概率演算在自然哲学中的应用

大多数的自然现象常常被如此之多奇特怪异的环境所遮蔽，并且如此之多令人困扰的原因混杂搅和在一起而对之施加影响，所以导致我们很难认识这些自然现象。我们可能只能通过不断增加和积累的观察和经验来发现它们，以至于这些奇异的影响最终会彼此抵消，这些平均的结果终归会将这些现象和它们形形色色的元素清晰地揭示出来。观察的次数越多、这些观察彼此之间的差异越小，其结果就越接近于真理。通过观察方法的选择、仪器的精确性以及观察步骤的谨慎，我们才能够达到最后的这一条件；然后，通过概率理论，我们就会求出那些最有利的平均结果或者说给出最小误差的那些结果。但是仅仅有这些是不够的，也必须进一步估计到将这些结果的误差包含在所给定的范围之内的概率；若不然，我们只会得到一个不完善的精确度的知识。适用于这些问题的公式是对于科学方法的实实在在的改进，把它们加入到科学方法之中确实是很重要的。它们所需要的分析是最微妙和最困难的概率理论；这也是我关于这一理论所出版的著作中最重要的主题之一，在这一著作中我已经得到了这一类的公式，不依赖于误差的概率定律，并且只包含观察本身以及其表述所给定的量，在这些方面，这些公式有着显著的优势。

每次观测都可以被分析地表述为欲求的几个因子（因素、参数）的一个函数；如果这些因子已在某种程度上被知晓，那么这个函数就是关于它们偏差的一个线性函数。如果把这个函数等同于观测自身，这样就形成了一个条件方程。如果具有大量的类似方程，就用某种方式把它们组合起来，以得到与这些因子个数相同数目的最终的方程，然后，通过解这些方程求出这些因子的偏差。但是，究竟以怎么样的最佳方法将这些条件方程结合起来以获得最终方程？我们从这些条件方程中导出的这些误差因子仍然受到有关误差的概率法则的影响，这个误差的概率法则是什么？通过概率理论，这些问题的解决方法就会清晰地显现出来。通过条件方程构造最终方程意味着用一个不确定的因数去乘每一个条件方程并将这些乘积相加；所以，必须选择那些可能给出最小误差的因数系统。但很明显的是，如果我们以其各自的概率去乘一个因子的可能误差的话，那么，最佳的体系就是在中这些积的绝对值之和达到最小的那个体系；对于任何一个误差，不管它是正的还是负的，都应该将之考虑成一个损失。那么，以这种方式，根据这个乘积的总和所构成的条件就会确定被采用的因数系统，或者说是最佳的系统。我们因此会发现这个系统就是每个条件方程中的那些因子的系数所组成的系统，所以，通过用第一个因子的系数分别乘以每一个条件方程，然后将这些被乘的方程相加，由此形成了第一个最终方程式。同理，利用第二个因子的系数可以得到第二个最终方程式，以此类推。通过这种方法，包含在大量观察中的、操纵自然现象的因素和法则就昭然若揭了。

每个因子的误差仍然令人担忧，这些误差概率与这样一个数成比例：这个数的自然对数是1，其幂等于这个误差的平方，这是一个负数，并被一个常系数所乘，这个常系数被当作误差概率的模；因为，在误差保持不变的情况下，其概率会随着前者（模）的增加而迅速减小；因此，该因子就获得了权，也就是说，模越大，也就更加接近真相。因为这个原因，我称这个模为因子的权或者结果的“权”。这个“权”在因子系统——最佳的系统中有着最大的可能性；正是它给予了这个系统超越其他系统的优越性。通过一个关于这个“权”的形象的类比——这些个体全都围绕着它们共同的重心，就像是在不同的系统中给定相同的因子，如果这些因子都来自大量的观测，那么这个总体的最佳平均结果就是每一个个体结果与其权的乘积之和。此外，各自系统结果的总的“权”是个体的权的总和；因此，总体的平均结果的误差概率与一个数成正比例关系，这个数的双曲对数为1、幂为误差的平方，这是一个负数，并被所有权的总和所除。事实上，每个权取决于每个系统的误差概率的法则，而这个法则几乎总是不可知的，但令人高兴的是，我已经成功地消除了包含它的因素——通过这个系统中观测数据的离均差的平方之和。那么，以下的目标就是可期待的了：通过所有观测数据的总和而使我们所获得的关于结果的知识更加全面，写出对应于每一个邻近结果的权。分析学为这个问题提供了即一般又简洁的方法。因此，当我们如此获得表示误差概率法则的指数时，那么结果中的误差位于给定的极限之内的概率将由这个指数与误差微分的乘积的积分表示出来，再乘以结果的权的平方根，再被直径为1的圆周长所除，积分区间为那些给定的极限^[6]。由此可以推出，为了得到相同的概率，结果的误差必定与它们的权的平方根成反比，这些权有助于比较每一误差的精确性^[7]。

