个公式，上面的那道计算题(n=100)就可以表示为:

有了这个公式，不管上面那样的连算式有多长，只要进行三次运算(一次加法、一次乘法、一次除法)，都能迅速算出结果。

1．1．2 偶数数列的求和公式

它可以从公式(1-1) 推导出来。推导方法如下:

2+4+6+…+2n =2(1+2+3+…+n)

1．1．3 奇数数列的求和公式

它可以从公式(1-2)推导出来。推导方法如下:

1+3+5+…+(2n-1)

=(2-1) +(4-1) +(6-1) +…+(2n-1)

=2+4+6+…+2n-n

=n(n+1) -n

=n2+n-n

=n2