完美贝叶斯均衡的概念

首先,博弈方1在3个行动中进行选择——L、M、R,如果博弈方1选择R,则博弈结束(不等博弈方2行动);如果博弈方1选择了L或M,则博弈方2就会知道博弈方1没有选择R(但不清楚博弈方1是选择了L还是M),并在L'或R'两个行动中进行选择,博弈随之结束。收益情况如图9-1所示的扩展式博弈给出。

图9-1

从图9-2博弈的标准式表述,我们可以发现存在两个纯策略纳什均衡(L,L')和(R,R')。为确定这些纳什均衡是否符合子博弈完美纳什均衡的条件,我们先明确博弈的子博弈,图9-1中的博弈不存在子博弈。如果一个博弈没有子博弈,则子博弈完美纳什均衡条件(具体来说,即博弈方的策略在每一个子博弈中均构成纳什均衡)自然就得到满足。从而在任何没有子博弈的博弈中,子博弈完美纳什均衡的定义便等同于纳什均衡的定义,于是在图9-1中,(L,L')和(R,R')都是子博弈完美纳什均衡。然而,(R,R')却又明显要依赖于一个不可信的威胁:如果轮到博弈方2行动,则选择L'要优于选择R',于是博弈方1便不会由于博弈方2威胁将在其后的行动中选择R'而去选择R。换言之,博弈方1认为博弈方2选择R'不过是个空头威胁。

图9-2

上面的例子反映出一个问题,在信息完全但不完美的博弈中,尽管(R,R')是子博弈纳什均衡,它依赖于一个不可信的空头威胁,应该从合理的预测中排除。问题出现的原因是,博弈方2不知道博弈方1若不选择R时,他究竟会选择L还是M?在附加的条件中,将要求博弈方2对这个问题有一定的推断,并在这个推断下采取最佳的策略行动。为此,要进一步强化均衡概念,以排除图9-1中像p·0+(1-p)·1=1-p的子博弈完美纳什均衡。对均衡附加以下两个要求:

要求1　在每一个信息集中,应该行动的博弈方必须对博弈进行到该信息集中的某个节点有一个推断。对于非单节信息集,推断是在信息集中不同节点的一个概率分布;对于单节的信息集,博弈方的推断就是到达此单一决策节点的概率为1。

要求2　给定博弈方的推断,博弈方的策略必须满足序贯理性的要求,即在每一个信息集中应该行动的博弈方(以及博弈方随后的策略),对于给定的该博弈方在此信息集中的推断,以及其他博弈方随后的策略(其中,“随后的策略”是在达到给定的信息集之后,包括了其后可能发生的每一种情况的完全的行动计划)必须是最优反应。

在图9-1中,“要求1”意味着如果博弈的进行达到博弈方2的非单节点信息集,则博弈方2必须对具体到达的某一个节点(也就是博弈方1选择了L还是R)有一个推断。这样的推断就表示到达两个节点的概率p和1-p,如图9-3所示:

图9-3

给定博弈方2的推断,选择R'的期望收益等于p·0+(1-p)·1=1-p,而选择L'的期望收益等于p·1+(1-p)·2=2-p。由于对任意的p都有2-p>1-p,“要求2”就排除了博弈方2选择R'的可能性,从而,在本例中简单要求每一个博弈方持有一个推断,并且在此推断下选择最优行动,就可以排除不合理的均衡(R,R')。

“要求1”和“要求2”只保证了博弈方持有推断,并对给定的推断选择最优行动,但并没有明确这些推断是否理性。为进一步约束博弈方的推断,我们需要区分处于均衡路径上的信息集和不处于均衡路径上的信息集。为此,首先给出如下定义:

定义9.1　对于一个给定的扩展式博弈中的均衡,如果博弈根据均衡策略进行时将以正的概率达到某个信息集,我们称此信息集处于均衡路径之上。反之,如果博弈根据均衡策略进行时,肯定不会达到某信息集,我们称之为不在均衡路径上的信息集(其中“均衡”可以是纳什均衡、子博弈完美均衡、贝叶斯均衡以及完美贝叶斯均衡)。

要求3　在处于均衡路径上的信息集中,推断由贝叶斯法则及博弈方的均衡策略给出。

例如,在图9-3的子博弈完美纳什均衡(L,L')中,博弈方2的推断一定是p=1:给定博弈方1的均衡策略(具体地说是L),博弈方2知道已经到达了信息集中的哪一个节点。作为“要求3”的另一种说明(假定性的),设想在图9-3中存在一个混合策略均衡,其中博弈方1选择L的概率为q1,M的概率为q2,选择R的概率为1-q1-q2。“要求3”则强制性规定博弈方2的推断必须为p=q1/(q1+q2)。

