时间与电容器

以下是你需要用到的东西。

□ 交流适配器、面包板、导线、钢丝钳及剥线器。

□ 万用表。

□ 按钮，单刀单掷的，数量：1个。

□ 电阻器及电解电容器，套装的。

在实验8中，当你将一个电容并联在继电器的线圈上后，电容器几乎在一瞬间就完成了充电，然后再等待时机，通过继电器的线圈放电。如果你在电容器上面串联一个电阻器，那么电容器将需要较长的时间进行充电。通过让电容器的充电时间延长，你可以测量时间，这是一个十分重要的概念。

清理掉面包板上的元件，然后用它来搭建图2-78所示的十分简单的电路，其中C₁是1 000 µF 的电容器，R₁是100 kΩ 的电阻器，R₂是100 Ω 的电阻器，S₁是你前面使用过的那个按钮。将万用表设置在DC档，将探针放在电容器两端，按下按钮。你会看到随着电容器上电压的积蓄，万用表也在往上计数（使用手动量程的万用表更容易看到结果，因为你无需等待万用表为你设定量程到底是多少）。电阻器R₁减慢了电容器充电的速度。

图2-78 当你按下按钮时，注意观察电容器上电压的情况。让R2接触电容器的两端使它放电，改变R1的阻值，然后重复上面的测量过程

S₁：端子开关，OFF（ON）型

R₁：开始为100 kΩ

R₂：100 Ω

C₁：1 000 µF

放开按钮，将万用表放在一边，让R₂接触电容器的两端约1 s～2 s，以使电容器放电。然后将R₁替换成50 kΩ 的电阻器，重复以上的测量。现在万用表往上计数的速度应该比之前快几乎1倍。

电压、电阻及电容

将电阻器看成一个水龙头，将电容器看成一个需要灌水的气球。当你旋开水龙头只让细细的水流流出时，气球将需要很长的时间才能装满水。不过只要你等待足够长的时间，缓慢流下的水流仍然能够把气球完全装满，并且（假设气球不会破裂）当气球内的压力等于施加在水龙头的水管中的压力时，就装满了，装水的过程也就结束了，见图2-79。

图2-79 当水龙头半开时，需要较长的时间来装满气球，但最终所充的水量却是相同的，获得的压力也是相同的

类似地，在你的电路中，只要你等待足够长的时间，电容器两端的最终电压应该达到电源电压的相同数值。在一个12 V 的电路中，电容器最终应该得到12 V 的电压（尽管这里的“最终”所代表的时间可能比你想象的时间要长得多）。

这里可能有点让人混乱，因为在前面我们学过，当你把电压加在电阻器的一端时，你得到的输出电压要比输入电压低。为什么当电阻器与电容器成对使用时，电阻器却可以将全部的电压传递给电容器呢？

请暂时忘掉电容器，回忆一下以前你是如何测量两个1 kΩ 的电阻器的电压的。在有两个电阻器的情况下，每个电阻器都拥有电路总电阻的一半，因此每个电阻器上的电压占总电压的一半。如果将万用表的负探针放在电源的负极，让正探针接触这两个电阻器的中间点，你将测到6 V。如图2-80 所示。

图2-80 当两个电阻串联时，较大电阻的电压降比较小电阻的电压降要大。如果较大的那个电阻变成无穷大（例如电容器的情况），那么较小的电阻对电压降就不再有任何可以测出的贡献，其两端的电压几乎是相同的

现在假定去掉一个1 kΩ 的电阻器，用一个9 kΩ 的电阻器来代替它。这时电路的总电阻是10 kΩ，因此9 kΩ 电阻器上的电压降是12 V的90%，即10.8 V。你应该试试这个电路，用万用表测测。（你不太可能找到9 kΩ 的电阻器，因为这不是标准值。请用你能够找到的最接近的电阻器来替换。）

现在假定你去掉这个9 kΩ 的电阻器，用一个99 kΩ 的电阻器来替换它。它上面的电压降将是总电压的99%，也就是11.88 V。你应该可以看出这里的趋势：电阻值越大，它对电压降的贡献就越大。

我在前面指出过，电容器完全阻断直流电压。它上面可以累积电荷，但却不会让电流流过。因此，对于直流电流来讲，电容器就像一个具有无穷大电阻的电阻器。

（实际上，电容器内的绝缘允许有一点点的“泄漏”，但是理想的电容器应该具有无穷大的电阻。）

和电容器串联的电阻器，无论其电阻值为多少，和电容器比起来都是微不足道的。无论电阻器的阻值有多高，在电路中仍然是电容器提供了主要的电阻。这就意味着，电容器偷掉了电路中几乎所有的电压降，而降落在电阻器两端的电压差是零（这里假定忽略元件的小小的非理想性）。图2-80也许有助于你理解这个概念。

你应该拿真的电阻器和电容器试一试——尽管当你这样做时会遇到一个小小的问题。当万用表位于DC档时，在测量的过程中，它会从电路中分走一点点电流——仅仅是尝一点味道。当你测量电阻器两端的电压时，万用表偷走的电流很小，不会显著地影响读数，这是因为万用表的内阻比大多数电阻器的电阻要高。然而，你应该记得电容器的内阻几乎等于无穷大，因此，万用表的内阻在这里就变得很重要了。实际上，你永远不可能得到一个理想的万用表，就像你得不到理想的电容器和电阻器一样，万用表总会对电路有些轻微的干扰，你得到的只能是一个近似的读数。