为了成功地使用这种方法，必须改变观察或经验（或实验）发生的环境，为的是避免误差的恒定原因。也必须进行大量的观察，随着有待确定的因子个数的增加，观察的次数也必须增加，因为就像观测的次数被因子的个数所除一样，这个平均结果的权也增加了。更进一步，这些因子在不同的观测中也必须遵循不同的过程，因为，如果两个因子的进程完全一致，这就会使得它们的条件方程中的系数成比例，这些因子最终就化为一个未知的量，那么，通过这些观测来区别他们就是不可能的了。最后，也是当务之急，这些观测必须是精确的；这个条件会极大地增加经验结果的权，关于这个权的表达式是以偏离这个结果的观测偏差的平方之和为除数^[8]。有了这些方法措施，我们就能够充分利用前述的方法，去测量从大量观察中推导出来的结果所给予的置信度。

我们刚刚给出的法则，即从条件方程中导出最终方程的法则，就是使观察中误差的平方之和达到最小，因为，通过替代其中的观察误差而使得每一个条件方程更加精确。如果从中得出关于误差的表达式，那么很容易发现使得这些表达式的平方之和最小化的条件就是我们所讨论的这个规则。随着观察次数的增多，这个规则更加精确；但是，即使在观察次数比较少的情形下，似乎是也非常自然地应用这一同样的法则，这一法则提供了在所有的情形下获取我们孜孜以求的修正而不需要在摸索中探寻。它还有助于进一步比较关于同一星体的不同天文学表格的精确性。这些表格一直以来被认为是可以归约为相同的形式，它们仅仅是在时代、平均运动和证明的系数方面而有所不同：因为，如果其中的一个包含某个其他表格中没有出现的系数，显然这就意味着在这些表格中，把这个论证的系数作为零。现在，如果我们通过完全正确的观测数据来纠正这些表格，那么它们将会满足使误差的平方之和最小化的条件。通过基于大量的观察而进行的比较，那些最满足这个条件的表格理应受到青睐。

以上的解释方法^[9]在天文学中也可以得到有效的应用。天文学表格之所以已经达到令人惊异的精确性，是由于观察和理论的精确性，以及条件方程的运用，凭借这些条件方程，大量杰出的观测促成了因子的修正。但是，它还是遗留下求误差概率的问题，这种修正后仍存在的误差还是令人担忧的。而我刚才解释的方法使我们能够认识到这些误差的概率。为了给出关于它的一些有趣的应用，我利用了布瓦尔先生^[10]已经做出的大量工作，即他刚刚完成的关于木星和土星运动的研究，他编制了一些非常精确的表格。布瓦尔十分谨慎地讨论了这两颗行星发生冲和方照的时刻^[11]，这些都是由布拉德雷^[12]和近些年来跟随他的那些天文学家们观察到的。他已经得出了它们运动因子的修正值，和太阳的质量进行比较，将太阳的质量当作1，他的计算使他得到这样的结果——土星质量的3 512倍和太阳的质量相同。把我的概率公式应用于它们，我发现这是一个11 000对1的赌注，即在这个结果中误差还不到其值的百分之一，或者说在加入了一个世纪的最新观测资料之后，同时也使用相同的方式进行检查，结果几乎是一样的，而新的结果和布瓦尔的不同之处不到百分之一。这位聪慧的天文学家再次发现木星质量的1 071倍等于太阳的质量。我的概率方法给出1 000 000对1的比去赌这个结果的误差不到百分之一。

这种方法又一次成功地被应用于大地测量活动之中。我们利用三角测量的方法来确定地球表面大圆弧的长度，这取决于一个精确的测量基底。但不论角度被测量得多么精确，总有无法避免的误差，随着这些误差的积累，可能导致从大量三角形中得出的弧长的值会相当大地偏离实际的值。如果不能够确定这个值的误差在给定的范围之内的概率，那么对于这个值的了解就是不完善的，大地测量结果的误差是每一个三角形的角的误差的一个函数。在我被引述的著作中，已经给出了一个通用公式，用它来获得一个或多个关于大量局部误差的线性函数的概率，我们已经知晓了这些误差的概率法则；那么，不论局部误差的概率法则是什么，我们总可以通过这些公式求出一个大地测量结果的误差包含在一个给定范围内的概率。更重要的是必须使自己依赖于这个法则，因为最简单法则的本身总是有着较少的可能性，关于这一点，看一看那些存在于自然界中的无限多的情形。但是，未知的关于局部误差的法则却将一个未知量引入方程从而使我们不能将其量化，除非能够消去它。我们已经看到，在天文学的问题中，每一观测都提供了一个条件方程来获得一些因子，在每一个方程中，当因子的最可能的值已经被取代时，我们通过余数的平方之和消除了这个未知的因子。大地测量的问题没有提供相似的方程组，因此有必要寻求另一种消除的方法。每一个被观测的三角形内角和超过球面上两直角的量提供了这样一种方法。因此，我们用这些量的平方之和取代条件方程的余数的平方之和，我们赋予概率一个数，这个概率就是一系列大地测量工作最终结果的误差不会超过一个给定的数值的概率。但是，在从每个三角形三个内角中，怎样划分观测误差之和才是最有效的方法？概率的分析明显地告诉我们，每一个内角都应该减去这个和的三分之一，只要大地测量结果的权具有最大的可能性，它使得出现同样的误差的可能性减少了。然后，就如同我们刚刚所说的那样，在观测每个三角形的三内角以及对它们的修正中，这是一个巨大的进步。简单的常识表明了这种优点；但是仅仅是概率计算才能充分地利用和展示它，通过这种修正，并使之呈现出最大的可能性。

