侵蚀公式和侵蚀准则

如前所述， 由于固体推进剂侵蚀燃烧机理的复杂性和多样性， 现有的侵蚀燃烧理论模型还不能用于定量计算。 工程上使用的侵蚀函数都是在实验研究基础上获得的半经验公式， 表示成以侵蚀燃烧效应主要影响因素（如v、p、Dp等） 为自变量的函数，称为侵蚀公式。根据对侵蚀燃烧机理及其主要影响因素的不同理解， 出现过多种不同形式的侵蚀公式， 其中有些彼此之间并无本质的区别。 这里给出几个有代表性的侵蚀公式。

根据侵蚀公式的具体形式， 通过控制某一自变量的大小以达到控制侵蚀燃烧效应的目的， 由此得到的判别准则称为侵蚀准则。

1. 速度侵蚀公式与J准则

根据燃气流速是影响侵蚀燃烧效应主要因素以及存在界限流速vth的实验现象，赫伦（Heron） 提出以流速v为变量的经验公式， 即

或

式中，界限流速vth以及系数Kv和A，B，C均由实验确定。图3-17是实验测量的三种双基推进剂的ε-v曲线。

图3－17 三种双基推进剂的ε－v曲线

显然， 在固体火箭发动机设计中很难直接控制流速v的变化。 对此， 温伯列斯（Wimpress） 提出用喉通比J作为控制装药表面燃气流速v的特征量， 称为J准则。 喉通比J定义为喷管喉部截面积At与装药末端（近喷管处） 燃气通道截面积Ap2之比，即

由5.4节可知， 喉通比可以用气体动力学函数q（λ）表示， 即

关于速度系数λ和q（λ）的定义参见5.3节。 喉通比与速度系数的关系如图3-18所示， 装药末端的速度系数λ2对应于亚声速区（λ＜1），即λ2随J的增大而增大。

速度系数λ是流速与临界声速a∗之比， 对绝热流动a∗是常数， 流速v与速度系数λ成正比。 因此， 对于给定的推进剂， 可用λ表示流速v的大小。 在固体火箭发动机工作过程中的不同时刻t，装药通道中的速度系数λ沿药柱长度Lp的分布情况如图3-19所示。

图3－18 喉通比与速度系数的关系

图3－19 不同燃烧时刻的λ－x／Lp分布曲线

由此可见，通过控制喉通比J的大小就可以控制装药末端的速度系数λ2，因而也就控制了装药通道内的燃气流速， 最终达到控制装药侵蚀燃烧效应的目的， 这就是J准则的实质所在。

例题［3－2］ 已知燃气比热容比为γ＝1.2，临界声速a∗＝921m／s，发动机喉部直径dt＝4.2mm，侵蚀函数公式为

试根据J准则确定圆孔内孔燃烧装药的初始内径d， 使燃烧不产生侵蚀。

解：从侵蚀函数公式可知，界限流速vth＝100m／s，于是相应的装药末端速度系数为

由装药末端速度系数可确定喉通比J， 即

则根据J准则， 使燃烧不产生侵蚀的圆孔内孔燃烧装药的初始内径为

J准则的不足之处在于只控制了影响侵蚀燃烧效应的一个主要因素， 即燃气流速v， 而没有考虑另一个重要因素燃气压强p。 实际上， 由图3-13可知， 不同压强下有不同的ε-v关系式。 各种发动机有不同的工作压强， 即使同一个发动机其工作压强往往也会有较大的变化， 因此很难用一个合适的ε-v公式来进行发动机的内弹道计算和性能预估。 同时， 由于侵蚀燃烧效应随着压强的升高而增大， 若将侵蚀燃烧效应控制在一定数值， 则低压发动机比高压发动机允许有更大的流速， 即低压允许的J值可比高压的大一些， 这说明不能简单地用固定某个J值作为控制侵蚀燃烧效应的设计准则。