如果一个电容器已经充电，但没有连接到任何其他元件上，现在你用万用表来测量它的电压，那么你将看到电压读数慢慢下降，这是因为电容器在通过万用表放电。

理论知识

时间常数

你也许想知道，当采用不同的电阻器配对给不同的电容器充电时，有没有方法来精确预测充电所需的时间。有没有公式可以计算这个时间呢？

答案是肯定的，不过由于电容充电的速度不是恒定的，因此测量这个时间的方法有点复杂。电容器积聚第一伏电压很快，第二伏就没那么快了，第三伏则更慢，总之是越来越慢。你可以把电子在电容器极板上积聚的过程想象为人们步行到音乐厅去找座位的情景。剩下的座位越少，人们找到空位的时间就越长。

我们用一个称作时间常数的量来描述这个过程。时间常数的定义十分简单。

TC=R×C

这里TC是时间常数，电容器的电容是C（法拉），它通过电阻值为R（欧姆）的电阻器充电。

回到你刚测过的电路，再测一次，不过这次要用1 kΩ的电阻器和1 000 µF的电容器。在将这些数值代入公式之前，要先将它们转换成法拉和欧姆。1 000 µF就是0.001 F，1 kΩ就是1 000 Ω，因此公式就变成下面的样子：

TC=1 000×0.001

换句话说就是，TC=1，即

一个1 kΩ的电阻器与一个1 000 µF的电容器串联时，时间常数为1。

这一点可不是那么容易记住的！

这是不是意味着电容器将在1 s 内被充满电呢？不，不是这么简单的。时间常数TC仅仅是电容器的电压上升到外加电压的63%时所需要的时间（如果电容器的电压是从零开始的话）。

（为什么是63%呢？这个问题的答案对于本书来讲太复杂了。如果你希望了解更多，就得到其他地方去读读关于时间常数的内容，而且你还得先具备微分方程的基础。）下面是时间常数的一个正式定义，可供将来参考。

TC，即时间常数，是电容器获得某个电荷量所需要的时间，这个电荷量等于外施电压对应的满电荷量与电容器当前的电荷量之差的63%。当TC=1 时，电容器将在1 s内获得满电荷的63%。当TC=2 时，电容器将在2 s 内获得满电荷的63%。

如果你继续施加电压，会发生什么事情呢？历史总是重复自己。电容器将在TC的时间里积累余下差值（即满电荷量与当前电荷量之差）的另一个63%。

假定某个人吃一个蛋糕。吃第一口时，由于特别饿，他在1s内吃掉了蛋糕的63%。吃第二口时，为了不显得太过贪婪，他只吃掉了蛋糕剩余部分的63%，并且由于他不再感到特别饿了，因此他吃第二口所用的时间跟吃第一口的时间相同。吃第三口时，他仍然是吃了剩下部分的63%，所用时间也跟前面一样。这样继续下去，他的吃法就跟电容器“吃”电荷是一样的（图2-81）。

图2-81 如果我们的美食家每次只吃盘子上剩余蛋糕的63%，那么他就是以电容器充电的方式来“填充”自己的肚子。按着这种方式，无论他吃多长时间，他永远也吃不完整个蛋糕或填满自己的肚子

永远有一丁点碎屑等着吃蛋糕者去吃，因为他从不吃掉剩余部分的100%。同样地，电容器将永远不会得到满电荷。在一个完美的世界里，对于理想的元件来讲，这个过程将持续无限的时间。

在真实的世界里，我们十分肯定地认为：

在5×TC的时间之后，电容器将十分接近于充满电的状态，我们不再在乎那个差值。

在下面的表中，我们做了一点计算（保留小数点后两位），以说明电容器上电荷的累积过程。表中的电容器位于一个12 V 的电路中，时间常数是1 s。

我们来解释一下这个表。在这个表中，V₁是电容器上当前的电压。从供电电压（12 V）中减去当前电压，求得差值，称之为V₂。接下来取V₂的63%，将其加到当前的电压（V₁）上，并称之为V₄。这就是1 s 以后电容器上新的电压，因此我们可以将其复制到这个表的下一行，成为V₁的新值。

接下来重复以上过程。图2-82以图形的方式显示了这个表。注意，在经过5 s之后，电容器已经获得了11.92V的电压，这等于供电电压的99%。这在现实世界中已经算是十分接近，足以满足任何人的需要了。

图2-82 电容器从0 V 开始充电的过程。经过一个时间常数之后，它的端电压增加到电源电压的63%。再经过另一个时间常数，它的端电压将增加电压差值（电源电压与电容电压之差）的63%，以此类推

如果你想在电容器充电时通过测量电容器两端的电压来核实表中的数据，那么请记住，由于万用表偷走了一点点电流，因此会存在一个偏差，并且随着时间的推延，偏差还会增大。不过，从实用的角度来看，这个系统应该能够很好地按照我们描述的规律工作。