为了保证一个大圆弧值自身的精确性，这个值取决于从一个端点到另一个端点的测量基底（单位），人们要度量到另一个端点的第二个基底，可以从这些基底之一推出另一个基底的长度。如果（推演的）这个长度距观测的数据变化非常小，那么有完全的理由相信将这些基底结合起来的一系列三角形是极其精确的，所以，它就是从中导出的大圆弧长度的值。那么，通过使根据测量的基底计算基底的这种方式，这个数值可以得到再一次的修正。但是，所有的这种方式可能会陷入一种无限循环的境况，其中，这种无限循环更倾向于有着最大权的大地测量的结果，因为在这种情况下出现同样的误差的可能性减少了。概率的分析给出了从几个基底的测量结果中直接获得最佳结果以及由基底的多样化所产生的一些概率法则的公式，由于这种多样化而使得结果迅速减少的法则。

一般来说，从大量观测数据中所推演出来的结果的误差是关于每个观察的局部误差的线性函数。这些函数的系数取决于问题的性质以及获得这些结果所遵循的过程。显然，最有效率的过程是结果中相同误差出现的概率比其他任何过程中的都要小。那么，概率演算在自然哲学中的应用主要在于用分析的方法确定这些函数值的概率以及通过最快减少的概率法则选择未确定的系数。然后，利用问题中的数据，消去公式中几乎总是由未知其概率规律的局部误差而引入的因子。我们或许就可以求出结果误差不超过某个给定值的概率的数值。我们将因此而获得我们希望了解的从大量观测中推演出的结果的一切信息。

通过其他方法也可以获得一些好的近似结果。例如，对同一个量进行了一千零一次观测；所有这些观测的算术平均值是最佳方法所给出的结果。但是，人们可以在每个局部值离差的绝对值之和达到最小的条件下选择这个结果。的确，从表面是看来，把满足这个条件的结果作为十分近似的结果是自然的。很容易看到，如果按照量的顺序来安排这些由观察所给定的数值，一个满足前述条件的值就是一个中值，计算表明在无限多次观测的情况下，这个值将与真实的值一致；所以由这个最佳方法所给出的结果仍然是较好的。

通过上面的讨论，我们看到，概率理论没有给予处理观察误差的分布方式留下任何随心所欲的余地；对于这种分布，它给予了我们最有效的公式，即尽可能地减小结果中令人担忧的误差。

概率的思考有助于我们察觉出被观察误差所遮蔽的天体运动的微小的不规则性，以及在这些运动中找到观察中异常情况的原因。

在所有观察的比较研究中，正是第谷·布拉赫^[13]认识到将一个时间方程应用于月亮的必要性，这个方程不同已应用于太阳和他行星的方程。相似地，正是大量观测的总体，而且就是这些数据让迈耶认识到进动中的不等式的系数对于月亮来说应该有所减小。这种减小的情况尽管被梅森所证实甚至加强，但是它看起来并非是万有引力的一个结果，大多数天文学家们在计算中忽略了这种情况。出于这个目的，我们已经将所选择的大量的月球观察结果置于概率分析之下，应我的要求，布瓦尔友好地同意考察这种现象，对我来说，这种减小以如此大的概率显示出来，以至于我相信应该探索它的原因。不久我就发现这个原因只是因为地球的椭圆率，这是在当时的月运动理论中一直是被忽视的，因为它只能产生一些不易察觉的因素（terms）。我断定这些因素通过差分方程的逐次积分而被人们所察觉。随后，我通过特殊的分析来确定这些因素，首先我发现了纬度方向上的月运动的不等式，它与月亮经度的正弦成正比例关系，这样的观点在之前没有任何一个天文学家怀疑过。然后，通过这个不等式，我认识到，在经度方向上的月运动中存在另一个不等式，是它产生了迈耶在应用于月球的进动方程中观察到的减小现象。这种减小的量和前述的纬度的不等式的系数非常适合于求解地球的扁率。我已经将我的研究成果告知了伯格先生^[14]，当时他正忙于通过比较所有合适的观测数据而完善月球表，我恳求他特别仔细地确定这两个量。由于一个了不起的协议，他发现的值给出了地球相同的扁率值，即1/305，这个值与子午线和单摆的测量度数的中值差别非常小；但是，在这些观测中显现出的扰动的原因以及观察的误差，在我看来，还不能通过月球不等式精确地确定它们的影响。

通过对于概率的仔细考虑，我再次发现了月球的特征方程的原因。与古代的月食相比，对于这个天体的近代观测向天文学家们显示了月亮运动中的加速现象；但是几何学家们，尤其是格拉朗日拒绝接受它，已经在这个运动所经历的扰动中徒劳地寻找这种加速所依赖的因素。仔细检验古代和现代的一些观察以及由阿拉伯人观察到的中间月食现象（intermediary eclipse），使我相信它将以极大的概率显示出来。所以，从这一观点出发，我再次研究月球理论，我认识到月球的特征方程是由于太阳作用于这颗卫星的缘故，同时它又和地球轨道偏心率的长期变化相结合；这些使我发现了交点运动和月球轨道近地点的特征方程，天文学家们还没有对这些方程产生怀疑。这个理论与所有古代和现代的观察有着非常显著的一致性，这一点就已经赋予了它极高的确信度。