2. 密流侵蚀公式和G准则

密流G定义为单位通道截面积上通过的燃气质量流率， 由气体的热状态方程 （5-7）， 有

在装药通道中， 燃气温度沿通道轴向的变化很小， 因此密流G近似正比于乘积pv。 可见， 用密流表示的侵蚀函数可以同时考虑燃气流速和压强对侵蚀燃烧效应的影响， 并且认为这两个因素的影响程度是相同的， 都是一次方的关系。

迪金森 （Dickinson） 等人提出如下形式的侵蚀公式：

或

式中，界限密流Gth及系数KG，A，B和C均由实验确定。

图3-20为某复合推进剂的ε-G实验曲线。

图3-21为某双基推进剂在不同压强下测量的ε-G曲线。 可见， 这种推进剂有负侵蚀现象， 而且在ε＞1的正侵蚀区内， 压强p对ε的影响不大。 于是， 在该实验压强范围内，可以将侵蚀燃烧效应处理成一个侵蚀公式ε（G）， 并通过控制密流G的大小来控制侵蚀燃烧效应， 这就是密流准则。

图3－20 某复合推进剂的ε－G曲线

图3－21 某双基推进剂的ε－G曲线

但是， 并不是所有推进剂都是这样的。 实验发现， 压强p对另一种双基推进剂的ε（G）有较大影响， 如图3-22所示。 对这种推进剂， 应将侵蚀燃烧效应处理成不同压强下的ε（G）表达式。 此外， 由图还可看出， 在相同侵蚀燃烧效应下， 压强越大， 允许的G值越大。 因此， 与J准则类似， 这种推进剂不能用一个固定的G值来控制侵蚀燃烧效应， 说明密流准则也只能适用于某些推进剂。

以上两种双基推进剂之所以出现这样的差别， 是因为压强和流速对这两种推进剂的侵蚀燃烧效应的影响程度不同。 对前一种推进剂来说， p和v对侵蚀燃烧效应的影响程度基本相同， 因此以正比于pv的G为变量的侵蚀公式能正确反映p和v对侵蚀的综合影响； 对后一种推进剂而言， p和v对侵蚀的影响程度并不相同， 同一G值下的ε值随p升高而减小， 说明压强的影响小于流速的影响， 因此在pv中p的指数应小于1， 而不是一次方关系。

图3－22 另一种双基推进剂的ε－G曲线

3. 相对密流侵蚀公式和δ准则

相对密流δ定义为

式中，G为装药通道内任意x截面上的密流；G∗为x截面处的临界密流。

格林 （Green） 提出以δ为变量的侵蚀函数， 即

式中，Kδ为侵蚀常数，与推进剂性质和装药形状有关。Kδ与装药形状的关系如图3-14所示。

根据临界状态的定义， 有

又由一维定常绝热等截面垂直于主流的质量添加流动关系 （在式 （5-44） 中， 令λ＝1可得ρ1／ρ∗＝2，则ρ／ρ∗＝（ρ／ρ1）（ρ1／ρ∗）＝2ρ／ρ1），可得

于是有

由此可见，以相对密流δ＝G／G∗为变量的侵蚀公式同样也是以流速v表示的侵蚀公式，与ε（v）没有本质区别。 所以， δ准则与J准则一样， 只考虑了燃气流速而没有考虑燃气压强对侵蚀燃烧效应的影响。

4. 勒努尔－罗比拉德 （Lenoir－Robillard） 侵蚀公式 （简称L－R公式）

传热理论认为， 平行于装药燃烧表面的燃气流速有助于加强对装药燃烧表面的对流传热， 从而使装药燃速增大， 勒努尔和罗比拉德据此推导出了侵蚀公式， 即L-R公式。

侵蚀燃速可以表示成基本燃速与侵蚀燃烧效应引起的燃速增量之和， 即

式中，Δ 为由侵蚀燃烧效应引起的燃速增量。

根据装药燃烧表面附近的换热关系可以推导出如下的燃速公式：

式中，β为经验常数；ρp和c分别为推进剂装药的密度和比热容；μ和cp分别为燃气的动力黏度和比定压热容；Ti为装药初温；Ts为装药表面温度；T0为推进剂绝热火焰温度；普朗特数 （Prandtl number） Pr定义为

