贝叶斯纳什均衡

信息的不完全使得博弈分析变得复杂,1967年以前,博弈论专家认为这样的不完全信息博弈是无法分析的,因为当一个参与人不知道在与谁博弈时,博弈的规则是无效的。海萨尼提出了处理不完全信息博弈的方法,巧妙地引入一个“第三者”——自然,将复杂问题的不完全信息博弈转换为完全但不完美信息博弈,因此也称为“海萨尼转换”。

一、海萨尼转换

海萨尼转换的具体方法是:

(1)假设有一个虚拟的参与人“自然”,自然首先决定参与人的类型,赋予各参与人的类型向量t=(t1,…,tn),其中,ti∈Ti, i=1,…,n;

(2)自然告知博弈方i自己的类型,却不告诉其他博弈方的类型;

(3)博弈方同时选择行动,每一个博弈方i从可行集Ai中选择行动方案ai;

(4)各方得到收益ui(a1,…,an;ti)。

借助于第一步和第二步中虚构的博弈方“自然”的行动,我们可以把一个不完全信息的博弈表述为一个不完美信息的博弈。海萨尼转换是处理不完全信息博弈的标准方法。

二、贝叶斯纳什均衡介绍

静态贝叶斯博弈转化的都是两阶段有同时选择的、特殊类型的不完美信息动态博弈,对于这类博弈有专门的分析方法和均衡概念。为了定义贝叶斯纳什均衡概念,首先定义此类博弈中博弈方的策略空间。动态博弈中博弈方的一个策略是关于行动的一个完整计划,包括了博弈方在可能会遇到的每一种情况下将选择的可行的行动。在给定的静态贝叶斯博弈的时间顺序中,自然首先行动,赋予每一博弈方各自的类型,博弈方i的一个(纯)策略必须包括博弈方i在每一可行的类型下选择的一个可行行动。定义如下:

定义8.2　在静态贝叶斯博弈G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn;u1,…,un}中,博弈方i的一个策略是一个函数si(ti),其中对Ti中的每一类型ti,si(ti)包含了自然赋予i的类型为ti时,i将从可行集Ai中选择的行动ai。

给出贝叶斯博弈中关于策略的定义之后,我们就可以定义贝叶斯纳什均衡了。尽管定义中的符号有些复杂,但中心思路既简单又熟悉:每一个博弈方的策略必须是其他博弈方策略的最优反应,也即贝叶斯纳什均衡实际上就是在贝叶斯博弈中的纳什均衡。

定义8.3　在静态贝叶斯博弈G={A1,…,An;T1,…,Tn;p1,…,pn;u1,…,un}中,策略组合s*=(,…)是一个纯策略贝叶斯纳什均衡,如果对每一个博弈方i及对i的类型集Ti中的每一个ti,(ti)满足

定义中求最大值的和是对t-i求和,即对其他参与人的各种可能的类型组合求和,“纯策略”的意义与完全信息博弈相同。当静态贝叶斯博弈中参与人的一个策略组合是贝叶斯纳什均衡时,没有博弈方愿意改变自己的策略,即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。

贝叶斯纳什均衡是分析静态贝叶斯博弈的核心概念,一个有限的静态贝叶斯博弈[即博弈中n是有限的,并且(A1,…,An)和(T1,…,Tn)都是有限集]理论上存在贝叶斯纳什均衡,包括采用混合策略的情况。