以同样的方式，概率演算使我知道了木星和土星运行巨大不规则的原因。通过比较近代和古代的观测资料，哈雷发现了木星运动的加速现象以及土星运动的滞留现象。为了核对这些观测数据，哈雷将这个运动化归为异号的两个特征方程，并随着自1700年以来的时间的平方而增加。欧拉和拉格朗日用分析学处理了在这些运动中两颗行星相互吸引所产成的变化。在这种情况下，他们发现了一些特征方程；但他们的结论是如此的不同，其中至少有一个是错误的。所以，我决定再重拾这个天体力学的重大问题，同时我认识到了平均行星运动的不变性，这种不变性使哈雷在木星和土星的表格中所引进的特征方程毫无用处了。因此，为了解释这些行星运动的巨大不规则性，有几位天文学家只求助于彗星的引力，长期不规则性的存在是由于在两个行星运动中它们的相互作用以及它们自己的对立星座的影响而产生的。我发现的关于这类不等式的定理使得这种不规则发生的可能性极大。根据这个定理，如果木星在做加速运动，那么土星就在做减速运动，这种现象与哈雷注意到的现象相吻合；而且，根据同一个定理，木星的加速度与土星的减速度之比非常接近于由哈雷提出的特征方程所给出的结果。考虑到木星和土星的平均运动，很容易就发现木星加速度的两倍和土星减速度的五倍相差一个很小的数量值。拥有这样一个差值的一个不规则周期大约是九百年左右，当然，关于这一点是有争论的。事实上，它的系数就轨道偏心率的三次方的阶；但是我知道，凭借逐次积分的力量，在这个不等式的参数中，它作为除数就获得了极其小的时间乘数的平方，这个不等式能够给予它一个比较大的值；对我来说这种不等式的存在是非常可能的。随后的观测结果增加了它的概率。假设在第谷·布拉赫观测的时代，关于它的参数是零，我注意到哈雷通过近代和古代观察结果的比较应该发现了这种变化，他已经指出了这一点；而通过近代观察与其他观察的结果的比较，应该显示出相反的变化，这种变化相似于兰伯特从这种比较中已经得出的结论。所以，我毫不犹豫地承担起这个冗长且必要的计算，以此来确定这个不等式的存在。通过计算的结果，这一点得到了完全的证明，同时这一计算更进一步让我认识到大量的其他不等式，其总体使得关于木星和土星的表格具有同样观察的精确性。

再次通过概率计算，我认识到了关于木星的前三个卫星平均运动的令人惊奇的规律。这个规律是第一个卫星的平均经度减去第二个的三倍再加上第三个的两倍正好等于半圆周长。这些行星平均运动的近似值满足这一法则，因为它们的发现就表明了它们以一个极大的概率存在。随后，我要在这些天体的相互作用中寻求这种规律的原因。对于这种作用的检验使我足够相信最初它们平均运动的比在一定的极限内已经接近这个规律，因为它们的相互作用已经建立并严格地保持了它。因此，根据前面的法则，这三个天体在太空中永远彼此平衡，除非出现像彗星这样的奇异原因突然改变了它们围绕木星的运动。

因此，当自然界发生的事件是大量观察的结果时，我们是多么需要去留意大自然的种种迹象，尽管在其他方面，通过已知手段它们可能还是无法解释的。与这个世界体系相关问题的极端困难已迫使几何学家们求助于近似方法，而这样做总是会给忧虑留下了空间，担忧忽略了某些因素，因为这些被忽略的因素可能起着相当大的影响。当这些观察已经警示他们这一影响时，他们已经转向了分析；为了修正它，他们一直努力去寻找所观察到的这些异常的原因；几何学家们已经确定了一些的法则，并常常预测到一些现象以发现那些还没有向他们显露的不等式。因此，可以这样说，自然本身向人们展现出基于万有引力定律的理论分析的完美性，而且在我看来，这也是这个令人钦佩不已的定律的正确性最强有力的论证之一。

在我刚刚已经探讨的情况中，对于这些问题的分析解法已经将原因的概率转化为确定性。但是在多数情况下，这种解法是不可能的，同时它只是越来越多地增加了这个概率。在大量的不可计数的改变值之中，一些奇异的因素致使这些变化对原因的作用产生了影响，这些原因与可观察到的结果保持着一些合适的比例关系，由此使得它们可以被认识并且其存在性可以被证实。确定这些比率和通过大量的观测来比较这些比率，如果发现他们不断满足这个比率，那么原因的概率就可能会增加到与事实的概率相等的程度，关于这一点是毋庸置疑的。在自然哲学中探讨原因与它们的结果的比的意义并不低于直接解决问题的意义，不论它是去验证这些原因的真实性还是从它们的结果中探寻规律法则；因为这种方法可能被用于不可能直接求解的大量问题中，这种方法以一种最有效的方式取代了直接求解方法。在这里将讨论我提出的一个应用——在自然界最有趣的现象之一中的应用，即大海的潮涨潮落。

