“缺数”及其等式队列

1．“缺8数”及其等式队列

合数中也有许多有趣的数，“缺8数”12345679是众所周知之一，因为12345679×9＝111111111．据说是中学生玩计算器的时候，偶然发现的，其实，1982年许家骏先生在《奇趣的自然数》（福建教育出版社，1982年）一书中，就已经提到“缺8数”了．

具有相近特点的趣味等式叠垒排列，整齐有序，称之为等式队列，我们很容易得到“缺8数”衍生出的等式队列：

12345679×9＝111111111

12345679×18＝222222222

12345679×27＝333333333

12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

12345679×54＝666666666

12345679×63＝777777777

12345679×72＝888888888

12345679×81＝999999999

既然“缺8数”有此奥妙，想象“缺x数”会是什么呢？用拾遗补缺的办法，比如将123456中的数码“5”抽出变成12346（缺5），而将抽出的数码“5”补在后边：通过数字实验和探究，可以得到12346×9＋5＝111119，…，即

1×9＋0＝9

2×9＋1＝19

13×9＋2＝119

124×9＋3＝1119

1235×9＋4＝11119

12346×9＋5＝111119

123457×9＋6＝1111119

1234568×9＋7＝11111119

12345679×9＋8＝111111119

发挥你的想象力，“缺8数”乘以99，999，…，得到若干个等式队列，“缺x数”也可以进行变化得到相应的等式队列，叠垒起来就可以构建数字大厦，其中每一个三角阵或方阵，都是通过数字计算实验得出的等式队列．

“缺8数”的奇妙在于乘以9得到11111111，因此等式变换围绕“9”，“缺x数”，也就跟着“9”转．

12345679×99＝1222222221

12345679×999＝12333333321

12345679×9999＝123444444321

12345679×99999＝1234555554321

12345679×999999＝12345666654321

12345679×9999999＝123456777654321

12345679×99999999＝1234567887654321

12345679×999999999＝12345678987654321

12345679×81＝999999999　12345678×9＝111111102

12345679×72＝888888888　12345679×9＝111111111

12345679×63＝777777777　12345689×9＝111111201

12345679×54＝666666666　12345789×9＝111112101

12345679×45＝555555555　12346789×9＝111121101

12345679×36＝444444444　12356789×9＝111211101

12345679×27＝333333333　12456789×9＝112111101

12345679×18＝222222222　13456789×9＝121111101

12345679×9＝111111111　23456789×9＝211111101

1×8＋1＝9　1×9＋2＝11　987654321×9－1＝8888888888

12×8＋2＝98　12×9＋3＝111　98765432×9＋0＝888888888

123×8＋3＝987　123×9＋4＝1111　9876543×9＋1＝88888888

1234×8＋4＝9876　1234×9＋5＝11111　987654×9＋2＝8888888

12345×8＋5＝98765　12345×9＋6＝111111　98765×9＋3＝888888

123456×8＋6＝987654　123456×9＋7＝1111111　9876×9＋4＝88888

1234567×8＋7＝9876543　1234567×9＋8＝11111111　987×9＋5＝8888

12345678×8＋8＝98765432　12345678×9＋9＝111111111　98×9＋6＝888

123456789×8＋9＝987654321　123456789×9＋10＝1111111111　9×9＋7＝88

尤其值得一提的是，“缺8数”的对称数123456797654321是素数，这是在自然数实验中被发现的，可以得到如下等式队列：

123456797654321×9＝1111111178888889

123456797654321×18＝2222222357777778

123456797654321×27＝3333333536666667

123456797654321×36＝4444444715555556

123456797654321×45＝5555555894444445

123456797654321×54＝6666667073333334

123456797654321×63＝7777778252222223

123456797654321×72＝8888889431111112

123456797654321×81＝10000000610000001

而且123456797654321在同某些数的乘积中有如下的等式队列：

123456797654321×9999999900000001＝1234567964197530358024697654321

123456797654321×999999999000000001＝123456797530864202469135797654321

123456797654321×99999999990000000001＝12345679764197532023580246797654321

123456797654321×9999999999900000000001＝1234567976530864320234691356797654321

123456797654321×999999999999000000000001＝123456797654197543202345802456797654321

123456797654321×99999999999990000000000001＝12345679765430865432023456913456797654321

123456797654321×9999999999999900000000000001＝1234567976543197654320234568023456797654321

123456797654321×999999999999999000000000000001＝123456797654320876543202345679123456797654321

123456797654321×99999999999999990000000000000001＝12345679765432098765432023456790123456797654321

其中9999999900000001是素数．

如果将不同形式表达的自然数用等式连接起来，就赋予这些数以鲜活的生命力．一个自然数经过运算得到的等式，如果结果简洁、有序、和谐，就能体现数学之美，如果结果出奇且精妙，“巧夺天工”，令人叹为观止，那是数学精品．

一个精品等式，经过再加工成为一组列阵，排列非常整齐，如同训练有素的仪仗队或学生队列，蔚为壮观，如画如诗，那就是数学艺术品，我们将它们称作等式队列．这就是我们的追求．