数学证明的基本特征

第一节　数学证明的基本特征

在维特根斯坦的数学哲学思想中，数学证明问题占有非常重要的地位。他说：“数学哲学就是对数学证明的一种精确的研究，而不是用空想包围数学。”（v.4，p.344，§23）因此，无论在20世纪30年代所写的《哲学评论》、《哲学语法》等著作中，还是在40年代所写的《论数学的基础》等著作中，他都用大量篇幅谈论数学证明问题。

对于什么是数学证明，或者说，对于数学证明有哪些基本特征，维特根斯坦没有作过系统的说明。不过，从他关于数学证明的论述中，可以看出他认为数学证明具有以下这些基本特征：数学证明必须是显而易见的、确凿无疑的、可重复的，数学证明具有规范性，它所显示的是内在关系，而不是外在关系，如此等等。

按照维特根斯坦的观点，数学证明必须是显而易见、一目了然的，这是数学证明的一个基本特征。他说：“证明必须是显而易见的。”（v.7，p.133，§55）“证明必须是一种显而易见的程序。或者说，证明就是那种显而易见的程序。”（v.7，p.121，§42）在证明过程中，我们往往要进行多次替换，相同的替换总是产生相同的结果，这是数学证明的明显之处。如果不存在这种明显之处，如果人们对这种替换产生怀疑，那么这种证明就会失败。

在维特根斯坦看来，数学证明必须是确凿无疑的。如果人们怀疑数学证明的正确性，那么这种证明就会失去作为指导者的作用。例如，当我们用一种计算验证另一种计算时，通常总会得出相同的结果。这就是说，证明包含有对于正确地再生产证明的公认标准。他说：“在怀疑表现为这是否真的是这个证明的图式的地方，在我们决意怀疑证明的同一性的地方，证明就失去它的指导力量。因为证明对于我们是被用做度量的。”（v.7，p.109，§21）

维特根斯坦认为，数学证明之所以应当是确凿无疑的，是因为我们把数学证明看做语法规则，换句话说，正是由于数学证明被表现为语法规则，因此，凡是已经得到证明的东西都应当是确凿无疑的。他说：“我要说，承认一个命题为确凿无疑的，即意味着把它用做语法规则；这就去除了它的不确定性。”（v.7，p.118，§39）他还认为，证明使我们确信某些东西，但引起我们兴趣的不是确信这种精神状态，而是与这种确信相关联的应用。当我说“证明使我确信某些东西”时，表达这种确信的命题不必在此证明中构造出来。例如，当我们做乘法时，并不需要用“…×…=…”这样形式的命题把结果写出来。因此，人们说，乘法使我们这么确信，而我们并没有说出表达这种确信的语句。他说：“在数学中，我们确信语法命题；因此，这种确信的表达，即结果，就是我们接受一种规则。”（v.7，p.112，§26）

与此相关，数学证明的另一个重要特征是：数学证明必须是可重复的，也就是可以被再度一模一样地生产出来。他说：“证明向我们表明应该得出的东西。因为每一次重新作出的证明必定会显示同样的东西。所以，一方面它必定会自动地重新产生结果，而另一方面它必定也要重新产生得到这个结果的强制性。”（v.7，p.132，§55）这就是说，我们重新得到的不仅是曾经产生这种结果的条件，而且还有这个结果本身。或者说，一方面，我们必定会完全自动地重新得到这个证明，另一方面，这种重新产生必定还是对于结果的证明。

维特根斯坦还用另一种方式表达他的上述这个观点。他说：“我们只把这样的结构叫做‘证明’，其再生产是一项轻易可解决的任务。必须可以确切地决定，我们实际上是否有两次相同的证明。证明必须是图像，它肯定可以准确地再生产。”（v.7，p.96，§1）这就是说，数学证明的本质在于它肯定可以被准确地再生产出来，就像可以用两种不同的颜色或笔画把证明描绘出来那样。不过，证明的再生产不应属于那种对于颜色或笔画的准确复印，因为它所证明的是几何学命题，而不是关于纸张、圆规、米尺、铅笔等等的特性的命题。在这方面，他认为文字的证明优于图形的证明，因为图形的证明的本质常常被误解，例如，欧几里得证明的图形可能是不精确的，这就是说，画出的直线并非是真正的直线，画出的圆形并非是真正的圆形，如此等等。