关于这种现象，盖乌·普林尼·塞孔都斯^[15]曾经给出一个引人瞩目的精确说明，在其中，可以看到古人已经观察到每个月的朔望时潮水最大，在弦月（方照）的时候最小；而且潮水在月球近地点的时候高于在远地点的时候，在二分点（春分点、秋分点）的时候高于在二至点（夏至点、冬至点）的时候。从这里他们得出结论——这种现象是由于太阳和月亮的运动对海洋的影响。在开普勒的著作《论火星的运动》^[16]的序言中，他认识到海水相对于月亮的一种趋势，但对于操纵这种趋势的规律却一无所知，他只能够给出关于这个问题的一个可能的想法。牛顿通过把这一问题与其伟大的万有引力定律相联系，从而把这种想法的可能性转化为确定性。他给出了引起洪水和海水潮汐的引力的精确表达式，并且为了确定这些影响，他假设在每一瞬间海洋都处在与这些引力相适合的平衡状态。他以这种方式解释潮汐的主要现象。从这个理论中可以得出——如果太阳和月亮之间有着很大的夹角，在我们的港口，同一天的两次潮汐是非常不同的。例如，在布雷斯特（Brest），在二至点的合冲期，晚潮会比早潮大大约八倍，这肯定是与观测结果相矛盾的，观察的结果证明两次潮汐十分接近。这个从牛顿理论中导出的结果是在以下假设之下才可能成立的：假设每一瞬间海洋都处于一个平衡状态，这是一个未被承认的假设。但是，对于海洋真实图景的探索显示出极大的困难。通过几何学家们在流体运动理论和差分方程的计算中新发现的帮助，我着手开始进行这项研究，并通过假设其覆盖整个地球表面而得到了关于海洋运动的微分方程。因此，通过如此方式接近于自然，我十分高兴地看到我的结果接近于观测的结果，特别是在同一天的二至点合冲期我们港口的两个潮汐之间的微小差异。我发现如果大海每一处的深度都是相同的，那么它们也就是相同的；我还进一步发现，通过赋予这个深度一些适当的值，就会增加一港口潮汐的高度，这个数值与观测的结果相一致。尽管这些研究具有一般性，但是，还不能满足所有的巨大差距，即使邻近的港口显示出这种巨大的差异，由此也说明了当地环境的影响。掌握这些环境的不可能性、海床的不规则性，以及对偏差分方程积分的不可能性迫使我通过上面的方法来指明其缺点。然后，我努力去确定影响所有海洋分子的力之间的最大比率关系，以及在我们的港口能够观测到的这些影响。为此，我用到以下的法则，这个法则可能也适用于许多其他现象。

“一个物体系统的状态，如果这其中运动的最初条件因为此运动所遇到的阻力已经消失，那么这种运动就会变成周期性的，就像是有作用力在推动它一样。”

把这个法则和微小振荡共存的法则相结合，我就发现了一个关于潮汐高度的表达式，其随意态包含每一个港口的当地环境影响，并尽可能降低到最小的可能性；就不需要再通过大量的观测来比较它们的高度。

受科学院的邀请，在本世纪初期，我们在布雷斯特进行了一些关于潮汐的观测活动，这些观测持续了六年时间。这个港口的情况对于这种观测是十分有利的，它通过一个运河与大海相连，这条运河通向一个非常宽阔的天然海港，在其尽头就是建立的这个港口。因此，大海运动的不均衡只对这个港口有着微小程度的影响。就好像在气压计中，容器的不均衡运动被这个仪器管中所生成的节流消除了。此外，在布雷斯特需要考虑的潮汐和由大风引起的突然变化都只是微弱的；同样，我们注意到，只要增加一点对于潮汐的观测，一个显著的规则性就会显现出来，由此，我向政府提出一个建议：在这个港口进行一系列新的潮汐观测，这些观测要持续超过月亮轨道交点的一个运动周期。这个建议已经被采纳。观测开始于1806年6月1日；从那时起，这项工作一直在进行而没有间断过。我要感谢布瓦尔对于所有这些有趣的天文现象坚持不懈的热情，以及他对我的分析与观测所要求的数据进行比较所做的大量计算。他用了大约六千个的观测数据，这些观测是在1807年及随后的15年里进行的。这种比较说明：我的公式以显著的精确性表达了潮汐的所有变化，这些变化与这些因素有关：月亮距太阳的偏离、这些天体的倾斜、它们到地球的距离，以及其中每一个达到最大值最小值时的变量定律。从这里得到一些结果：大海的潮起潮落是由于太阳和月亮的引力，这个概率是如此确定以至于没有为任何的怀疑留下余地。事实是，它化为一种确定性，至此，让我们思考一下，引力是源自万有引力定律，所有的宇宙现象都遵循这个定律。

月亮对大海的作用是太阳对其作用的两倍。在对这个作用的解释中牛顿和他的继任者们只关注的那些被月亮到地球距离的立体所除的项，并断定其他项的影响应当是微不足道的。但是，概率的计算却显示，即使最细微的影响也能够在非常大量的观察结果中被察觉到，这些观察以最适合于这些结果显露的方式来排列。这种计算又一次确定了它们的概率，并且规定了需要增加多少观察才能使得这个概率很大。通过把这些应用到布瓦尔所讨论的大量观察中，我认识到在布雷斯特，满月期间月亮对大海的作用比新月期间的作用要大，月亮在南方时其作用要比在北方时的作用大——这些现象只是由月球作用被月地距离的四次方所除的一些因素引起的。

