高等数学两个证明体系的介绍

1.第一个证明体系

第一个证明体系是：先证明微分中值定理，其证明方法，可见数学分析（或高等数学）教材，再用微分中值定理证明Newton－Leibniz公式，然后用Newton－Leibniz公式证明微积分第一基本定理，亦可用微分中值定理证明积分中值定理，其证明如下.

Newton－Leibniz公式的证明（见参考文献［14］）

设f（x）在［a，b］上连续，F（x）是f（x）在［a，b］上的原函数，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b，把［a，b］分成了n个小区间［xk－1，xk］（k＝1，2，…，n），设Δxk＝xk－xk－1，由于f（x）在［a，b］上连续，所以，F（x）在［a，b］上也连续，在（a，b）内可导，因此，在每个小区间［xk－1，xk］上应用Lagrange中值定理得

因f（x）在［a，b］上连续，令即Newton－Leibniz公式.当然也可用Rolle定理、Cauchy中值定理证明微积分基本公式.

微积分第一基本定理的证明（见参考文献［2］）

而f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上有原函数F（x），故由Newton－Leibniz公式得，即F（x），所以，因F（x）是f（x）在［a，b］上的原函数，所以

积分中值定理的证明（见参考文献［1］，［2］，［3］）

由微积分第一基本定理知在［a，b］上可导，则在［a，b］上也连续，即在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，故由Lagrange中值定理得

也就是

所以

如果把Newton－Leibniz公式和微分中值定理联系起来，便有

因此，微分中值定理和积分中值定理的中间点是相一致的.

2.第二个证明体系

另一个证明体系是：先不证微分中值定理，而用连续函数的介值定理证明积分中值定理，然后用积分中值定理、函数的连续性证明微积分第一基本定理，再证明微积分基本公式，则就可用微积分基本公式证明微分中值定理，其证明如下.

积分中值定理的证明（见参考文献［1］，［2］，［3］）

由于介于f（x）的最小值m及最大值M之间，故由闭区间上连续函数的介值定理知在［a，b］上至少存在一点ξ，使即积分中值定理.

微积分第一基本定理的证明（见参考文献［1］，［2］）

所以，由积分中值定理得在［a，b］上连续，当Δx→0时，ξ→x，所以，也就是Φ′（x）＝），即微积分第一基本定理.

微积分基本公式的证明（见参考文献［2］，［3］）

因F（x）是连续函数f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，而也是（）的一个原函数，故（）（）（）令fxFx－Φx＝Ca≤x≤b.x＝a便得F（a）－Φ（a）＝C，而Φ（a）＝0，因此，C＝F（a），代入上式有F（x）－F（a）.若令式中x＝b，就即微积分基本公式.

用微积分基本公式证明微分中值定理（见参考文献［14］）

设f（x）在［a，b］上连续，且在（a，b）内可导，f′（x）满足条件：①在［a，b］上连续；②在［a，b］上只有有限个可除去间断点；此时，可定义f′（x）在间断点处的值为导数值，则f′（x）在［a，b］上也是连续的，且不会影响的值，那么就可用微积分基本公式证明微分中值定理.

设f（x）及g（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导、g′（x）≠0，且f′（x）、g′（x）满足条件①或②，则F（x）＝［f（b）－f（a）］g（x）－［g（b）－g（a）］f（x）在［a，b］上也连续，在（a，b）内可导，且F′（x）满足条件①或②，则由微积分基本公式知

又由积分中值定理得

即F（b）－F（a）＝F′（ξ）（b－a），又因为F（a）＝F（b），所以，F′（ξ）（b－a）＝0，即｛［f（b）－f（a）］g′（ξ）－［g（b）－g（a）］f′（ξ）｝（b－a）＝0，因此，整理得.因F′（ξ）（b－a）＝0，所以F′（ξ）＝0.如果F（x）是常数函数，则F′（x）≡0，那么在（a，b）内任意取ξ均能使F′（ξ）＝0，故∃ξ∈（a，b），使成立.如果f（x）不是常数函数，则F′（x）不恒为零，而F（a）＝F（b），即所以，由定积分的几何意义知：F′（x）与x轴在a，b之间必有交点（ξ，0），使F′（ξ）＝0，因ξ∈（a，b），所以，∃ξ∈（a，b），使成立.即Cauchy中值定理.

显然，当g（x）＝x时，便得Lagrange中值定理：f（b）－f（a）＝f′（ξ）（ba）.再有f（b）＝f（a），就得到Rolle定理：f′（ξ）＝0.所以，三个微分中值定理都可用微积分基本公式推出.

综上所述，微分中值定理与微积分基本公式的证明有三个体系，那么，三个证明体系中究竟哪一个体系更好呢？想必是各有千秋.但有一点，弄清三种证明体系以及微分中值定理与微积分基本公式的关系，对学习理解微积分的内容无疑是非常有益的.