有理数的理论

上面我们已经完成了有理数到整个实数的扩展。于是，数系的基础就化为有理数的基础问题了。就是说，无理数理论的建立，推动了对有理数理论的研究。1859年，维尔斯特拉斯在一次讲课中曾正确地提出了在自然数的基础上建立有理数和实数的见解。他认为，只要承认自然数，建立实数就不再需要进一步的公理了。他在1860年的一次讲课时，把正有理数定义为自然数对；负整数定义为另一类型的自然数对，再把负有理数定义为一对正负整数，这实际上就是今天通用的定义：当m、n为整数时，（n不为零）定义一个有理数。即有理数可看作两个整数的比。不过，使用这种表示时与通常整数表示有所不同。主要是整数的表示多少具有唯一性，而分数用整数之比表示时，有无穷多种。例如：1／2、2／4、3／6……表示同一分数。

实际上，这里面包含了等价类的观念。利用等价类和数对的思想可以建立起有理数的严格理论。

对有序整数对（p，q）（q≠0）定义如下的等价关系：设p1，p2∈Z，q1，q2∈Z，且不为零。如果p1q2＝p2q1，则称（p1，q1）与（p2，q2）等价，可记作（p1，q1）～（p2，q2）。有序整数对关于这个等价关系的等价类，称为有理数。当然，为了符合我们的习惯（p，q）我们可以记作。一切有理数的集记作Q。令整数p对应于即（p，1）所在的等价类，就能够把整数集自然地嵌入到有理数集中。习惯上把仍记为p。

因此，分数无非是整数对（p，q）集合在等价关系之下的等价类。而等价类的每个元素都可以看成它的一个表示。只是我们通常使用的是既约分数而已。

需要特别指明的，在这种严格的分数理论中，一个分数对应的是一类数。如（1，2）（2，4）（3，6）……这无穷个有序整数对代表了一个分数。换成我们熟悉些的说法是：1／2，2／4，3／6，……这无穷个分数代表了一个分数。只是按照习惯，我们通常使用既约分数1／2作为其表示。

事实上，这种定义方式与我们所熟知的分数运算没有任何不同。既然如此，为什么还要采用这种复杂的定义方式呢？原因大致有两个：

其一，这更加符合讲究逻辑严格性的数学家们的口味。

其二，采用数对的做法有一个很大的好处，即通过这种把有理数转化为有序整数对的定义，也就把有理数的逻辑基础完全建立在了整数基础之上。换言之，只要整数集是可靠的，那么由于有理数是整数对，那么有理数也是可靠的。

因而，这种不符合我们的习惯的复杂办法，并非是多此一举。当然了，由于这种定义与我们所习惯的有理数用法是完全一致的，因而对时刻以非严格的形式使用着有理数的人来说，数学家们的这一努力相当于为我们的大胆做法提供了通行证、定心丸。

数对的方式、等价类的观念已成为数学家们的有利武器。在整数理论中我们还会见到它的使用。

如果从公理角度来建立有理数理论，只需要在上述实数公理体系中去掉最后一条——完备性，就可以了。事实上，有理数系统满足其他每一条，就是不满足这一条。由此也可明白完备性体现了实数系统的独特风格。