月球和太阳的作用穿过大气层而到达海洋，相应地，大气层也应该能够感受到这种影响并产生类似于大海的运动。

这些运动在气压表中产生周期性振动。所做的分析已经明确向我们表明，这些振动在我们所处的气候中是难以察觉的。但由于当地环境会相当明显地增加我们港口的潮汐，我再一次产生疑问——类似的情况是否可以使气压表的周期振动为人们所察觉，为此，我查阅了皇家天文台许多年来每天都记录的气象观测数据，这些记录包括早上九点、中午、下午三点和晚上十一点观察气压表和温度计的读数。而布瓦尔先生实际上从1815年10月1日到1823年10月1日作了八年的观测数据的记录。处理这些观测数据最合适的办法就是在巴黎表明月球大气的流动，我发现气压表相应的振动程度只有1毫米的十八分之一。正是这一点尤其使我意识到需要一个求结果概率的方法，如果没有这样的一种方法，人们就不得不把不规则原因的结果表示为自然的规律，这些不规则原因的结果经常发生在气象学中。这种应用于前述结果的方法表明了它的不确定性，尽管已经进行了大数次的观察，它还需要增加十倍的观察次数，以便获得一个足够可能的结果。

作为我的潮汐理论的基础法则，或许可以推广到所有的偶然性的结果中，根据通常的规律，一些可变的原因也参与在这些原因之中。在大数次事件的平均结果中，这些原因的作用会产生一些变化，这些变化遵循同样的规律并且可以通过概率的分析被认识到。随着所观测事件的数量的增加，这些变化也会以一个不断增加的概率而显露出来，如果这些事件的数量变成无限时，这个概率就趋向于确定性。这个定理类似于我基于恒定原因的影响而得出的结论。那么，任何时候，如果一个过程是规则的原因能够对一类事件施加影响，那么我们通过大量的观察，以及通过展现它的最可能的秩序来安排它们，就可能会发现这个原因的影响。当这种影响似乎要彰显出来时，对其本身的概率分析决定了其存在的概率以及其强度的概率；因此，从白天到夜晚的气温变化改变了大气压力，作为相应的结果，即气压表的高度的变化，这便会让我们自然想到对于气压计读数的观测次数的增加应当揭示出太阳热量的影响。事实上，长期以来，人们一直认为在这种影响似乎最大的赤道上，气压表的高度每个白日都有一个微的变化，大约在早上九点达到最大值，大约在下午三点达到最小值。第二次最大值大约发生在晚上十一时，第二次最小值大约发生在早上四点。夜晚的变化幅度比白天的小，其范围大约是两毫米。气候的易变性并没有从我们的观察中隐匿不露，虽然在这里可能不如在热带更为明显。雷蒙德^[17]在克莱蒙（Puy-de-Dme地区的首府）通过数年期间取得的一系列精确的观察已经认识到并确定了这种现象，他甚至已经发现——气压变化在冬天的几个月是小于其他月份的。为了估计太阳和月球的引力对巴黎地区的气压的影响，我所讨论的那些观测有助于确定白天气压的变化。通过将这些天中早上九点钟与下午三点的气压高度进行比较，就会发现这种变化是如此的显著，以至于在从1817年1月1日到1823年1月1日的72个月中，其每个月的平均值一直保持是正的；在这七十二个月的平均值大概是0.8毫米，这个值略小于在克莱蒙的值，但比在赤道的相应值要小得多。我已认识到，从上午九点至下午三点气压白天变化的平均结果在十一月、十二月、一月的三个月内仅仅只有0.542 8毫米，而在接来下的三个月里，这个变化会上升到1.056 3毫米，这与雷蒙德先生的观察不谋而合。其他月份则没有提供类似的趋势。

为了将概率演算应用于这些现象中，我开始着手寻求随机选取的日变化出现反常的概率规律。然后，再将其应用于对此现象的观测中，我发现可以下一个300 000对1的赌注去赌这样一种可能性：一个规则的原因致其产生。我不寻求去确定这个原因，能够确定它的存在就令我满足了。由太阳日所控制的日变化的周期明确地显示这种变化是由于太阳的作用。太阳对大气的吸引力的极其微小的引力作用被一些微小的影响所证明，这些影响是由于太阳和月球的联合引力。正是通过太阳热的作用，太阳引起了气压的日变化。但是，不可能计算出这种作用对于气压计的高度以及气流的影响。磁针的日变化肯定是太阳作用的一个结果。但在这里，是否就像在气压的日变化的情况下一样，这个星体通过太阳的热，或者通过它对电和磁的影响，或者两者兼有的影响而施加作用？在不同国家所作的一系列观测使我们对此有所领悟。

在宇宙体系中，最引人关注的现象之一是所有的行星和卫星的旋转与自转的运动都是以与太阳自转的方向进行的，并且都是几乎在同一赤道平面上进行的。如此显著的一个现象不是偶然的结果：它表明了有一个普遍原因决定了所有的这些运动。为了获得显示这个原因的概率，我们应该注意到行星系统是由十一颗行星和至少十八颗卫星组成的，像赫歇尔一样，如果我们将六颗卫星归属于天王星的话，这正如我们今天所知道的一样。我们已经认识到了太阳、六颗行星、月球、木星的卫星、土星环及其一个卫星的旋转运动。由这些旋转运行所形成的运动共计有45种，它们都在前述的相同方向和平面上进行；通过概率分析，就会发现可以下一个超过4 000 000 000 000对1的赌去赌这样一种可能性：这种安排不是偶然的结果，这个概率远远超过了那些确凿无疑的历史事件存在的概率。那么，我们至少应当怀着同样的信心相信一个最初的原因操纵了行星的这些运动，特别地，如果我们考虑到这样一个事实：出现次数最多的运动对于太阳赤道的倾斜角度是非常之小。