“要求1”、“要求2”和“要求3”包含了完美贝叶斯均衡的主要内容,这一均衡概念最为关键的新特征要归功于克雷普斯和威尔逊(1982):在均衡的定义中,推断被提高到和策略同等重要的地位。正式来讲,一个均衡不再只是由每个博弈方的一个策略所构成,还包括了两个博弈方在其行动的每一个信息集中的一个推断。通过这种方式使博弈方推断得以明确的好处在于,与前面强调博弈方选择可信的策略一样,现在就可以强调博弈方持有理性的推断,无论是处于均衡路径(“要求3”),还是不处于均衡路径(下文的“要求4”)。

在简单的经济学应用中,包括信号博弈和空谈博弈——“要求1”、“要求2”和“要求3”不仅包括了完美贝叶斯博弈的主要思想,而且还构成了其定义。不过,在更为复杂的经济学应用中,为剔除不合理的均衡,还需引入进一步的要求。不同的学者使用过不同的完美贝叶斯均衡定义,所有的定义都包括“要求1”、“要求2”和“要求3”,绝大多数还同时包含了“要求4”,还有的引入了更进一步的要求。我们用“要求1”到“要求4”作为完美贝叶斯均衡的定义。

要求4　对不在均衡路径上的信息集,推断由贝叶斯法则以及可能情况下博弈方的均衡策略决定。

定义9.2　满足“要求1”到“要求4”的策略和推断构成博弈的完美贝叶斯均衡。

对“要求4”再给出一个更为精确的表述,有助于我们理解“可能情况下均衡策略”的含义。我们通过图9-4和图9-5中的三个博弈方博弈来说明并理解“要求4”的必要性。

此博弈有一个子博弈:它开始于博弈方2的单节点信息集。这一子博弈(博弈方2和博弈方3之间的)唯一的纳什均衡为(L,R'),于是整个博弈唯一的子博弈完美纳什均衡为(D,L,R')。这一组策略和博弈方3的推断p=1满足了“要求1”到“要求3”,而且也简单地满足了“要求4”,因为没有不在这一均衡路径上的信息集,于是构成了一个完美贝叶斯均衡。

图9-4

下面考虑策略(A,L,L')以及相应的推断p=0。这组策略是一个纳什均衡,没有博弈方愿意单独偏离这一结果。这一组策略及推断也满足“要求1”到“要求3”,博弈方3有一个推断并选择最优行动。但是,这一纳什均衡却不是子博弈完美纳什均衡,因为博弈中仅有子博弈有唯一的纳什均衡为(L,R'),这也说明“要求1”到“要求3”并不能保证博弈方的策略是子博弈完美纳什均衡。为什么会出现这样的问题呢?问题在于博弈方3的推断p=0与博弈方2的策略L并不一致,但“要求1”到“要求3”并没有对博弈方3的推断进行任何限制,因为如果按给定的策略进行博弈将不会到达博弈方3的信息集。不过,“要求4”强制博弈方3的推断决定于博弈方2的策略:如果博弈方2的策略为L,则博弈方3的推断必须为p=1;如果博弈方2的策略为R,则博弈方3的推断必须为p=0。但是,如果博弈方3的推断为p=1,则“要求2”又强制博弈方3的策略为R',于是策略(A,L,L')及相应推断p=0不能满足“要求1”到“要求4”。根据定义,策略(A,L,L')以及相应的推断p=0不能构成完美贝叶斯均衡。“要求4”的作用,排除了一些不合理的纳什均衡与推断,尽管这组策略及推断满足“要求1”到“要求3”。

为进一步理解“要求4”,假设图9-4稍作改变成为图9-5:现在博弈方2又出现了第三种可能的行动A',也可以令博弈结束(为使表示简化,这一博弈略去了收益情况)。与前例相同,如果博弈方1的均衡策略为A,则博弈方3的信息集就不在均衡路径上,但现在“要求4”却无法从博弈方2的策略中决定博弈方3的推断。如果博弈方2的策略为A',则“要求4”就对博弈方3的推断没有任何限制,但如果博弈方2的策略为以q1概率选择L,q2概率选择R,1-q1-q2概率选择A',其中,q1+q2=0,则“要求4”就限定了博弈方3的推断为p=q1/(q1+q2)。

图9-5