维特根斯坦还强调数学证明具有规范的性质，他说：“证明使得我要说：它必须像这样。”（v.7，p.114，§30）因为，数学证明的本质在于把语法规则刻画出来。他说：“在数学中，我们确信语法命题；因此，这种确信的表达，即结果，就是我们接受一种规则。”（v.7，p.112，§26）换句话说，数学证明使某些语法惯例确立起来，这些惯例使命题像语法规则那样发挥作用，数学证明就是命题语法的一部分。在这里，重要的是在那些构成命题的基础的概念之间形成一种内在的关系。他说：“当我说，一个证明引入一个新概念，我的意思大致是这样：对于语言的范例，证明提出了一种新范例。”（v.7，p.115，§31）这就是说，证明改变了我们语言的语法，改变了我们的概念，它产生了新的联系，它创造了这些联系的新概念。

维特根斯坦对证明的这种看法与传统的“证明”概念有所不同。按照传统的观点，证明只不过是任何一系列用以得出定理的推论。维特根斯坦却不是强调所采取的某些特定步骤，而是强调所形成的某些联系。因此，我们不是根据某些特定的步骤把某些证明区别开来，而是根据这些证明是否构成同样的规则而把它们区别开来。他说：“‘如果两个证明使我确信的东西相同，那么这两个证明就是同一个。’它们使我确信这些东西相同是在什么时候?我怎么知道它们使我确信的东西是相同的?当然不是通过内省而知道的。有各种各样的途径使我接受这个规则。”（v.7，p.135，§58）例如，人们教导学生们利用各种辅助证明技巧去构造欧几里得几何学证明。按照传统的观点，我们认为利用这些不同的技巧对同一个命题所作的证明是不同的；而按照维特根斯坦的观点，我们在这种情况下作出的是同一种证明，尽管其外貌有所不同。

维特根斯坦认为，人们在证明中通过种种努力获得一些认识，这些认识在所得出的最后命题中被表述出来。此时，这些认识不依赖于证明，它们被独立地使用，没有证明附着于它们。换句话说，人们在证明过程中通过种种努力作出一些决定，证明把这些决定纳入一个决定系统之中，也就是置入一个规则系统之中。他说：“由证明而形成的命题被用做规则，并因此而被用做范型。因为我们按规则行动。”（v.7，p.113，§28）证明不仅使我们按规则行动，而且它还向我们说明我们应该如何按规则行动。他说：“我认为证明的作用在于使人们投入新的规则中去。”（v.7，p.179，§36）如果一个命题在应用时显然不适合，那么证明必须向我们表明这个命题为什么不适合，必须怎样才能适合，这就是说，我们必须怎样使这个命题与经验相适合。因此，证明也是对规则用法的一种说明。他说：“数学命题具有双重特征——它是定律，也是规则。”（v.7，p.172，§21）

维特根斯坦强调数学证明所显示的必须是内在关系，而不是外在关系。他说：“数学证明所显示的东西将作为内在关系建立起来，不再受到怀疑。”（v.7，p.279，§6）对于内在关系与外在关系之间的区别，他作了这样的说明：“人们可以说，内在关系处于事物的本质之中。内在关系绝不是处于两个事物之间，但你可以称之为一种处于两个概念之间的关系。一个论述两个对象之间的关系的语句，例如一个数学语句，并没有描述某些对象，而是构造一些概念。”^[1]

维特根斯坦有时把数学证明称为“形式检验”。在他看来，数学证明对数学命题作出某种排列，把某种联系赋予这些命题，可以说数学证明是一种形式检验途径。“形式检验”概念以“变形规则”概念为前提，从而也以“技巧”概念为前提。因为，只有借助于技巧，我们才能把握规律性。例如，为了看出把某些数加在一起是否得出1000，人们肯定把这种加法称为对数字符号的形式检验。不过，只是在这种加法是一种实际技巧的情况下。因为，如果不是如此，那就不能把这个程序称为检验。他说：“证明仅仅在变形技巧的范围内才是一种形式检验。”（v.7，p.227，§1）又说：“证明是检验的途径。只有当我们把结果理解为形式命题的结果时，检验才是形式检验。”（v.7，p.228，§2）