太阳系的另一引人瞩目的现象是行星和卫星轨道的偏心率的微小度数，而彗星的轨道是偏长的，而系统的轨道并没有提供一个大偏心率与一个小偏心率之间任何的中间体。在这里我们不得不再次承认一个规则的原因的影响；偶然性肯定不会导致所有的行星及其卫星的轨道都几乎是圆形的，正是决定这些天体运动的那个原因使得它们是圆的。彗星轨道的大偏心率应该也是由于这样的原因所致，这个原因没有影响到它们的运动方向；因为发现逆行彗星与直行彗星的数量几乎同样多，而且他们所有轨道与黄道的平均倾斜角非常接近于直角的一半，如果这些天体是被随机投掷出去的，它就不会是这种状态了。

无论我们正在讨论的原因的本质是什么，因为它已经引起或者说操控了行星的运动，所以它应该包含所有的天体就是必需的了，考虑到分离开这些天体的距离，它只能是一个巨大流体状的物质的扩展。因此，为了使它们在与前述同样的状况下围绕太阳作几乎是圆周的运动，就必须认为该流体应该像大气层一样环绕着这个星球。对于行星运动的思考引导我们认识到，由于过多的热，太阳的大气层最初超越了所有行星的轨道之外，而且它已逐渐收缩到其目前的大小。

让我们想象一下处于最初状态中的太阳，它看起来就像通过望远镜呈现在我们眼前的星云那样，好像是由一个或明或暗的核心组成，其核心的周围围绕着一团正在向这个核心表面收缩的星云状物，这应当会在某一天将之转化成一个恒星。如果用类推法设想所有的恒星以这种方式形成，那么，在早期状态之前的星云本身就是其他的状态，其中，星云物质越来越扩散，核心越来越明亮与密集。如果尽可能的向前回溯，将会得出这样的一个结论，即一个星云是扩散弥漫的，人们几乎很难想象它的存在。

这些现象是赫歇尔通过其强大的望远镜观察到的星云的最初状态，并且，他追踪了收缩的进程，这些进程的阶段只有在几个世纪之后才能为人们所察觉到，这种观察也不是在单一的星云中，而是在整体上进行的，就好像我们要追踪观察一片广阔森林中的一些树木的增加，要通过观察这片森林所包含的不同时期的一些个体。他注意到，起初的星云物质以多种多样的块团向太空的不同区域扩散，而且它们占据了其中大量的空间。他已经观察到在这些团块的某些区域，这种物质稍微有些收缩成一个或几个微弱发光的星云。在其他星云中，这些核心光芒闪耀，并且它们的亮度与围绕它们的星云量成正比。每个核心的大气层都因为进一步的收缩而分离，在那里，结果是形成带有明亮核心的多种星云，它们彼此邻近，且各自被一个大气层所包围；有时，星云物质通过以一个一致的方式收缩，就形成了星云，即我们所称的行星状星云。最后，一次大幅度的收缩把所有的这种星云变成了恒星。根据这样的哲学观点进行分类的星云表明它们的未来以极大的可能性会转变为恒星，并且也表明了现存恒星早先的星云状态。以下的思考便是对来自这些分析的证据支撑。

长时间以来，肉眼可见的某些恒星的特殊倾向已经引起了哲学观察家们的注意。米切尔已经表明过，例如，昴宿星团中的恒星只是由于偶然性而被束缚在一个狭窄的空间中，这是不可能的。他从中得出结论这组恒星以及相似的恒星群是一个初始原因或者一般的自然法则的结果。这些恒星群是几个核心星云收缩的一个必然结果；很显然星云物质连续地被多种核心所吸引，它们应该逐渐地形成了类似于昴宿星团的恒星群。围绕两个核的星云的收缩相似地形成了两个相邻的恒星，一个围绕着另外一个旋转，就像那些赫歇尔已考虑到其各自运动的恒星。进一步发现的这种现象是天鹅座61号及其一颗伴星，贝塞尔^[18]刚刚认识到其中的特殊运动是如此不容忽视和相似，以至于这些恒星彼此靠近并且围绕一个共同的引力中心运动是毫无疑问的。因此，通过星云物质收缩的程度就会达到对于被大量气体所环绕的太阳的思考，这一点在前面已讨论过。正如我们看到的，这是我们通过对太阳系现象的检验而做出的思考。这个引人关注的例子赋予了太阳存在着这种原始状态以接近确定性1的概率。

但是，太阳大气层是如何决定了行星和卫星的自转与公转运动的？如果这些天体已经渗入到太阳大气之中，那么它所遇到的阻力将会导致它们落向太阳，而后，人们就会相信行星很可能是在太阳大气层的一些相继的界限内形成的。这些气体由于冷却而被压缩，它们应该在赤道平面上遗留下一些气体带，其分子的相互引力将它们转换成椭球体。卫星都是通过它们各自行星的大气层以相似的方式形成的。