这就是L-R半经验燃速公式的基本形式， 也属于以密流G为变量的侵蚀公式。 劳伦斯（Lawrence） 根据实验结果， 将L-R公式改进成如下的显式形式：

使用L-R公式时，将式中的α也处理成经验常数。α主要取决于气流中心的温度T0和燃烧产物的特性，对一般推进剂差别不会太大，实验值约为α＝6（kg0.2cm-0.2s-0.2）；β为一个量纲为1的量， β越大， 意味着侵蚀燃烧效应越小。 一般推进剂的β≈50～70， 高燃速推进剂的β值可大于120。

从L-R公式中可以看出：侵蚀燃速的增量随密流G增大而增大；推进剂基本燃速 0越小， ξ值越小， 因而侵蚀燃速就越大； 侵蚀燃速增量与装药通道当量直径的0.2次方成反比。 L-R公式的不足之处主要表现在：

（1） 不能解释负侵蚀效应。

（2） 侵蚀燃速增量与α值有关， 而α又取决于燃气中心温度。 但马克伦德 （T. Marklund） 和莱克（A.Lake） 的实验表明，当压强和流速不变时，T0在1700～2500K范围内的变化不会对侵蚀燃速带来影响。 因此， 有关气流温度对侵蚀燃烧效应的影响有待进一步研究。

5.波别多诺斯切夫（Ю.А.Победоносцев） 侵蚀公式和准则

苏联学者波别多诺斯切夫提出以通气参 为变量的侵蚀函数。通气参 定义为：装药通道内某截面x处 值是该截面上游的装药燃烧面积Ab与此处装药通道截面积Ap之比， 如图3-23所示， 亦即

图3－23 通气参量æ的定义

在装药燃烧过程中， 截面1—x之间生成的燃气应全部流过x截面。 于是， 由一维定常流动的连续方程可知

式中，为燃烧表面A 上的平均燃速， 可表示成和分别为截面1—x间的燃气平均压强和装药的平均侵蚀比。定性分析时可近似取为常数， 并忽略通道中的压强降， 即取＝p。 于是， 式 （3-27） 可写成

式中

是一个主要取决于推进剂性质的系数。

式 （3-29） 表明， 对于同一种推进剂， 有

由此可见， 以æ为变量的侵蚀公式ε（æ） 反映了燃气流速和压强对侵蚀燃烧效应的综合影响。 由于固体火箭推进剂的压强指数n＜1， 因此压强对侵蚀效应的影响小于流速的影响，这是ε（æ） 与ε（G） 的区别所在。 当压强指数n减小时， 燃气压强对侵蚀燃烧效应的影响将增强。特别是，当n→0时，p1-nv→pv，此时 准则与密流准则相当。

图3-24是某双基推进剂在不同压强下的ε-æ实验曲线。 由图可见，不同压强对应的实验点掺杂在一起，侵蚀比数值差别很小。因此， 在实验压强范围内可将侵蚀公式近似处理成一个ε（æ） 表达式。于是，对这类推进剂可用æ准则即æ值的大小来控制侵蚀燃烧效应。

根据通气参量æ的定义不难看出，æ是装药轴向位置和燃烧时间的函数， 可以反映不同瞬时不同位置处的燃气流动状态。显然，装药末端的Ab最大，装药燃烧开始时的Ap最小，所以应用æ准则时通常取装药末端的初始æ值来控制侵蚀燃烧效应。根据几何燃烧定律，任何形状装药的Ab和Ap及其随时间的变化规律均可通过装药形状和几何关系计算出来，于是æ的初始值以及 随时间的变化很容易得到。所以，应用æ准则控制侵蚀燃烧效应可以方便地与发动机装药设计直接联系起来， 这是该准则的突出优点。

图3－24 某双基推进剂的ε－æ 实验曲线

以通气参量æ为变量的侵蚀公式可以写成

或

式中，th，，A，B和C均由实验确定。

为了便于应用， 引入沿装药全长的平均侵蚀比， 用φ（ ） 表示， 即

式中，2是装药末端的 值。于是，对形如式（3-32） 的ε（æ），有

式中

为了方便使用和实验数据处理， 可将式 （3-34） 拟合成标准的多项式形式， 即

注意，平均侵蚀比φ（æ） 是指ε（æ） 沿装药药柱全长的积分平均值，因此φ（æ） 表达式中的æ均为装药末端的æ2。应用专门的侵蚀燃速测试装置，可以求出侵蚀公式中的各系数值。

