电感和电容的电压

在正弦电流电路中，常见的无源、线性、定常的元件有电阻、电感和电容。在关联的电流电压参考方向下，它们的伏安关系分别为

在正弦稳态时，各元件中的电压和电流都是同频率的正弦量。本节讨论这些元件上电压、电流的相量关系。

1.电阻

图3-11（a）为电阻，其上同频率正弦电压与电流分别为

由式（3-16）得

式（3-19）表明，电阻元件的电压与电流是同相的（φu=φi）；电阻元件的电压有效值与电流有效值符合欧姆定律（UR -RIR）。式（3-19）是电阻元件上正弦电压与正弦电流的时域关系。

再把式（3-16）写成

则得

式（3-20）就是电阻上的电压与电流的相量关系。按式（3-20）画出的电阻的相量模型如图3-11（b）。式（3-20）和欧姆定律相似，但是一个复数关系式，它既表明了电压与电流有效值之间的关系，又表明了电压与电流相位之间的关系：

图3-11　电阻

前者表明电压有效值与电流有效值符合欧姆定律，后者表明电压与电流同相位。

图3-12所示为电阻上电压、电流的相量图与波形图。

图3-12　电阻上电压电流的相量图与波形图

2.电感

图3-13（a）所示为电感，其上同频率的正弦电压和电流分别为

根据式（3-17），则得

式（3-21）表明，电感上电压超前电流。为找出电感上电压、电流的相量关系，把式（3-17）写成

则得

式（3-22）是电感上电压相量与电流相量的关系式。按此式画出的电感相量模型如图3-13（b）所示。

图3-13　电感

式（3-22）也与欧姆定律相似，也是一复数关系式，由此复数关系式可得

与

由此可知，电感上电压超前电流，电压有效值与电流有效值之比等于XL。 XL =ωL =2πfL称为电感的电抗，简称感抗，其单位为Ω。感抗具有限制电流大小的作用，在电感L一定的条件下，感抗L与频率成正比，即电流频率越高，感抗越大。这是因为电流频率越高，它变化得越快，电感中的感应电动势越大，限制电流的作用越强之故。对于直流电流，频率为零，感抗XL =0，电感对直流电流相当于短路。

应当指出，电感的感抗是电感上电压与电流有效值（或幅值）之比，不是它们的瞬时值之比。因为电感的电压与电流瞬时值之间不是正比关系，而是导数关系。

综上所述，对电感来说，若

则

图3-14所示为电感上电压与电流的相量图和波形图。

图3-14　电感上电压电流的相量图与波形图

3.电容

图3-15（a）所示为电容，其上同频率的正弦电压与电流分别为

根据式（3-18），用类似的方法可推得

式（3-23）是电容上电压相量与电流相量的关系式。按此式画出电容的相量模型，如图3-15（b）所示。

图3-15　电容

式（3-23）是一复数关系式，由此关系式可得

由此可知，电容上电压滞后电流，电压有效值与电流有效值之比等于XC。 XC=1/ωC=1/2fC，称为电容的电抗，简称容抗，其单位为Ω。容抗XC也具有限制电流大小的作用，π它与频率成反比。因为电流频率越高，电容充、放电进行得越快，以致电流越大的缘故。对于直流而言，频率为零，容抗为无限大，电容相当于开路。所以直流电流不能通过电容，称作电容的隔直流作用。

与电感的感抗一样，电容的容抗也是其电压与电流有效值（或幅值）之比，不是它们瞬时值之比。

综上所述，对电容来说，若

图3-16是电容上电压与电流的相量图和波形图。

图3-16　电容元件上电压电流的相量图与波形图

例3-6　图3-17所示电路中。求uR、uC。

解　

图3-17　例3-6图