数学证明与实验

第四节　数学证明与实验

证明和实验之间的联系和区别问题，也是维特根斯坦关注的问题之一。在《关于数学基础的讲演》和《论数学的基础》等著作中，他多次谈到这么一个问题：什么事物使某种符号结构——无论是几何图形还是数字系列——成为一种数学证明?当人们论证一个几何定理或者证明一个初等算术等式时，人们都从事某种符号操作活动。在这种情况下，人们往往难以把证明活动与实验活动截然区分开来。例如，简单地观察一下某个人进行的符号操作，就往往难以区分究竟这个人是在计算200加200所得出的和，还是这个人完成了把加法规则运用于这两个数而得出什么结果这样一种实验。因为，在这两种情况下，所观察的实在是同一件事。

关于证明与实验之间的关系，维特根斯坦举出下面这个事例加以说明。设想你面前有一排弹子，你用从l到100的数字来数它们；你在每10个弹子后留下一个大间隔，并在每10个弹子之内，即在5个弹子与5个弹子之间留下较小的间隔，这样就使得每10个弹子很显眼。现在你把这10个一组的弹子一组一组地排列起来，在整个行列中间留下更大的间隔，弄成5排在上，5排在下。现在你再从第1排数到第10排。现在，再设想你把这整个过程即用这100个弹子所做的实验拍摄下来。他说：“我现在在银幕上看见的肯定不是实验，因为实验的图像本身并不是实验。但我在这个投影中也看到了关于这件事的‘在数学上是本质’的东西!因为这里首先显现的是100个物体，然后是它们排列成10个一组，如此等等。于是我可以说：证明并未被用做实验；但它确实被用做实验的图像。”（v.7，p.16，§36）

维特根斯坦承认证明与实验有许多相似之处，例如，我们也能够通过实验设想一个命题的变形过程和一个被用于预言的过程，这种预言是通过变形命题加以断定的。我们可以设想一个符号通过加上另一个符号而被如此延伸，使得它们在其初始状态中表述的某些条件的基础上形成一个真正的预言。而且，如果你愿意，你还可以把那个进行计算的人看做一种实验所使用的装置。如果这个人不是立即写出这个结果，而是起初写出另一些不同的结果，那就可以把这个人看做一个被用以从一个符号系列引出另一个符号系列的物理化学辅助手段。尽管数学证明与实验有这些相似之处，但他同时指出：“我还必须说，被证明的命题不是那个通过这种或那种方式训练出来的人在这种或那种环境作出的那个符号系列。”（v.7，p.280，§8）

与承认数学证明与实验之间存在着相似之处相比，维特根斯坦更加强调这两者之间的区别。他明确指出：“我们没有对一个语句或证明做实验，以确定其特性。”（v.7，p.102，§10）又说：“‘证明必须是显而易见的’这句话所谈的不过是：证明不是实验。我们不会因为证明的结果出现一次或经常出现而承认它。但我们在过程中看到了理由，可以说结果必定是这样。”（v.7，p.118，§39）对于“重新得到一个证明”与“重复一个实验”这两个概念之间的区别，他作了这样的说明：“重新得到证明指的不是重新产生一度得到一个特定结果的那些条件，它指的是重新得到每一步骤以及那个结果。虽然这就表明，证明是某种必须能够被完全再产生出来的东西，但每一次这样的再产生必定包含证明的强制力，使得这个结果得到承认。”（v.7，p.133，§55）

有些人可能认为，可以用实验的方法从一个命题中得出另一个命题，因为，在做这种推导时，我们在心中接受某些模式的指导，正如我们在做实验时接受某种程序或规则的指导那样。维特根斯坦不同意这样的论证，他说：“如果这也叫做实验，这大概是心理实验。因为表面上的符合当然可能是基于错觉。当我们计算错误时有时候也是如此。”（v.7，p.58，§159）在他看来，证明之所以不同于实验，主要因为证明应当向我们表明那种应当得出的东西，每一次重新作出证明，都必定会显示同样的东西。因此，一方面它必定会自动地重新产生出同样的结果，另一方面它也必定会重新产生得到这个结果的强制性。“这就是说，我们重新得到的不仅是曾经产生这个结果的条件（就像在实验中那样），而且还有这个结果本身。证明并不是一种策划好了的游戏，因为它必须始终要指导我们。”（v.7，p.132，§55）

总之，在维特根斯坦看来，数学证明与实验之间的区别，主要处于符号结构的使用之中，而不是处于事物的本性之中，也不是处于符号操作过程的物理背景或心理背景之中。他强调符号结构具有一种规范作用，正是这种作用构成计算活动的特征，并使计算不同于实验。他强调数学证明的途径是从情况如此这般过渡到情况必定是如此这般，也就是从现实过渡到必然，从事实过渡到概念，从弄清楚某些经验事实过渡到采取某些语法规则。他说：“证明是一种模式……证明必定是这样的程序，我就此说：是的，它必定如此；如果我按照这条规则进行，它必定会产生。”（v.7，p.10，§23）与此不同，在实验中没有从现实性到必然性的飞跃，也没有从事实到概念的飞跃，像在数学证明中那样。

【注释】

[1]C.Diamond（ed.），Wittgenstein's Lectures on the Foundations of Mathematics，1976，p.75.