我在《宇宙体系论》一书中发展了这一假说，在我看来，这个假说满足该体系向我们呈现的所有现象^[19]。在这里我只限于考虑到太阳和行星自转的角速度，它受到天体表面大气的收缩而加速，它应该超过了围绕它们旋转的最近天体公转的角速度。对于行星和卫星，甚至土星环的观测已经的的确确证明了这一点，土星环的公转周期是0.438天，而土星自转的持续时间为0.427天。

在这个假说之下，彗星是行星系统的不速之客。把它们的形成与星云的形成联系起来，我们可以把它们当作是带有核心的小星云，它们从一个太阳系流浪到另一个太阳系，它们是由大量扩散在宇宙中的星云物质的收缩而形成的。因此，彗星与我们太阳系的关系就像陨石相对于地球一样，它们看起来就是不速之客。当这些天体为我们所见之时，它们与星云如此相似以至于时常将它们误认为是星云；只有通过它们的运动，或是通过了解在太空部分区域出现的所有星云，我们才能成功地区别它们。这一假设以令人满意的方式解释了彗星靠近太阳时头部和尾部巨大的拓展，这些极其罕见的彗尾，尽管有着巨大的厚度，但是，一点没有减弱透过它们所看到的一些星星的亮度。

当小星云进入太阳的引力占主导地位的空间区域时，我们将之称为这颗恒星的作用区，它们就会被迫沿椭圆或双曲线的轨道运动。但他们的速度都指向任何方向，所以他们应该无差别地向所有方向运动，并且与黄道可以成任何的倾角，这与我们观察到的现象相符合。

彗星轨道大的偏心率也可以从前述的假设中推导出来。实际上，如果这些轨道是椭圆形的，那么它们必定是非常狭长的，因为它们的长轴至少等于太阳的作用区的半径。但是这些轨道也可能是双曲线形的；如果与从太阳到地球的平均距离相比较，这些双曲线的轴并不是很大，那么彗星的运动所描画的轨迹将显然是双曲线形的。然而，在我们已经了解其原理的上百颗彗星中没有一颗确定地显示以双曲线的轨道运行；那么，就必须认为具有一个可察觉的双曲线轨道的偶然事例应当是极其罕见的，这是相对于相反的偶然事例而言的。

彗星是如此之小，以至于如果能够为我们所见，它们的近日点距离应该被忽略不计。截至现在，这个距离仅仅超过地球轨道直径的两倍，而且最常见的情况是它小于这个轨道的半径。可以这样设想，为了接近太阳，它们在其进入到太阳作用区时的那一刻的速度应该有一个被限定在狭窄范围内的大小和方向。通过概率的分析去求出在这些范围内给出一个明显的双曲线轨道的可能性与给出一个相近于抛物线轨道的可能性之比率，我发现这至少是一个6 000对1的赌注去赌这一种可能性：一个穿入太阳作用区的星云，会以如此一种方式被观察到，其运动将描画出或者是一个非常狭长的椭圆或者是一个双曲线的形状。由于其轴的大小，后者在观察到它的区域明显地被误当作抛物线了；所以，直到今天，双曲运动还没有被认识到也就不足为奇了。

行星的吸引力，或者更进一步，太空中心的阻力，应该已将许多彗星的轨道转化为椭圆形，它的长轴小于太阳作用区的半径，这增加了椭圆轨道的可能性。我们可以相信这种变化已经在1759年的彗星中发生了，这颗彗星的持续时间只有一千二百天，它不停地在这个短暂的时间间隔内一再出现，直到它每次返回到近日点所经受的蒸发最终使它消失为止。

通过概率的分析，我们可以进一步验证特定原因的存在或影响，人们相信它们的作用对有机物质也会产生影响。在自然界中，在所有我们可以用仪器去认识自然的极其细微的物质中，最敏感的就是神经，尤其是在特殊原因增加其敏感性的情况下。借助于它们，可以发现由于异质金属之间的接触而产生的微弱电流，这一点为物理和化学的研究者们开辟了一个广阔的领域。在某些个体中由神经的极端敏感性而导致的奇异现象引起了关于以下议题的多种观点的产生，首先是关于被称作为动物磁性的一种崭新的使然力的存在，关于一般磁性的作用，关于太阳和月亮对一些神经系统条件的影响，最后是靠近的金属或者流动的水使之产生的感觉影响。很自然地人们会认为，这些原因的影响是非常微弱的，而且它可能很容易受到偶然因素的干扰；因此，即使在一些情况下它丝毫没有显露出来，其存在性也不应当被否定。我们还远远没有理解所有的使然力以及它们丰富多彩的作用模式，就缺乏哲学思考地否定了一些孤立现象的存在，只是因为以我们目前的知识状态，这些现象是难以解释的。但是，它们越是难以被人接受，我们就越要更加谨慎地检验；正是在这里，概率的演算成为不可或缺的：确定怎样增加必需的观察或者实验，以便获得使其显示出来的使然力的概率，即超过你不接受它们的所有理由的概率。

概率演算可以使人们认识到思辨科学中所用方法的优势和不足之处。因此，在疾病的治疗中为了发现所用的最佳治疗方案，就要充分地将每一个方案在同等数目的病人身上进行试验，并且使所有的条件精确地相似；那么，最有效的治疗方案的优越性将会随着数量的增加而在试验中显现出来；随着观测数据的增加，最优方案自身的优势将会越来越体现出来；计算将会清晰地显现出其优势的相应概率，以及据此可以断定优于其他情况的比率的相应概率。