æ准则具有应用方便的优点， 在工程上被普遍采用。 但必须指出的是， 这一准则是20世纪四五十年代提出来的， 当时苏联主要发展双基推进剂， 推进剂品种和火箭发动机种类都很有限。 随着火箭推进技术的不断发展， 推进剂品种繁多， 其能量和燃速差别很大， 同时随着发动机的种类增多， 发动机工作条件差别甚大。 例如， 燃烧室工作压强可以低到4～5MPa， 也可高达20～30MPa。 因此，æ准则应用的局限性也日益突出。

对于某些推进剂 （如典型的双基推进剂）， 压强对侵蚀燃烧效应的影响可以反映在通气参量æ中， 可用一个统一的ε（æ） 或φ（æ） 来表示，æ越大表示侵蚀燃烧效应越严重， 因而可用æ值来控制侵蚀燃烧效应。 但是， 有些推进剂却不同，æ不能完全反映压强对侵蚀燃烧效应的影响程度， 如图3-25所示。 可见， 不同压强下有不同的ε（æ） 和φ（æ） 表达式。 这表明， 对同一个æ值， 压强不同侵蚀效应也不同。 所以，æ准则也有与J准则一样的缺陷。

图3－25 某双基推进剂的ε－曲线

需要指出的是，æ通气参量 是按燃烧面积与通道截面积之比定义的， 是一个几何参数，故又称为燃通比。 由于侵蚀燃烧效应是推进剂自身性质在特定流动条件下表现出来的现象，所以不同的推进剂就有不同的界限通气参量th。为了说明这一问题，不妨将式（3-29）改写为

可见，对于相同的æ值，当推进剂能量（RT0）不同、燃速 0不同时，对应的压强p和流速v可以有完全不同的值， 因而侵蚀燃烧效应也会有很大差别。 此外， 推进剂不同， p和v对侵蚀燃烧效应的影响程度也不相同。 所以， 不能用一个统一的æ值来控制各种推进剂的侵蚀燃烧效应，也不能按界限通气参量th的数值大小来比较不同推进剂的侵蚀燃烧效应。

6. 侵蚀公式的通用形式和通用准则

对于不同的推进剂， 压强和流速对侵蚀燃烧效应的影响程度可能是很不相同的。 J准则和δ准则只考虑流速而没有考虑压强， 而G准则和æ准则虽然考虑了流速和压强两者的综合影响， 但只能适用于某些推进剂， 没有通用意义。

20世纪80年代， 董师颜等人对侵蚀燃烧效应进行了广泛深入的系统研究， 提出了以pαvβ为变量的侵蚀公式：

式中， α和β均为实验常数。

实验表明，这种侵蚀公式是一种通用形式，能够适用于各种推进剂，因此通过pαvβ来控制侵蚀燃烧效应的pαvβ准则可称为通用准则，不同推进剂的值可以通过实验测出。例如，根据实验结果得到的某双基推进剂的通用侵蚀公式为

式中，压强p的单位为MPa，流速v的单位为m／s。图3-26所示为该推进剂的ε-pαvβ曲线。 由图可见， 不同压强下的测量结果与上式吻合甚好。

图3－26 某双基推进剂的ε－pαvβ曲线

在工程应用中还可将通用侵蚀函数的自变量改为pα β，使通用侵蚀函数ε（pα β）不仅能用来控制侵蚀燃烧效应， 也可以方便地进行内弹道计算， 从而将控制侵蚀燃烧效应与装药设计直接联系起来。 这时， 通用侵蚀公式的形式为

式中， α和β为实验常数。 例如， 实测的某双基推进剂的通用侵蚀公式为

式中，p的单位为MPa。图3-27为该推进剂的ε-pα β曲线（α＝0.270，β＝1）。

图3－27 某双基推进剂的ε－p α β曲线